结构系统静强度与疲劳耦合可靠性的当量寿命分析

赵维涛,姚东林

(沈阳航空工业学院 航空宇航工程学院,辽宁 沈阳 110136)

0 引言

由于结构载荷的复杂性,大多数结构将同时承受静载荷和疲劳载荷的共同作用,结构系统中的元件可能出现静强度失效,可能出现疲劳破坏。由于元件静强度失效和疲劳失效间存在一定的相关性,如元件静强度失效将导致该元件刚阵减缩、结构内力重分配等,这些都会影响其他未失效元件的应力水平,进而影响未失效元件的疲劳寿命;同样元件疲劳破坏也会导致结构内力重分配,另外疲劳载荷的作用会使结构材料性能下降(如极限强度衰减),这些因素必将影响元件静强度可靠性。因此,有必要对结构系统静强度和疲劳进行耦合分析。文献[1]讨论了结构系统静强度与疲劳失效机理,认为强度失效是瞬间完成,并认为它与其前一级失效为同时发生。文献[2～4]讨论了结构系统静强度与疲劳失效机理,并提出了当量寿命概念,但未对当量寿命作详细讨论。本文在此基础上基于累积损伤对当量寿命作进一步讨论,综合蒙特卡罗方法确定当量寿命的概率分布形式,并提出简化处理方法。

1 当量寿命概念

在使用过程中,结构的极限强度为逐渐衰减[5]。文献[6]给出了结构极限强度与累积损伤度间的关系为

式中：σ为极限强度;σ0为初始极限强度;D为累积损伤度。

根据Miner累积损伤理论,可建立累积损伤度与疲劳寿命的对应关系,结构系统中元件的疲劳寿命可表示为

式中：T为元件的疲劳寿命;Δ为元件发生疲劳破坏时的累积损伤度;A为疲劳强度的不确定性;B为计算过程中模型的不确定性;Ω为应力参数(确定量);m为N-S曲线中的参数(确定量)[7-8]。由式(2)可得任意时间t内元件的累积损伤度

将式(3)代入式(1),有

在结构静强度可靠性分析时,元件的安全余量可表示为

式中：σ′为该元件所受应力,即计算应力,可由有限元求得。

在结构疲劳可靠性分析时,元件的安全余量可表示为

式中：TD为设计寿命。

结构系统失效过程中,由于疲劳载荷的作用,需计算每个元件在何时失效,以便计算在此时间内疲劳载荷对其他元件的累积损伤。若元件疲劳失效,其失效时刻的计算可参见文献[7];若元件静强度失效,则令该元件静强度安全余量(式(5))等于零,求得相应的寿命

则当量寿命

2 当量寿命分析

式(8)可变为

式中：Δ′为当量损伤,且Δ′=1-σ′/σ0。

在疲劳可靠性分析中,一般认为A,B,Δ均服从对数正态分布;m,Ω为常量[7]。由式(2)可知,元件的T显然服从对数正态分布,这便于可靠性分析。由Δ′的表达式可知,若Δ′服从对数正态分布,则t亦服从对数正态分布,但Δ′的分布形式主要取决于该元件计算应力σ′和初始极限强度σ0,其中σ′的分布较难确定。若考虑实际的σ′,σ0的分布,t的分布形式将很难确定,这使得在可靠性分析过程中需进行当量正态转换(即RF转换),虽然RF算法有较好的通用性,但会对大型结构的结构可靠性分析带来困难。为此,本文讨论Δ′服从不同分布时对t和元件失效概率的影响。由式(9)可得ln t=lnΔ′+ln A-m ln B-lnΩ,因lnΩ为常数,不影响t的分布形式,因此只需讨论Y的分布即可。有

用蒙特卡罗法,通过各变量的概率分布产生随机数,统计Y的分布形式,从而确定t的分布形式。设蒙特卡罗数量n=1 000 000,取各变量的中值和变异系数为A=1.15×1012,δA=0.3,B=1.0,δB=0.1,并均服从对数正态分布,m=3[7]。

2.1 Δ′服从正态分布和极值I型分布

2.1.1 Δ′服从正态分布

2.1.2 Δ′服从极值I型分布

同样假定Y服从正态分布,采用同2.1.1的分析方法,给出了Y的均值和标准差以及95%的置信区间,见表2,其概率密度如图2所示。由分析结果可知：当Δ′服从极值I型分布时,Y服从正态分布,即t服从对数正态分布。

表1 Δ′服从正态分布时Y的分布形参数Tab.1 Distribution parameter of Y whenΔ′obeys normal distribution

表2 Δ′服从极值Ⅰ型分布时Y的分布参数Tab.2 Distribution parameter of Y whenΔ′obeys I extreme value distribution

图1 Δ′服从正态分布时Y的概率密度Fig.1 Probability density of Y whenΔ′obeys normal distribution

图2 Δ′服从极值Ⅰ型分布时Y的概率密度Fig.2 Probability density of Y whenΔ′obeys I extreme valuedistribution

分析发现：Δ′服从正态分布和极值I型分布时,Y均服从正态分布形式,即t服从对数正态分布。为与Δ′服从对数正态分布进行比较,根据表1、2,Δ′服从对数正态分布、正态分布和极值I型分布时Y的均值和变异系数分别如图3、4所示。由图可知：Δ′服从对数正态分布、正态分布和极值I型分布时,Y的均值和变异系数相近。

图3 Δ′服从不同分布时Y的均值Fig.3 Mean of Y whenΔ′obeys different distribution

图4 Δ′服从不同分布时Y的变异系数Fig.4 Variability coefficient of Y when Δ′obeys different distribution

2.1.3 算例1

设有2个元件,元件1在当量寿命t1时静强度失效,则元件2的疲劳安全余量可表示为

式中：Ω1,Ω2分别为结构中没有失效单元时单元1、2的应力参数;Ω2/1为单元1失效后单元2的应力参数。

假定Δ′服从对数正态、正态和极值I型不同分布形式,并有相同均值和变异系数,用蒙特卡罗法计算M2/1对应的失效概率。取n=1 000 000,Ω1=400,Ω2=200,Ω2/1=500,δΔ′=0.2,TD=20年,计算所得结果见表3。表中：相对误差是相对Δ′服从对数正态分布的值。由表可知：虽然Δ′服从不同的分布形式,但所对应的失效概率相近,相对误差均小于5%,说明当Δ′服从正态和极值I型分布时,只要获得其均值和标准差,就可近似用Δ′服从对数正态分布计算可靠性,简化计算过程,提高计算效率。

2.2 Δ′服从威布尔分布

由Δ′的表达式可知,μΔ′大于零符合实际,因此假设威布尔分布中的位置参数为零,即认为Δ′服从二参数的威布尔分布,其概率密度函数

式中：η为尺度参数;ξ为形状参数。

取不同的尺度参数和形状参数对Y的分布进行统计分析,并对Y服从正态分布与否进行假设检验,分析结果见表4。由表4可知：当Δ′服从威布尔分布时,Y多数不服从正态分布,即t不服从对数正态分布。

为与Δ′服从对数正态分布比较,用方法1、2计算所得Y的均值和变异系数分别如图5、6所示。此处：方法1中按Δ′服从威布尔分布;方法2中Δ′服从对数正态分布,两种方法的均值和均方差相同。由图可知：仅当ξ=1即Δ′服从指数分布时,方法1、2算得的Y均值和变异系数略有不同,其他情况下两种方法算得的结果相近。用方法1、2对算例1进行计算,结果见表5。表中：相对误差为方法2相对方法1的值。

表3 Δ′服从不同分布形式的失效概率Tab.3 Failure probability whenΔ′obeys dif ferent distribution

表4 Δ′服从威布尔分布的计算结果Tab.4 Results whenΔ′obeys Weibull distribution

3 结束语

本文基于元件静强度失效时对应的当量寿命,提出了对应的当量损伤概念。用蒙特卡罗分析方法讨论了当量损伤服从不同分布时当量寿命的分布形式。结果表明：当量损伤服从对数正态分布、正态分布和极值I型分布时,当量寿命均服从对数正态分布,且统计参数(均值和变异系数)相近;当量损伤服从威布尔分布时,多数情况下当量寿命不服从对数正态分布。但算例表明,除ξ=1(即指数分布)外,所得失效概率误差较小,均小于5%;当ξ=1时,失效概率误差较大。由表5可知此时对应的失效概率较小,即小失效概率时失效概率误差较大,当失效概率逐渐增大时,失效概率误差逐渐减小,在失效概率相对较大时误差小于5%,属可接受。另外由于当量损伤的概率分布取决于计算应力和初始极限强度,一般不服从指数分布。综上所述,在多数情况下可不必考虑当量寿命的具体分布形式,直接认为当量寿命服从对数正态分布进行当量寿命分析即可,可避免当量正态转换,简化了结构系统静强度和疲劳耦合可靠性的计算过程,提高计算效率。

表5 方法1、2对算例1的计算结果Tab.5 Results of example 1 using method 1 and method 2

图6 Δ′服从威布尔分布时Y的变异系数Fig.6 Variability coef ficient of Y whenΔ′obeys Weibull distribution

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