考虑物料层作用的振动圆锥破碎机动力学分析

赵月静，秦志英，彭 伟

(河北科技大学 机械电子工程学院，石家庄 050018)

矿物的破碎磨碎作业能耗极高，因此破碎磨碎领域节能意义重大［1]。振动圆锥破碎机是实现超细破碎的节能型设备，可破碎高强度物料，磨损小。和振动颚式破碎机相比，不仅有冲击破碎还有碾压破碎，没有空行程，生产效率高。振动圆锥破碎机工作时，被破碎物料层始终存在于动锥和定锥形成的破碎腔中。被破碎物料既有能量积累又有能量耗散，在动锥和定锥之间起到传递能量的作用，因此有必要把被破碎物料层视为振动破碎机系统的一个组成部分［2]。振动圆锥破碎机系统不仅有刚体对物料的冲击挤压破碎作用，而且待破碎的物料层对刚体也有反作用，因此振动圆锥破碎机的动力学特性十分复杂［3]。为了更好地利用振动的能量，如何利用定锥和动锥这两刚体运动以及它们与物料层之间的刚散耦合冲击效应，提高破碎效果，是振动圆锥破碎机动力学设计理论研究的核心问题。

本文正是考虑物料层散体的作用，对振动圆锥破碎机进行建模和动力学分析。首先，给出振动圆锥破碎机工作原理图和在水平面内的物理模型图。其次，应用Lagrange方程推导建立系统的动力学方程，其中物料层的作用采用一个分段线性的广义力模型来代替。然后，对该方程用MATLAB进行数值仿真分析讨论。最后，探讨物料层对振动圆锥破碎机运动的影响。

1 考虑物料层的振动圆锥破碎机的物理建模

振动圆锥破碎机由动锥5和定锥4形成破碎腔，动锥5通过弹性元件6与定锥4相连，定锥4通过外壳3与底架1相连，如图1所示。电机轴旋转，通过挠性联轴器带动主轴运动，主轴上装有偏心块2，主轴运动带动偏心块2旋转，偏心块2旋转产生激振力，带动动锥5运动，通过弹性元件2和物料传递把运动传递给定锥4，定锥4和动锥5两个刚体均做空间自由运动。动锥和定锥的质心静止时重合，把动坐标系的原点(基点)选在质心，两刚体的自由运动分解为随质心的平动和绕质心的转动，每个刚体有6自由度:质心的坐标x，y，z和绕质心转动的三个欧拉角ψ，θ，φ。

图1 振动圆锥破碎机的构造与工作原理简图Fig.1 The map of structure and working principle of vibrating cone crusher

文献［3] 中建立了不考虑物料层作用的振动圆锥破碎机系统的空间12个自由度的模型，得到振动微分方程组。文献［4] 中对文献［3] 中得到振动微分方程组进行仿真分析，得到在不考虑料层作用的影响时，定锥与动锥的运动幅度相比相差较多，振动圆锥破碎机的主要运动可以简化为定锥静止不动，动锥刚体做空间运动［3]。但是由于要破碎的物料一定存在于定锥和动锥之间，形成物料层，所以必须考虑其影响。为了更加符合实际的破碎系统，反映系统的动力学性能，简化系统，故本文设定锥静止不动，只考虑动锥的运动，考虑料层的影响，取动锥的质心所在水平截面，建立振动圆锥破碎机系统水平面内运动3个自由度的模型。如图2所示。

图2 振动圆锥破碎机的工作状态动力学模型图Fig.2 The mechanics model of vibrating cone crusher in working state

在定锥质心位置O点建立绝对坐标系XOY，在动锥质心位置O1点建立相对坐标系X1O1Y1，系统静止时，绝对坐标系X1O1Y1和相对坐标系XOY重合。动锥刚体做平面运动，有3个自由度x，y，θ。动锥质量为m1，动锥绕其质心O1的转动惯量为I0。偏心块可简化为质点，质量为m0，其质心距离O1点的距离(偏心距)为e。偏心块除了随动锥刚体做平面运动(牵连运动)外，还绕动锥质心O做转动角速度为ω的相对运动。动锥和定锥之间共有6个主振弹簧(橡胶弹簧)沿圆周方向均匀分布，弹簧与动锥连接点Ai(i=1～6)，弹簧的刚度为k，在x，y方向上的刚度分别用kx，ky表示;破碎腔中填充有物料层，设δ为物料可压缩(从初始装入松散到压实)的距离，R1为动锥的内径，R2为动锥的外径。

2 振动圆锥破碎机系统的动力学方程的建立

根据如下拉格朗日方程:

建立系统的动力学方程，选取动锥的自由度作为广义坐标，动锥有3个自由度x，y，θ。计算系统的动能T、势能U和广义力Qi。

2.1 系统的动能

系统的动能是由动锥的动能和偏心块的动能组成。偏心块动能计算很麻烦，一种方法是按照绝对速度等于相对速度加牵连速度的方法求取，分析比较麻烦;另一种是按照坐标变换求其位置，然后求导求其速度，此方法充分利用数学软件的推导优势，采用坐标变化的方法来求取。求出运动后某时刻此质点的位置坐标，然后求导数得其速度。偏心块m0安装在动锥m1上，其在 X1O1Y1坐标系中的坐标为(e cosωt，e sin ωt)，随动锥m1运动后的绝对坐标为:

求导可得偏心块的速度，故偏心块的动能为:

动锥的动能可表示为:

系统的动能可表示为:

2.2 系统的势能

系统的势能由主振弹簧的势能组成，不包括重力势能和弹簧静变形的势能。系统中采用的弹簧是压缩弹簧，弹簧的连接采用导柱式的弹簧座，采用分别考虑x，y方向变形来计算弹性势能［5]。弹簧一端固定在定锥上，另一端固定在动锥上，随着动锥运动。根据坐标变化，利用式2)求出弹簧和动锥相连点Ai在绝对坐标系下的坐标Ai'，

其中Ai的相对坐标为:，φ为A1与x轴的夹角。

求出其在x，y方向的变形量:

则每个弹簧的势能可表示为:

圆锥破碎机的模型共有6个主振弹簧，则系统的总势能为:

2.3 广义力

系统在空载时，系统的广义力为系统中非理想约束的反力;系统在工作时，系统的广义力为系统中非理想约束的反力和物料的作用力。非理想约束的反力为阻尼力;物料层对系统的作用可以简化为一个分段线性的接触力模型［6－8]，如图3所示。动锥刚体在 x，y方向都有位移，故接触力的方程如下:

开始工作前，待破碎的物料松散地堆积在定锥和动锥形成的破碎腔中;开始工作后，物料在破碎腔内动锥压紧破碎，物料间的间隙被压缩。考虑物料的可压缩性，本文中假设:

σ1=1/4δ，σm=2/3δ，σ2=1/2δ。(δ为物料最大可压缩距离。)

图3 物料层的分段线性接触力模型Fig.3 The model of piecewise linear contact force for materials layer

2.4 系统振动动力学方程组

系统在工作状态下考虑物料的非线性力后，根据Lagrange方程，利用MAPLE数学软件推导，建立系统的3自由度振动微分方程组，如下所示:

式中:cx，cy分别为x，y方向阻尼系数;Cθ为圆周方向的阻尼系数;μ为物料和动锥表面的摩擦系数。

fxyθ为 x，y，θ自由度之间的耦合项，项数太多，对系统影响不大，在此不再列出。

从方程(5)可以看出，该系统的动力学方程是一个非线性方程组。除了物料层的非线性力F(r)以外，还含有激振力与x，y，θ之间的耦合非线性项，以及x，y，θ之间的耦合非线性项。为了重点研究物料层的非线性影响，可对方程(5)进行初步的线性化处理。若刚体绕质心的转动角度θ很小时，令sinθ≈0，cosθ≈1;同时忽略x，y，θ之间的耦合非线性，以下动力学分析是基于此种线性化后的方程组。

3 刚散耦合振动圆锥破碎机动力学响应及分析

利用MATLAB数学软件，采用Runge-Kutta法求解微分方程，进行数值仿真。表1给出振动圆锥破碎机系统结构参数和几何参数的值。

表1 系统结构参数和几何参数Tab.1 Parameters of structure and size in system

3.1 系统的响应

考虑物料层的影响，即微分方程组(5)F(r)用式(4)表示。系统在不同激振频率ω作用下的时间历程、频谱图、相图和Poincare截面［9]如图4～图6所示。ω0为系统固有频率。

当ω=50，系统的振动为看似杂乱无章的运动，而且振动幅度很大。许多低频信号被激发，x，y方向振动主要集中在0.5ω0分量附近，θ方向振动为0.01ω0的低频分量。但系统的运动还是有界的。

当ω=100，系统的振动变为概周期运动，x，y由两个频率ω0和0.2ω0的分量叠加而成，θ方向的振动是两个频率0.4ω0和 1.2ω0分量叠加而成。

当ω=150，系统的振动仍为概周期运动，x，y由两个频率ω0和0.15ω0的分量叠加而成，θ方向的振动是两个频率0.25ω0和1.15ω0的分量叠加而成，而且幅值很低。

图4 考虑物料层时激振频率ω=50时的时间历程、频谱图、相图和Poincare截面Fig.4 The figure of time-processing、the phase and Poincare section and amplitude-frequency with material layer，ω =50

从图4～图6中可以看出，考虑物料层作用时，由于物料层的非线性接触力的影响，x，y方向出现两个频率0.15ω0～0.25ω0和 ω0的分量，θ方向两个频率 0.25ω0和1.15ω0。随着激振频率ω的增大，低频率的分量减少，只出现一种低频率的分量，而且该频率越来越低。

4 结论

用力和激振力相比处于同一数量级，物料的非线性力对系统的作用显著，系统运动是看似杂乱无章的运动。随着激振频率增加，激振力逐渐增大，物料散体的作用力相对于刚体的激振力逐渐较小，因而激励出的低频分量减少，对刚体的影响也逐渐变小。

(3)把料层的作用简化为分段线性接触力，类比单自由度线性系统，相当于增大系统的刚度，因此系统固有频率增大。当激振频率较小时，处于共振区域，振幅较大，系统处于不稳定工作区;当激振频率增大后，系统区域稳定工作，振幅也处于合理范围。因此在选

(1)把料层的作用简化为分段线性接触力，物料层的作用使系统做复杂的概周期运动。

(2)当激振频率较低时，激振力较小，物料层的作择样机参数时，电机的转速应取大些较好，使其工作在稳定工作区域。

(4)本文把物料层作用简化为一个接触力的形式，对破碎机的动力学性能进行了初步分析。实际上物料层动力学性能非常复杂，需要从微观的角度，利用离散单元法把物料简化为颗粒群，利用群动力学的方法对其行为做进一步分析［10]。

(5)后续需要通过样机大量的破碎实验，对破碎出的物料筛分进行粒度分析，来确定各参数对破碎性能及节能的影响。

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