实验模态综合法若干问题的研究

宋 攀，董兴建，孟 光

(上海交通大学 机械系统与振动国家重点实验室，上海 200240)

模态综合法是一种缩减自由度的动力学分析方法。它可以化整为零，先进行各个子结构的模态分析，然后通过模态综合得到全结构的模态信息［1]。由于仅采用了各个子结构的低阶模态信息和必要的补偿模态信息，因而使所建立整体结构动力模型的自由度数大大降低。自上世纪 60 年代 Hurty［2]和 Gladwell［3]分别提出经典的自由界面模态综合法以来，该技术引起大量力学工作者的关注。

随着现代工程技术的飞速发展，以大飞机和大型运载火箭为代表的结构系统越来越庞大且复杂，而工程中常需要快速准确地计算、分析和预测其动态特性。由于此类结构边界条件复杂，材料特性和装配误差存在较大的分散性，结构全尺寸实验分析代价太大，单纯依靠有限元方法或者现代实验模态分析技术都不能很好地解决上述结构动态分析问题。因此目前更有工程意义的模态综合法应用方案应是发展实验模态综合技术［4，5]，对于某些不能或者不便于进行有限元建模的子结构用实验模型取代分析模型，对于其它子结构建立其有限元方法分析模型，最后通过模态综合获得整体结构的动力学模型。然而现有的将模态综合法应用于实验领域的研究，也都停留在理论数值分析阶段［6]，或者单纯的对模态试验进行研究［7]，很少真正的将实验测量模态数据与有限元数据进行综合得到半试验半有限元模型。将实验模型引入模态综合法中将导致以下三个与实验技术有关的难题:① 难以通过实验方法获得剩余模态;② 难以计算子结构的剩余质量阵和剩余刚度阵;③ 难以测量转角模态，难以施加集中力矩载荷。虽然以MacNeal方法［8]为代表的经典自由界面模态综合法和高阶的Rubin方法［9]对于理论模型的综合非常有效，但是对于解决上述实验模态综合中的技术难题并无多大帮助。为解决上述技术难题，提出了定频剩余动柔度的概念，基于定频剩余动柔度定义了定频剩余惯性释放附着模态，其意义在于动柔度的测量与静柔度相比要容易得多，从而很容易通过实验方法得到定频剩余惯性释放附着模态;基于剩余质量的理论分析，证明其影响可以忽略，而剩余刚度可以由剩余动柔度表达，从而回避了基于实验数据辨识质量阵和刚度阵这一比较困难的动力学反问题，大大简化了实验和计算过程;基于谐波集中力系的等效原理，提出了一种全新的转角动柔度间接测量方法，在一定程度上解决了实验模态综合中的界面对接信息不足问题。以上解决方案克服了将实验模型引入模态综合法时可能遇到的困难技术难题，针对混合建模中技术问题提出了一套完整的解决方案。整个实验和计算过程简单易行，且具有一定的计算精度。

1 基本理论

1.1 基于剩余动柔度的剩余惯附模态

任一无阻尼子结构受谐波激励的动力学方程可表示为:

将结构的位移列向量x按照内部自由度和界面自由度分为xi和xj，同样将载荷f也分为非界面载荷分量fi和界面载荷分量fj，且对于结构特征值问题，非界面载荷分量fi=0，以上向量之间满足:

其中B为布尔矩阵，标志了界面自由度在总体自由度中的位置。Φ和Λ分别为自由界面子结构的主模态矩阵和特征值矩阵，将它们划分为可通过实验模态分析得到的低阶保留主模态部分(ΦlΛl)和未知的高阶截断模态部分(ΦhΛh)。设f为一简谐激励力，于是方程(1)的稳态解可写为:

其中 Gd(ω)，Gl(ω)和 Gh(ω)分别为动柔度，保留动柔度和剩余动柔度:

定义Gh在ω0处的值Gh(ω0)为准剩余动柔度:

式(7)的右端各项可通过实验模态分析获得，而且对于半正定结构动柔度的测量无需作任何特别处理。所以采用实验方法获得高阶剩余动柔度不仅在计算方面更方便，同时在扩大模态综合技术的运用领域方面也有特殊的意义。

从Gh(ω0)中取与边界自由度相对应的列向量，得到基于剩余动柔度的剩余惯性释放附着模态(以下简称剩余惯附模态)Ψd:

1.2 模态综合

假设完整结构由子结构A和子结构B构成，对子结构A基于实验模态分析可得到其低阶保留主模态和剩余惯附模态，对于子结构B则基于有限元方法建模。由低阶保留主模态和基于剩余动柔度的剩余惯附模态组成子结构A的Ritz基底，并用此基底对式(1)进行坐标变换。并注意到与低阶保留主模态对应的为低阶模态坐标pl，与剩余惯性释放附着模态对应的广义坐标为界面力向量fj。

其中MG和KG分别称之为剩余质量和剩余刚度:

采用有限元方法得到子结构B的模型:

对于子结构A，由上面提到的Ritz基底得到其界面位移的表达式:

由子结构A和子结构B的位移协调条件及力平衡条件:

得到坐标转换公式:

联立式(9)和式(12)，并考虑到式(15)，得到综合以后的耦合方程:

其中，

由式(19)和式(20)可以看出，整体结构与子结构A有关的运算单元是BΨd和BΦl，它们分别是剩余惯附模态和保留模态中与界面自由度对应的行。可见子结构A的界面上的保留模态和动柔度的测量至关重要。若能采用实验手段得到子结构A的界面上的模态参数，那么式(16)就可以通过模态综合法得到。

2 转角模态的间接测量方法

然而，由于现有传感器技术只能测得的平动自由度再加上传感器放置位置的限制，实验测量往往仅能得到子结构A界面两个方向平动自由度的模态参数;而通过有限元分析则得到子结构B包括转角自由度在内的全部六个自由度模态参数。所以在对实验分析模型和有限元分析模型进行模态综合时将会出现界面对接信息不足的问题，该问题自1972年首次提出至今仍然难以解决。

我们通过数值微分计算实验中不易测得的转角模态。当界面比较复杂时，以板结构为例，假设振型连续且振型含有二阶导数。如图1所示，在平板变形前X方向上取点1，2，3等距，结构振型中Y方向和Z方向的位移参数可直接通过实验模态分析得到。对三个点进行数值微分即可得到边界点3的转角位移。θ36是指测点3的Z方向的转角位移，θ35是测点3的Y方向的转角位移。

频率响应函数可以看作单位激励力下的位移响应，基于式(21)和式(22)可以得出由平动位移频响函数表示的转角频响函数，其中平动位移频率响应函数可以方便的由实验测量得到。

图1 边界附近的测点分布图Fig.1 Measurement points near the interface

该方法虽然仅仅是静力学等效的自然延伸，但对于测量却是非常有效的改进:可以不用施加谐波形式的集中力矩，也不用施加谐波形式的集中力系，只需要做几次锤击实验或者扫频实验，就可以将集中力矩作用下的转角动柔度用多个集中力作用下的平动动柔度线性表示。

3 剩余质量阵和剩余刚度阵

在以上的推导过程中，假设子结构A的一切参数都由实验获得。在式(9)中可以看出，子结构A的待定参数有:低阶模态参数(ΦlΛl)，剩余惯性释放附着模态Ψd，剩余质量阵和剩余刚度阵MG和KG。其中低阶保留模态和基于剩余动柔度的剩余惯附模态可方便的由实验获得，然而现在的困难在于式(17)和式(18)中的剩余质量阵和剩余刚度阵未知，且目前尚无可靠的方法通过实验手段识别质量和刚度阵，从而子结构A的模型无法建立。我们从另外一个角度考虑这个问题:

将式(8)代入式(11)，并考虑到式(4):

由于ω0远小于子结构的截止频率，那么:

于是:

将式(27)带入式(19)的第二行，得到:

至此，由式(27)和式(28)就推导出了剩余质量和剩余刚度矩阵KG和MG的近似表达式。如此一来，就不必刻意去求解结构的质量矩阵和刚度矩阵，从而回避了动力学反问题。事实上，式(27)成立的前提假设是部分地忽略高阶模态的动态效应，而式(28)不过是上述假设在模态坐标下的表现形式。

4 数值分析与实验验证

4.1 数值分析

考虑一根如图2所示底端固定的L形管，外径19.05 mm，壁厚1.0 mm。将其划分为子结构A和子结构B两部分。L形管的材料参数为:直管杨氏模量E=134.4 GPa，密度ρ=8 905 kg/m3，泊松比 μ =0.33;弯头部分杨氏模量E=102.9 GPa。

图2 L型铜管实验模型示意Fig.2 The geometrical model of a L shape pipe

数值计算用有限元方法，每个结点具有6个自由度，假定有限元模型是精确的，因而可将完整L形管的有限元解作为标准解。

对于子结构A，基于有限元分析得到其模态参数、精确的质量阵和精确的刚度阵，计算其动柔度矩阵且基于准剩余动柔度计算其剩余惯附模态，然后按照式(9)得到其基于模态参数的子结构模型。对于子结构B则建立其自由界面有限元模型。现按三种方案作模态综合:

方案(1):基于子结构A精确的质量阵和刚度阵，由式(10)和式(11)计算得子结构A的剩余质量和剩余刚度，与子结构B综合后得整体结构模态综合结果;

方案(2):基于子结构A精确的质量阵和刚度阵，按照式(27)和式(28)对子结构A的剩余质量和剩余刚度作近似处理，与子结构B综合后得整体结构模态综合结果;

从表2可以看出，方案1完全采用有限元结果未有任何近似，用剩余动柔度代替舍去的高阶模态，所得综合结果十分精确。方案2的力学本质是忽略剩余质量，并且在计算剩余刚度时部分地忽略高阶模态的动态效应，经过这种近似处理后，计算精度虽有所下降，但误差仍在允许的范围以内。

表1显示基于式(21)和式(22)计算出子结构A界面的转角模态位移误差小，结果具有相当的精度。

表1 子结构A边界点的转角模态位移Tab.1 Rotational modal displacement of the interface point

表2 整体有限元结果和模态综合结果/HzTab.2 Frequency results of the full structure/Hz

4.2 实验分析

对于子结构A基于LMSTest.Lab模态分析系统采用锤击法进行单点激励多点测量的模态实验得到其振型，频率等模态参数，在实验过程中由于传感器位置分布限制，仅能够得到子结构A边界点Y和Z方向的平动位移，对于子结构B则建立其自由界面有限元模型。现按第3种方案作模态综合:

方案(3):基于实验得到的准剩余动柔度计算子结构A的剩余惯附模态;按照式(27)和式(28)对子结构A的剩余质量和剩余刚度作近似处理;按照式(21)和式(22)求出子结构A边界点Y，Z方向转角位移，与子结构B的自然边界有限元模型进行模态综合，其中子结构A未知的X方向平动和转角位移在有限元软件中用弹簧与子结构B的边界点对接。

在以上三种方案中，子结构A的保留4阶模态，ω0=350 rad/s，介于第2阶固有频率和第3阶固有频率之间。

表2中的数据可以看出，方案(3)得到的前四阶频率及振型与精确值基本吻合，而在第5阶频率以外不能给出满意的结果。可见子结构A被截去的模态以及对边界面缺失信息的处理对结构高频模态影响很大。总体看来所得到的数据在低阶与精确值基本一致，且该方法的实验实施确实是可行且方便。

5 结论

针对将实验模型与有限元模型进行综合时可能遇到的困难，结合有限元建模和实验建模的优势，首次提出了一种自成体系的将实验模型与有限元模型进行综合的模态综合法。该方法导出了基于剩余动柔度的剩余惯附模态，回避了基于剩余静柔度的剩余惯性释放模态难以测量的困难;推导了剩余质量和剩余刚度的近似表达式，回避了基于实验数据辨识质量阵和刚度阵这一动力学反问题;并通过数值微分间接计算转角模态，在一定程度上解决了界面自由度不匹配情况下的子结构对接问题。虽然目前的研究尚属初步，但是以上解决方案具有很强的可操作性，为解决混合建模中的技术难题提供了一个有价值的尝试。通过分析，结论如下:

(1)与传统的剩余惯性释放附着模态相比，基于准剩余动柔度的剩余惯性释放附着模态更容易通过实验获得;

(2)当ω0远小于子结构的截止频率时，质量矩阵可以被忽略，剩余刚度也可以被简化，这样大大降低了实验建模的难度，且不会引起较大的误差;

(3)所提出的转角模态的间接测量方法，可以绕开弯矩的施加和转角的测量，试验简单，解决了界面对接信息不足的问题，使边界面对接信息不足情况下的模态综合成为可能。

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