含裂纹悬臂输流管道颤振分析

叶献辉，蔡逢春，臧峰刚，张毅雄

(中国核动力研究设计院 核反应堆系统设计技术国家级重点实验室，成都 610041)

管道是现代工业中的一种重要输送工具，它在石油、化工、核电工程等领域中有大量的应用。由于多种原因可能导致管道发生损伤，如腐蚀、疲劳、过载、冲击等等，从而带来巨大的危害。裂纹是损伤中典型的一种。裂纹的存在改变了结构的刚度、阻尼、质量，从而导致结构的动态特性发生改变，这一事实在裂纹检测中被广泛关注。

输流管道和含裂纹构件的动力学问题已经是一个热点问题，已有大量的文献报道［1－3]，而对于含裂纹输流管道的研究较为少见。Yoon［4，5]基于 Lagrange方程推导出含裂纹输流管道的运动方程，首次研究了含裂纹的悬臂输流管道在移动载荷作用下的动态特性，随后又研究了含裂纹简支输流管道在移动载荷作用下的动态特性。但在其文中并没有研究含裂纹输流管道的颤振特性。最近，Stangl［6]应用一种适用于含有非材料体系统的Lagrange方程［7]推导出了悬臂输流管道的非线性运动方程，该方法非常方便处理流进流出控制体的质量。本文将基于此扩展的Lagrange方程推导含裂纹悬臂输流管道的运动方程，通过数值仿真探讨了裂纹位置及深度对频率和颤振临界流速的影响。

1 含裂纹梁模型

含裂纹梁一般被处理成为若干段连续梁，每段梁通过一个无质量的扭转弹簧连接，扭转弹簧用来模拟裂纹，弹簧的刚度可以通过线性断裂力学理论计算得到。如图1示，含有Q－1条裂纹的梁，裂纹位置为X1，X2，…，XQ－1(0＜X1＜X2＜… ＜XQ－1＜L)。考虑的裂纹形状是外壁部分圆周裂纹，它是管类结构的一种典型裂纹形式，如图2所示。裂纹深度为a，裂纹对应的圆心角为2θ，管壁厚度为t，管外径为De，内径为Di。

图1 含任意条裂纹梁Fig.1 A beam with an arbitrary number of cracks

文献［8] 将外壁部分圆周裂纹区域离散成为一系列近似梯形的微型条，各个条带裂纹区域按平面裂纹梁的理论求解其附加应变能，将离散的各个条带的应变能累加起来得到裂纹总的应变能，然后通过对载荷求导得到外壁部分圆周裂纹的附加局部柔度系数。在纯弯矩作用下外壁部分圆周裂纹带来的局部柔度系数:

图2 外壁部分圆周裂纹Fig.2 Partly circumferential crack

由于含裂纹梁在裂纹处转角不连续，为了得到满足边界条件和裂纹处的不连续条件的模态函数，本文通过在不含裂纹梁的模态函数中加入3次多项式来构造出含裂纹梁的模态函数。依据模态假设法，梁的横向位移可以写成:

考虑含有Q－1条裂纹的梁，依据前叙处理含裂纹梁的方法，含裂纹梁被分成Q段，分别用扭转弹簧组装起来。设含裂纹梁的第k段的第j阶模态函数为:式中，ξ∈［ξk，ξk+1] ，ξ=X/L 为裂纹的位置无量纲化坐标，两端点坐标，ξ1=0，ξQ+1=1，A4k－3～ A4k为待定系数(ξ)无裂纹梁的模态函数。对于悬臂梁，有以下4个边界条件:

在裂纹处要满足位移、转角、剪力和弯矩4个条件:

式中 Ck－1为裂纹柔度系数，(')= ∂/∂ξ。通过式(4)至式(6)可确定含裂纹梁的模态函数。

2 含裂纹输流管道运动方程

含裂纹悬臂输流管道的模型见图3，悬臂输流管道长度为L，单位长度管道的质量为m，抗弯刚度为EI，流体横截面积为A，流体的轴向流速为U，单位长度流体的质量为M，裂纹位置为Xc管道沿着X轴方向放置如图3所示。

图3 含裂纹输流管道Fig.3 A cracked pipe conveying fluid

管道和流体有以下基本假设:① 管道裂纹在弹性范围内;② 流体无粘性、不可压缩;且管道内流速U一致;③ 管道直径与长度比值远小于1;④ 管道在平面内运动;⑤ 管道应变小，不计管道的转动惯量和剪切变形;⑥ 管道的中心轴线不可伸长。由以上的基本假设，管轴线不可伸长，文献［9] 给出了相应的方程及由此方程推导出表达式:

上式中(X，Y)与(x，y)为变形前后P0点坐标。u=x－X，v=y －Y，(')=∂/∂X。

Stangl［6]应用一种适用于含有非材料体系统的Lagrange方程［7]推导出了悬臂输流管道的非线性运动方程，这种扩展的Lagrange方程非常方便处理流进流出控制体的质量。本文基于此方程来推导含裂纹输流管道系统的运动方程。其运动方程为:

其中:T和Q分别系统的总动能广义力，q为广义坐标。方程中包含两个曲面积分，用于描述流入流出控制体的质量。Γ为控制体的边界，d a描述曲面Γ上的微元方向，VF、VP分别是流体的速度和管道的速度，是单位体积流体的动能。

由于假设悬臂输流管道轴线不伸长，沿变形后的输流管道轴线的切向矢量可写成［9]:

因此，流体速度为:

系统的总动能可写成:

上式近似忽略二次高阶项。

对于单位体积流体动能，忽略量级小于 o(ε2)项有:

式中，ρF为流体的密度。结合 Helmholtz方程［10]，则对广义坐标的偏导数为:

因此，在管道自由端处，式(9)中的第一个曲面积分为:

由于转角在裂纹处的不连续，导致裂纹面的左右两边的截面的方向矢量不相等。因此在裂纹截面左右两边的曲面积分的和不等于零，其大小为:

裂纹左边截面:

裂纹右边曲面:

根据裂纹的左右两边条件:xXc－0=xXc+0，yXc－0=yXc+0，=y″Xc+0，y'Xc+0－y'Xc－0=CEIy″Xc，可得裂纹左右两边的曲面积分的和为:

由于VF－VP=Uτ，不含有广义速度项，因此式(9)中的第二个曲面积分为零。

另外，由弯曲变形引起的弹性势能和模拟裂纹的无质量弹簧的势能分别为:

故广义力为:

将上述得到的系统的总动能、曲面积分和广义力代入式(9)，并引入以下无量纲量:

整理后得到含Q－1条裂纹的悬臂输流管道的运动方程为:

3 数值算例

3.1 裂纹对频率特性影响

取参数:L=1 m，E=2.01 ×1011Pa，De=0.03 m，Di=0.021 m，ν=0.3=2.0，β =0.8，裂纹角 θ= π/4，裂纹相对深度a/t=0.8，计算含单条裂纹的悬臂输流管道的前三阶频率比随裂纹位置变化关系如图4～图6所示。其中频率比ΩI=ω/ω0，ω和ω0分别是有/无裂纹的悬臂输流管道的频率。由图可知:裂纹深度一定情况下，一阶频率比随裂纹位置单调增加，裂纹越接近固定端，一阶频率比越小;裂纹越接近自由端，一阶频率比越趋向1。而二阶与三阶频率比变化则不然，二阶频率比中间存在一峰值时，三阶频率比中间存在双峰值。这是由于悬臂输流管道二阶模态存在一振幅为零的节点，裂纹位置越接近节点，二阶频率就越接近无裂纹时的情况。三阶频率出现双峰值亦是三阶模态存在双节点的缘故。上述结论对裂纹检测有一定的指导意义。

将本文得到的计算结果与Han-Ik Yoon的含裂纹悬臂输流管道的模型的计算结果［5]作了比较，不考虑原模型中自由端的质量和移动质量，比较结果见图4～图6。由图可知:两者频率比的变化趋势是一致的。但本文计算的一阶频率比较小，而二阶频率比较大，原因在于Han-Ik Yoon的模型没有考虑裂流体在裂纹处对系统作的功。

3.2 裂纹对颤振流速的影响

这里其它参数不变，裂纹位置ξc=0.4，相对深度为a/t=0.9，根据特征值计算结果得到系统的频率与阻尼随无量纲流速的变化曲线，如图7所示。当无量纲流速＜ucr时，系统阻尼全部都小于零，系统平衡点渐近稳定;当=ucr时，系统一阶阻尼等于零，系统平衡点失稳发生Hopf分叉，此时流速ucr即为颤振临界流速。

图8给出裂纹相对深度a/t=0.9时不同质量比β下颤振临界流速ucr随裂纹位置ξc的变化曲线。其中，水平线为无裂纹情况下临界流速。从图可以看出，各质量比下颤振临界流速随裂纹位置的变化规律基本一致。当固支端附近出现裂纹时，管道的临界流速将减小，越靠近固支端，无量纲临界流速减小的越多。但达到一定临界位置ξcr时，裂纹的出现，将会增大管道的临界流速。随着裂纹出现位置接近自由端时，对临界流速的增大作用将减小。裂纹位置出现在ξc1=0.42及ξc2=0.71附近对临界流速增大作用最为显著。图9描述了质量比为0.5时含不同位置的单条裂纹输流管道的无量纲临界流速随裂纹深度的变化关系。由图可知，当ξc＞ξcr时，颤振临界流速随裂纹深度的增加而增加;随着裂纹位置ξc接近临界位置ξcr，颤振临界流速随裂纹深度的增加变化较小，当ξc＜ξcr时，颤振临界流速随裂纹深度的增加而减小，且a/t越接近1，颤振临界流速减小显著，这种情况较为危险，应加以注意。

裂纹的出现将不仅影响颤振临界流速，还将影响颤振阶数的改变。图10和图11给出了有/无裂纹情况下系统颤振阶数随质量比的变化规律。由图10可知:当输流管道不存在裂纹时，质量比 β∈(0，0.386)发生2 阶颤振，β∈［0.386，0.530)发生 3 阶颤振，β∈［0.530，0.614 5)发生 2 阶颤振，β∈［0.614 5，1)发生1阶颤振［11]。当 ξc=0.4出现裂纹且裂纹深度 a/t=0.9时，质量比 β∈(0，0.586)发生 2 阶颤振，β∈［0.586，1)发生1阶颤振，如图11所示。为更加清晰描述裂纹导致输流管道颤振模态阶数的改变，图12和图13描述了质量比β=0.5时前三阶特征值随流速的变化图。可以看出，无裂纹输流管道发生3阶颤振，而含裂纹输流管道发生2阶颤振。裂纹的出现使得系统颤振形式从3阶颤振跳到2阶颤振，改变了系统发生颤振对应的特征值分枝。

图13 β =0.5 时前 3 阶特征值(ξc=0.4，a/t=0.9)Fig.13 The eigenvalues with β =0.5，ξc=0.4，a/t=0.9

4 结论

本文应用Ischik和Holl提出的适用于含非材料体(non-material volumes)系统的Lagrange方程，并同时考虑流体在管道自由端及裂纹处对系统所作功，推导出了含裂纹悬臂输流管道线性运动方程，通过数值算例研究了含裂纹输流管道的动力特性和颤振特性，有如下结论:

(1)一阶频率比随裂纹位置单调变化，而二阶与三阶频率比变化则不然，这是因为二阶三阶模态中间存在振幅为零的节点，裂纹位置越接近节点，频率基本不受裂纹影响。

(2)当固支端附近出现裂纹时，输流管道的颤振临界流速将减小，越靠近固支端，颤振临界流速减小的越多。且随着裂纹深度增加颤振临界流速降低的更加明显。但裂纹离固支端一定位置后时，裂纹的出现将会增大管道的临界流速。

(3)裂纹的出现将导致悬臂输流管道颤振阶数的改变。

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