一类耦合非线性扭振动力系统的稳定性控制

刘浩然，朱占龙，时培明，侯东晓

(1.燕山大学 信息科学与工程学院，秦皇岛 066004;2.燕山大学 电气工程学院，秦皇岛 066004)

非线性广泛存在于实际的物理系统中，如旋转轴系的转动［1，2]、高应力下岩石的强度特性［3]、汽车的悬架系统［4]、桥梁斜拉索［5]等均存在非线性。在非线性振动学科中，人们对单自由度非线性系统及其多自由度非线性系统的研究都取得了较大进展［6－8]。随着航空航天、城市建设和其它工程实际的需要，对多自由度非线性系统振动的研究显得尤为重要。文献［9] 研究了具有间隙的多自由度系统的周期运动及其稳定性的分析方法。文献［10] 在考虑传动系统连续分布质量的基础上，建立了旋转机械传动系统的连续动力学模型并得到了系统的固有频率。文献［11] 建立了具有非线性的三圆盘扭振系统的数学模型，应用平均法求得了系统满足3:1型内共振的解并分析了解的稳定性。文献［12] 研究了斜拉桥拉索－桥面－桥塔的三自由度耦合振动模型及其1∶2∶1内共振问题。文献［13] 从结构的能量平衡方程出发，对多自由度结构受迫振动中的能量响应特性和能量共振进行了分析。

但是，以往的研究工作多限于对多自由度非线性系统的建模、求解以及稳定性分析，对多自由度的非线性系统进行稳定性控制的研究甚少，并且由于耦合作用广泛存在于实际的物理系统中［14－16]，因此研究对含耦合项多自由度的非线性系统进行稳定性控制有着更为现实的意义。本文基于耗散项的广义Lagrange原理建立一类三质量含三次非线性耦合项的扭振系统非线性动力学方程并加以时滞反馈控制。运用多尺度法对含时滞的动力方程进行求解，得到方程在主共振和1∶1内共振情形下的平衡解。应用Routh-Hurwitz稳定判据得到耦合时滞系统在平衡点稳定的充分必要条件，并用数值模拟的方法验证了时滞参数对扭振系统稳定有显著的控制效果。

1 三质量扭振系统动力学模型

图1是一个三质量扭振系统力学模型，设Ji(i=1，2，3)为扭振系统集中质量的转动惯量，φi(i=1，2，3)，(i=1，2，3)分别为三个集中质量的转角和转速。

系统动能为:

图1 三质量扭振系统力学模型图Fig.1 The torsional vibration system model with three degree of freedom

系统势能为:

广义力矩为:

其中:K12，K23为系统线性扭转刚度，2，3)，Fi为广义外力为系统广义阻尼力，qj(j=1，2，3)为广义坐标。则可以表示为:

其中:C12为线性阻尼系数为非线性阻尼力函数。

于是:

将式(1)、式(2)、式(3)和式(5)代入含耗散项的广义Lagrange方程:

得到:

考虑相对转角的变化，式(7)乘以1/J1减去式(8)乘以1/J2和式(8)乘以1/J2减去式(9)乘以1/J3，得到:

式(12)和式(13)是一类含有三次非线性阻尼力和外激励作用下耦合扭振系统的非线性动力学方程。通过在外激励端引入时滞反馈控制项可有效地控制耦合系统的动力学行为，同时令外激励项T1=f1cos(Ω1t)，T2=f2cos(Ω2t)，则含时滞反馈控制的扭振动力系统为:

式(14)和式(15)是时滞反馈作用下一类耦合非线性扭振系统的动力学方程。其中，τ1和τ2为时滞量，g1和g2为增益系数，g1和g2大于零时为正反馈，g1和g2小于零时为负反馈。

2 含时滞反馈动力系统摄动分析

应用多尺度法求解耦合扭振系统动态响应，引入新变量:

其中ε为小参数，此时关于t的一阶导数和二阶导数可表示为:

其中 Dn表示 ∂/∂Tn，n=0，1，…，此时式(14)和式(15)的解可以表示为:

将式(17)～式(20)代入式(14)和式(15)，比较方程两边ε的同次幂系数，整理得:

考虑主共振和1∶1内共振情形，令Ω1=0，f1=0，ω2与Ω2的差别为ε的同阶小量，同时ω2与ω1的差别也为ε的同阶小量，即:

其中σ1和σ2为调谐参数，σ1表示内共振偏差值，σ2表示外共振偏差值。将式(25)和式(26)代入式(23)和式(24)，消除久期项得:

其中，θ1=φ2－φ1－σ1T1，θ2=σ2T1－φ2。

3 Routh-Hurwitz判据下耦合扭振系统稳定的充分必要条件

其中:p1=r1cos(θ1+ θ2)，q1=r1sin(θ1+ θ2)，p2=r2cos θ2，q2=r2sin θ2。

耦合系统(35)～(38)的平衡点通过适当的线性变换可转移到坐标原点，因此研究系统平衡点在原点处的动力学特性具有普遍意义。在原点处对其进行线性化，得到系统的Jacobian行列式:

其中:

则此Jacobian行列式对应的特征方程为:

其中:λ 表示行列式 A的特征值，k1，k2，k3，k4分别表示特征方程的系数。

应用Routh-Hurwitz稳定判据判断方程(40)的稳定性，得到耦合系统稳定的充分必要条件

(1)特征方程式的各项系数全部为正值，即ki＞0(i=1，2，3，4)。

(2)主行列式及其主对角线上的各子行列式均大于零，即:

方程(14)、(15)的平衡解稳定的充分和必要条件是特征方程(40)的所有特征根的实部都是负数。如果有一个特征根的实部为正数，则方程(14)、(15)的平衡解就是不稳定的。下面通过某一算例具体说明。

4 算例分析

研究外激励频率等于耦合系统固有频率(σ2=0)情况下，时滞反馈对扭振系统稳定性的影响。为此，仿真计算选取参数 σ1= －0.2，ω1=1，ω2=1.2，c1=0.1，c2=0.1，l1=0.2，l2=0.2，β =0.1，b1=0.1，b2=0.12，τ1=/2，τ2=/2，f=0.2。通过计算可以得到时滞参数g2与系统振幅r1、r2的关系及其系统稳定范围，如图2所示。

本文算例中选取固定参数g1=0.1，通过改变参数g2的值来反映耦合系统的稳定区域和不稳定区域。图2中实线代表稳定解，点划线代表不稳定解。耦合系统稳定性由 ki＞0(i=1，2，3，4)，Δ1＞0，Δ2＞0，Δ3＞0，Δ4＞0来确定，通过计算得出:系统稳定的临界点为0.072 4、0.493 9，即参数 g2在 (0.072 4，0.493 9)区间内系统稳定。系统振幅r1、r2由方程(35)～(38)求出:即从图2可以看出:系统振幅r1随时滞参数g2在一定范围内增大而减小，系统振幅r2随时滞参数g2在一定范围内增大而增大。

为了与原耦合系统式(12)和式(13)在同样系统参数下的稳定性及其振幅大小进行比对，同时验证上述理论预测条件的正确性，我们选择对图2(a)预测的结果进行验证。于是在(ⅰ)g1=g2=0;(ⅱ)g1=0.1，g2= －0.1;(ⅲ)g1=g2=0.1;(ⅳ)g1=0.1，g2=0.4四种情形下对耦合系统式(14)和式(15)进行数值模拟，其初始条件取为:x1(0)=x3(0)=0.01，x2(0)=x4(0)=0，得到四种情形下系统的历程图与相图，如图3～图6所示。

由图3可以看出，当(ⅰ)情形下参数g1=g2=0时，即非受控耦合系统呈现出明显的非稳现象;在(ⅱ)情形下即g1=0.1，g2= －0.1时在图2(a)中参数 g2所预测的非稳区域在图4中系统依然呈现出非稳态势，这与预测相符合;而通过选取(ⅲ)、(ⅳ)情形下两组时滞参数 g1=g2=0.1;g1=0.1，g2=0.4 对原系统进行控制后，系统都趋于稳定，这也与图2(a)中的预测相符，如图5、图6所示。

另外，易见选取的后两组时滞参数中即 (ⅲ)、(ⅳ)两种情形下g1均为 0.1，g2分别选取为 0.1、0.4，且参数 g2明显处于 (0.072 4，0.493 9)范围内。从图5、图6看出两组时滞参数下系统振幅依次为 0.49、0.37，呈递减趋势，耦合系统的振幅大小、变化趋势及其稳定性与上述预测(参见图2(a))相符合。

图5 参数g1=g2=0.1时滞系统数值解Fig.5 Numerical solutions of the time-delays system with g1=g2=0.1

图6 参数g1=0.1，g2=0.4时滞系统数值解Fig.6 Numerical solutions of the time-delays system with parameters g1=0.1，g2=0.4

图7 参数g1，g2联合作用下系统的稳定区域与不稳定区域Fig.7 Stable and unstable area under united effect of g1 and g2

上面是固定了时滞参数g1，考虑参数g2变化时系统的稳定性，为了全面分析系统稳定性，考虑二参数的联合作用，给出二者联合作用下的稳定区域与不稳定区域，如图7所示。

5 结论

应用具有耗散项的广义Lagrange方程建立了含三次耦合项的扭振系统时滞非线性动力系统的动力学方程。运用多尺度法对含有耦合非线性时滞动力系统在主共振以及1∶1内共振同时发生时进行了求解，得到了系统的平衡解。通过应用Routh-Hurwitz稳定判据判别耦合系统在平衡点的稳定性，给出了系统稳定的充分必要条件，并且通过数值模拟的方法验证了预测条件的正确性。这说明时滞反馈控制在扭转振动的稳定性控制领域有广泛的应用前景，也对工程中广泛存在的耦合系统稳定性分析与控制提供了理论依据。

［1] Swiatoniowski A，Bar A.Parametrical excitement vibration in tandemmills mathematical model and its analysis［J] .Journal of Materials Processing Technology，2003，134(2):214 －224.

［2] Tehrani M S，Hartley P，Naeini H M，et al.Localised edge buckling in cold roll-forming of symmetric section［J] .Thin-Walled Structure，2006，44(2):184－196.

［3] 汪 斌，朱杰兵，邬爱清，等.高应力下岩石非线性强度特性的试验验证［J] .岩石力学与工程学报，2010，29(3):542－548.

［4] 冯 霏，李凌轩，陈亚哲，等.汽车非线性悬架系统共振特性的研究［J] .东北大学学报:自然科学版，2010，31(3):415－417.

［5] 付 英.基础激励下桥梁斜拉索的非线性振动［J] .动力学与控制学报，2010，8(1):57－61.

［6] 张庆爽，丁旺才，孙 闯.一类单自由度非光滑系统混沌运动的延迟反馈控制［J] .振动与冲击，2008，27(1):155－158.

［7] Lin Y T，Sun T C.Mode superposition analysis of viscously damped nonlinear structural systems using an incremental algorithm［J] .Journal of Vibration and Acoustics，1993，115(4):397－402.

［8] 张家忠，许庆余，郑铁生.一种分析具有局部非线性的多自由度动力系统动力特性的方法［J] .计算力学学报，1999，59(1):73－78.

［9] 曹登庆，舒仲周.存在间隙的多自由度系统的周期运动及Robust稳定性［J] .力学学报，1997，29(1):74－82.

［10] 侯东晓，刘 彬，时培明.旋转机械传动系统连续扭振动力学建模与仿真［J] .中国机械工程，2010，21(1):30－34.

［11] 杨志安，李文兰.三圆盘非线性扭转自由振动系统3∶1型内共振［J] .唐山学院学报，2003，16(4):66－68.

［12] 张 妍，王怀磊，杨 杰.斜拉桥索－面－塔三自由度非线性振动模型及其1∶2∶1内共振分析［J] .动力学与控制学报，2010，8(1):62－65.

［13] 谢能刚，宋修广.多自由度结构受迫振动中的能量共振［J] .振动与冲击，2002，21(3):40－42.

［14] 陈 彬，刘 阁.化工管路系统的耦合振动主动控制研究［J] .振动与冲击，2009，28(8):158－162.

［15] 谭长建，祝 兵.地震作用下高速列车与桥梁耦合振动分析［J] .振动与冲击，2009，28(1):4－8.

［16] 刘相秋，王 聪，邹振祝.考虑失谐的弱耦合周期天线结构的振动主动控制研究［J] .振动与冲击，2009，28(6):126－130.