基于曲率拟合及变刀触点的防干涉四轴磨削算法

毛 磊 何 卫 周 洁 骆广进 胡旭晓 周哲平

1.浙江大学，杭州，310027 2.杭州机床集团有限公司，杭州，310022

0 引言

复杂曲面被广泛应用于航天航空、造船、汽车、玻璃仪器、陶瓷以及模具等行业[1]。目前，复杂曲面的加工以五轴数控铣床加工为主。在五轴数控铣床加工中，刀具干涉的检查与避免算法是复杂曲面加工的关键问题。国内外学者对此进行了很多研究。Lin等[2]通过比较刀触点处切平面上所有方向的加工表面的法向曲率和刀具包络面的法向曲率来找到无干涉的加工路径。Chen等[3]研究了R铣刀加工复杂曲面时避免两种局部干涉的方法。

在复杂曲面磨削领域，相关的研究相对较少，目前较常见的复杂曲面磨削还是以手工抛磨为主，比较先进的方法有六轴砂带磨削[4]，此外机器人和机械手在曲面抛磨加工中也开始得到应用[5－6]。然而这些先进的磨削加工方法都需要很高的投资成本，且其加工算法也十分复杂。本文提出一种可以在四轴联动成形数控磨床上加工无曲率突变的自由曲面的无干涉加工算法。

1 磨削加工设备及干涉

1.1 加工设备及圆弧面砂轮结构

1.1.1 加工设备及其联动关系

本文涉及的机床是合作公司的七轴五联动数控磨床，其结构如图1所示。该成形磨床的五轴联动采用4＋1方式，即4个直线轴X、Y、Z、V（其中V轴是砂轮修整轴，本算法中暂不涉及砂轮修整）、1个回转轴（B轴），另外回转台倾角为定值，由A轴驱动，坐标系满足右手定则。

图1 七轴五联动数控磨床的坐标系

加工时，将叶片固定在回转台上，保证叶片的一条长边与Z轴平行。加工的运动分配关系为：磨头完成直线运动ΔY，工件安装在回转台上完成直线运动ΔX′、ΔZ′以及旋转运动ΔB′。本算法不涉及砂轮修整轴，故实际上该机床结构实现四轴联动。

1.1.2 圆弧面砂轮结构

采用的砂轮结构简图见图2。该砂轮采用圆弧母线圆弧面结构。

图2 圆弧母线砂轮结构简图

在防干涉加工过程中，利用砂轮的圆弧表面来避免轴向干涉，同时以砂轮最大端面半径作为过切干涉的基准半径。由于砂轮半径越小越不容易发生干涉，所以本算法中不考虑砂轮修整的影响。

1.2 磨削干涉

将磨削加工中的干涉分为全局干涉和局部干涉。全局干涉是指砂轮端面或轴杆与加工表面以及加工环境中的夹具等发生碰撞。局部干涉又可分为过切干涉和轴向干涉。其中，过切干涉是由于局部加工表面曲率半径小于砂轮半径而引起的切除多余材料的情形，如图3所示；轴向干涉是由砂轮厚度引起的，或者在本文涉及的圆弧面砂轮中，是由刀触点法向量不一致引起的，如图4所示。实际上将砂轮母线改成圆弧形式已在一定程度上减小了砂轮母线为直线母线形式时的轴向干涉。

图3 过切干涉

图4 轴向干涉

2 过切干涉的检查及消除

根据引起过切干涉的原因，可以从两个角度来避免干涉。最容易想到的就是减小砂轮半径，但是自由曲面的曲率变化有时是很显著的，要完成整个曲面的磨削加工，有时可用的砂轮半径就要取得很小。砂轮半径过小会带来很多问题，如加工效率将大大降低、表面粗糙度由于残余高度的加大将受到影响，此外如砂轮半径过小，则要求主轴转速很高才能满足切削速度的要求，这就对砂轮主轴的刚度提出了很高的要求，因而提高了加工成本。为此本文提出一种新的方法来消除过切干涉。

2.1 过切干涉检查

计算加工曲面各点的曲率半径，理论计算方法可参考微分几何中的曲面第一基本量和第二基本量相关内容[7]，这里不赘述。

本文利用UG软件通过二次开发获取加工曲面各点参数，通过UF＿MODL＿ask＿curve＿points（）获取等参数加工路径的参数，包括该等参数线上各点的曲率半径，记为rad＿of＿cur；利用UF＿MODL＿ask＿face＿props（）获得磨削点主曲率，记为k1、k2，法向量记为n，加工点坐标值记为Cpoint。

过切干涉仅发生在凹区域，因此根据曲面凹区域满足的条件确定需要检查干涉的磨削点。对于凸区域则不需要进行过切干涉检查，直接进入刀位点进行计算即可。判断方式如下：

砂轮端面的初始位置与加工轨迹线平行，因此当砂轮半径大于加工轨迹线上磨削点的曲率半径时会发生干涉，另外加工轨迹线上其他点的曲率半径发生突变时也会引起干涉，如图5所示。

图5 过切干涉检查示意图

因此，干涉检查过程如下：首先，对于每一条参数曲线，取 min｛rad＿of＿cur｝，记为ρmin，并获取该最小曲率点坐标，计算该坐标与磨削点坐标沿砂轮端面的距离dt；对于每一个磨削点，如果rad＿of＿cur＜Rgr（Rgr为砂轮的实际加工曲率半径）则发生干涉，如果rad＿of＿cur＞Rgr则继续进行判断，如果dt＜R（R为砂轮的最大加工曲率半径）且min（rad＿of＿cur）＜Rgr则发生干涉，其他情况则通过干涉检查。

2.2 过切干涉消除

过切干涉的消除主要基于曲率拟合的条件，通过调整砂轮端面与加工轨迹面的夹角来消除。

（1）计算砂轮的实际加工曲率半径Rgr。由于本文算法适用的机床为固定刀轴方向——沿Z轴负方向，而回转台带倾角回转的数控磨床结构，因此，磨削点法向量与砂轮端面存在夹角，对砂轮半径有放大作用，如图6所示。根据该法向截面上投影椭圆的曲率半径即可求得砂轮实际加工半径：

图6 砂轮实际加工半径

（2）计算磨削点等参数方向与最小曲率方向夹角。根据微分几何知识，对于自由曲面上任意一点都有两个主曲率，记为k1、k2（k1＜k2），它们的切向即为两个主方向。由于曲面是连续的，故将曲面凹区域的磨削点定义为凹椭圆点。根据欧拉定理，曲面上任意点在其切平面上任意方向具有不同的曲率半径，其范围在1／k1～1／k2之间连续变化，如图7所示，则磨削点等参数方向的曲率可根据下式计算[8]：

图7 磨削点曲率的连续变化

式中，θ为kt所在方向与k1所在方向的夹角。

根据2.1节获得的参数可以求得磨削点等参数方向的kt与最小曲率方向的夹角：

根据2.1节干涉检查结果，发生过切干涉有两种情况，前者取后者取kt＝分别代入式（2）求得θ。

（3）计算满足曲率拟合的最佳磨削截面。设最佳截面方向的曲率为kfit，则最佳截面方向与最小曲率方向的夹角为

代入式（1）得

因此，等参数加工轨迹截面与最佳磨削截面的夹角φ＝θ－λ。

这样就找到了无干涉加工截面。通过回转台的旋转运动令该截面与砂轮端面平行就能消除过切干涉。接下来根据机床旋转运动的形式反解计算回转台旋转量。

3 轴向干涉的检查与消除

上述过切干涉消除确定了刀轴方向，消除了曲面k2方向上的干涉，但在k1方向上还可能存在干涉。对于图2所示砂轮结构，由于在k1方向上砂轮圆弧面的曲率半径一般小于曲面的曲率半径，所以不考虑过切干涉，只需考虑轴向干涉。轴向干涉是由于加工点法矢量与刀触点法矢量不一致引起的，如图8所示。

消除该类干涉的关键就是找到合适的刀触点。每一个磨削点会对应不同的刀触点，根据磨削点的法向量求得调整后的刀触点，然后通过平移将合适的刀触点平移到与磨削点重合，即可实现无干涉的加工，如图9所示。该方法只需要四轴联动即可完成加工。

图8 法向量不一致引起的轴向干涉

图9 调整刀触点避免轴向干涉

4 叶片曲面磨削仿真实例

4.1 叶片磨削仿真软件

叶片加工仿真软件界面见图10，主要由刀位点计算模块、加工参数设置及仿真模块组成。

图10 叶片磨削仿真软件界面

刀位点计算模块包含了上述防干涉磨削算法的相关代码，由该模块生成加工轨迹；然后用“生成刀具”按钮建立砂轮的参数化模型；加工参数设置及磨削仿真模块完成砂轮模型与叶片表面模型的快速差集运算。加工仿真过程如图11所示，加工过程数据（刀轨）如图12所示。本仿真软件结合机床的运动形式，通过砂轮的平移运动和叶片绕回转台固定回转轴的转动，四轴联动完成加工过程的仿真。图12中前三列数据显示的是实时平移量，最后一列显示的是实时回转台旋转量。

图11 仿真时砂轮正磨削叶片表面

图12 叶片磨削加工仿真实时数据截图

4.2 叶片表面形状精度分析

利用UG偏差测量模块分析磨削仿真加工后的叶片表面。磨削仿真采用直径50mm、圆弧半径5mm的砂轮，并设置U向进给量为0.5mm，V向进给量为1mm。仿真磨削加工后叶片表面的形状偏差最大为0.0508mm，最小为0.000 25mm，由此可知磨削仿真精度达到0.05mm，且消除了加工中的过切和干涉。

5 结论

（1）提出了曲面磨削中过切干涉和轴向干涉的概念及其形式，并给出其各自的干涉消除方法。

（2）提出寻找曲面合适的曲率方向，通过旋转运动使其与砂轮端面平行来消除过切干涉的方法，这样就可以采用较大直径的砂轮而不需规定砂轮半径小于加工曲面的最小半径，有效地减小了残留高度，提高了加工表面质量，并提高了加工效率。

（3）设计了一种圆弧母线圆弧面结构的砂轮，使得整个圆弧面作为工作表面，可以方便地找到能与磨削点法向量一致的刀触点从而完成无干涉拟合，使得在四轴联动数控磨床上进行扭转叶片的加工成为可能。

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[2]Lin Than，Lee Jae－Woo，Bohez E L J.A New Accurate Curvature Matching and Optimal Tool Based Five－axis Machining Algorithm[J].Journal of Mechanical Science and Technology，2009，23：2624-2634.

[3]Chen Tao，Ye Peiqing，Wang Jinsong.Local Interference Detection and Avoidance in Five－axis NC Machining of Sculptured Surfaces[J].International Journeral Advantage Manufacture Technology，2005，25：343-349.

[4]石璟.面向叶片加工的数控砂带抛磨系统的研究[D].无锡：江南大学，2009.

[5]Zhao Yang，Zhao Ji，Zhang Lei.Path Planning for Automatic Robotic Blade Grinding[C]／／International Conference on Mechatronics and Automation.Changchun，2009：1556-1560.

[6]Choi B O，Lee M K.Development of a Hybrid Robot Arm for Propeller Grinding[C]／／Proceedings of SPIE－The International Society for Optical Engineering.Intelligent Robots and Computer Vision XV：Algorithms，Techniques，Active Vision，and Materials Handling.Boston，1996，2904：517-527.

[7]陈维恒.微分几何[M].北京：北京大学出版社，2006.

[8]苏高峰，张秋菊.基于UG的叶片数控砂带磨削刀位数据的计算[J].机床与液压，2006（1）：61-63.