学生从算术到方程思想形成的调查研究

2011-08-27430062湖北大学数学与计算机科学学院徐胜茂

中学数学杂志 2011年24期

430062 湖北大学数学与计算机科学学院徐胜茂

1 问题提出

法国哲学家、数学家、解析几何的创始人笛卡儿认为：“一切问题都可以转化为数学问题，一切数学问题都可以转化成代数问题，一切的代数问题都可以转化为方程，于是，一切的问题均将迎刃而解.”

从数学科学本身看，方程是代数学的核心内容，正是对于它的研究推动了整个代数学的发展.从代数中关于方程的分类看，一元一次方程是最简单的代数方程，也是所有代数方程的基础.主要内容包括：一元一次方程及其相关概念、解法及解决实际问题.，以方程为工具分析问题、解决问题，即建立方程模型是全章的重点，同时也是难点.

前不久，在一所大学附中听了一节关于一元一次方程的新课：从算式到方程.课堂上老师先将章前图作为先行组织者引入新课，然后把全班分成7个小组，分组讨论一元一次方程章前图所提出的行程问题.结果前四个小组汇报解答方法的同学采用的都是算术法，直到第五组才开始去思考用方程求解.第六组和第七组方法一样，形式上似乎是方程的方法，实际上还是用算术法.

这节课里，明显感觉到大部分学生都习惯用算术法，难以从算术法的思想中转变过来.如何让方程的思想变成学生的自觉行为，实现“从算式到方程”的转变?笔者设计了一份调查问卷来研究学生初学一元一次方程时究竟是倾向于方程法还是算术法，并对一元一次方程的教学提出一点建议.

本调查着重解决以下两个问题：(1)初中生在初学一元一次方程时，喜欢用算术法解应用题是否是一个普遍现象?学生对方程的理解又是怎样的?(2)在用方程法解决应用题时，学生的困惑在哪里?究竟是列方程还是解方程?

2 设计意图

调查问卷分为两部分共10个题，前7个题目为选择题，其中第4题是多项选择题，其余6题均为单选题.选择题主要是考查学生对用方程法解应用题的理解及实际运用的情况的调查.后面的大题分为三个大题，第8题是让学生用适当的方法解应用题，调查他们潜意识里是习惯用方程法还是算术法.第9题有3个小题，了解学生列方程时的主要困惑在于等量关系比较复杂还是题目所给数据太大.在题型方面设计了两个可以直接设未知数的题目，一个间接设未知数的题目，考查学生设未知数这一步是否理解了.第10题了解学生用方程解应用题时，在分析题意/设未知数，列出方程/求解方程/作答的情况.

3 研究方法与分析

笔者选择了两所农村初中(分别简称为乙校、甲校)学校各一个班，共75名学生与测试.在测试前，研究者向参与测试班级的数学任课老师了解学生学习进度并确认学生已经完成了课本上相关内容的学习.

3.1 选择题调查结果与分析

前面7个选择题的统计结果按以下方法统计.单选题则是统计A，B，C，D每个选项各有多少人选择.对于第四题的多选题则是在统计A，B，C，D每个选项各有多少人的基础上再统计只选了C，D的学生又有多少人.下面的表格分别为乙校(表1)和甲校(表2)的统计结果.

表1 乙校选择题统计汇总表

表中的下划线“/”表示没有这一选项.

表1中84%的学生选择遇到应用题时首先想到的是方程法，只有不足11%选择用算术法.超过65%的人认为列方程解应用题的难点为解方程，26%的人认为列方程解应用题的难点是理解题意，大约8%的人认为难点是设未知数.在甲校的调查中没有学生认为找等量关系是难点.约有34%的学生认为列方程解应用题有些难度，8%左右的学生认为列方程解应用题很简单，其他的学生保持中立的态度.

第4题则是考查学生对一元一次方程定义的理解.选项C是课本上的一个定义，选项D则上升了一个层次，领悟了方程的思想.81%的学生记住了课本上的概念和定义，对方程的理解没有上升到方程是刻画现实世界等量关系的数学模型，其中只有15.7%理解上升了一个层面.第5题的表明只有34%的学生有用方程解决数学问题的意识，第7题的调查结果与第二题的调查结果有些不相符合，64%的学生认为不喜欢做等量关系太复杂的应用题，而在第2题中没有人认为找等量关系式是列方程解应用题的重点.约有13%的学生不喜欢题目太长的应用题，18%的学生不喜欢做数据太大的应用题.

表2 甲校选择题统计汇总表

表2中62%的学生选择遇到应用题时首先想到的是方程法，约有29%学生选择用算术法，还有极少数学生用拼凑法和图表法.超过64%的人认为列方程解应用题的难点为找等量关系，13%的人认为列方程解应用题的难点是解方程，大约22%的人认为难点是理解题意.在乙校的调查中没有学生认为设未知数是难点.约有32%的学生认为列方程解应用题有些难度，11%左右的学生认为列方程解应用题很简单，其他的学生保持中立的态度.对于第4题方程的概念的理解，94.5%的学生记住了课本上的概念和定义，37.8%的学生的理解上升了一个层面.虽然有54%的学生认为方程与实际生活联系紧密，但还有许多学生没有这种意识.第5题的调查结果表明只有21%的学生有用方程解决数学问题的意识.说明有的学生虽然有把生活与数学联系起来的意识，但缺乏用方程解决数学问题的意识.

78%的学生不喜欢做等量关系太复杂的应用题，13.5%的学生不喜欢做数据太大的应用题，这一结果与第二题是相吻合的，第2题的调查结果表明大部分学生认为找等量关系是难点.

甲校的学生测验时间比乙校要早一周，在很多问题上调查的结果也不尽相同.比如说针对列方程解应用题的难点，甲校的学生倾向于解方程为难点，而乙校认为找等量关系为难点.

3.2 主观题调查结果与分析

第8题是让学生用适当的方法解应用题，统计时先区分算术法、方程法以及没有做的各有多少份.然后在方程法里面分为三栏，不会列方程、不会解方程和没有答的.第9题是统计三方面的内容：不会做、不会列和全对的.但由于乙校有部分学生没看清题意，把列方程看成了解应用题，所以有少数学生用表格法、列举法和算术法来解答.第10题也是统计不会做、不会列和全对这三项，另外也有极少数学生没看清题意，用算术方法进行解答.统计结果如表3和表4

表3 甲校主观题汇总表

从表3中可以看出第8题中的第①题中有55.3%的学生选择用方程法来解应用题，不会做的学生比较多，占44.7%，这些学生既不会用方程做也不考虑用算术方法来解答.在用方程法解应用题中，有2个学生不会列方程，有1个列了方程后不知道如何解方程.在第②题中52.6%的学生选择用方程法来解答，其中有3个学生不会解方程，有2个学生没有作答，只有15个学生做的是全对，有47.4%的学生没有做.

第9题第①题的列方程不会做的占47.4%，不会列方程的占2.6%，全对的占50%.

后面两题做得没第①题好，第②题不会做的占68.4%，已经超过了一大半，做全对的也仅仅只有23.7%.

第③题和第二题做的情况差不多.

第10题中的两个小题和第9题的后两题做的情况差不多，全对的仅23%，大部分学生不会做.

表4 乙校主观题汇总表

从表4中可以看到乙校开始有少数学生用算术法来解答应用题，并且做的情况比甲校好一些.对于第8题只有少数学生不会做，其中第①题不会做的只有1个人，第②题不会做的只有2个人.用方程法做全对的前一题占55.3%，后一题占63.2%.不会列方程的前一题占23.7%，后一题占18.4%.第9题则有学生没有认真读题意，以为是解应用题，所以有学生用表格法、算术法及列举法来做.第9题的这三个小题做全对的人数越来越少.第1题全对占59.5%，第2题全对的占40.5%，而第3题全对的只有24.3%.第8题考查学生潜意识里面是会用方程法还是算术法来解决所遇到的问题.在大学附中听课时，本章章前图所提出的问题，大部分学生首先想到的是算术法.而在甲校的调查结果表明没有学生用算术法，会的就用方程法，有一部分学生没做，推测原因可能是方程的意识还没有形成，算术方法已经忘记了.另一种原因就是学生刚刚学了一元一次方程，故以为这一题也要用方程法来解.大部分学生用方程解法如下：

解设平均每天用10元钱的有x天，则每天用5元钱的有(7－x)天.依题意可得如下方程10x+5(7－x)=50，解得x=3.其中有2个用算术法，一种是用拼凑法，有学生按如下方式解答：

解10×3=30，50－30=20，20÷5=4，3+4=7.所以用10元钱的有3天，用5元钱的有4天.

还有一个同学试图用鸡兔同笼的思想来解答这个题目，解答过程如下：

解50÷10=5，7－5=2，10×2=20，50－20=30，30÷10=3.

第二小题也有2个学生用算术法来解答.解答过程如下：

解①55－1÷3=18，18+1=19，55－19=36;

②55÷3－1=37.5≈38，38÷3+1≈14.

学生想用算术法来解答这个题目，把儿子的年龄看作一份，父亲的则是儿子的3倍少一，学生在这里理解有误，认为4倍的儿子的年龄应该为(55－1)，实际上少一岁，则应该是(55+1).学生头脑里面的思维的可逆性不强，导致用算术法出现错误.

从第8题的调查结果来看，农村初中的学生用算术法十分少有，不在我们的预料之内.

第9题主要是了解学生主要是在做应用题时哪一步时会出现错误，不会列方程的主要是用含x的式子表示相关的量时出现问题.

第10题考查学生对解方程的掌握情况，随着学生对方程内容学习的深入，掌握的情况会越来越好.

4 小结

本次调查的范围是两所农村中学，教学资源与城市相比有较大差距.因此这次调查只能反映这个地区的情况.这两所学校里，用算术法解应用题不是一个普遍现象，学生数学底子太薄，已经忘记了用算术法应该怎么做.所以不会用算术法做，也不会用方程法来解答.学生在用方程解应用题时，主要是不会找等量关系，以及找完之后用含x的式子表示相关的量也有一定的困难.