让学生在问题设计中发现——引导学生“再创造”《矩形判定》的教学研究*

226001 江苏省南通市教育科学研究中心 符永平

让学生在问题设计中发现
——引导学生“再创造”《矩形判定》的教学研究*

226001 江苏省南通市教育科学研究中心 符永平

1 引言

著名的数学教育权威弗赖登塔尔认为，数学教学方式的核心是学生的“再创造”.如何通过数学教学培养学生这种问题意识?训练学生这种问题意识?一直是笔者多年的追求.应无锡英桥国际学校之邀，笔者上了《矩形判定》的新授课，本文结合课堂实录与点评，汇报自己的教学思想，以求更多老师帮助.

2 课堂教学实录与点评

师：同学们，这课我们该学什么了?

生：学矩形判定.

师：为什么?

生：由平行四边形的学习经验可知道，几何图形的定义、性质学好了就该研究判定了.

师：这条经验很好!这堂课我想从“学什么?怎么学?”来和同学们探索“矩形判定”，怎么判定矩形呢?

生：有一个角是直角的平行四边形是矩形.

师：这不是定义吗?

生：它不仅是定义，而且还是判定.

师：为什么?

生：从等腰三角形、平行四边形等的学习经验发现的.

生：定义还可作为性质.

生：定义还是产生其它判定方法最原始的依据.

设计问题1 从定义出发开始研究，根据平行四边形等的学习经验来研究矩形，这是学会学习最可贵方法.现在就把定义作为矩形判定的方法一，你能根据它设计一道判断题.

生：有一个角是直角且对角线互相平分的四边形是平行四边形.

师：这题设计得怎样?大家评评.

生：把平行四边形换成了对角线互相平分，说法不同，其实一样，这题好!

师：这个评价不错，评价的过程是对这个问题最好的解答!下面请看［设计问题2］.结合判定方法一，就少一个直角，能根据边的长度设计直角?

设计问题2 结合判定方法一设计，已知：▱ABCD，且_____，求证：▱ABCD是矩形.生：由勾股定理逆定理，三边长满足勾股数，确定直角三角形就有了一个直角.

生：已知 AB=3，AC=4，BD=5，从而确定∠A 是直角.

生：还可以AB2+AD2=BD2.

师：联系已学知识设计问题，不仅发现了新问题，而且能将知识与知识联系起来，从而把握知识与题型的本质，很好!请看［设计问题3］：由三角形中位线定理可知，MN平行且等于PQ，从而得▱MNPQ，但根据定义还是少一个直角.

图1

设计问题3 结合判定方法二设计，已知：四边形MNPQ是四边形ABCD的中点四边形，且_____.求证：四边形MNPQ是矩形.

师：▱MNPQ各内角大小与对角线AC，BD的夹角有什么关系?有了4个平行四边形，可知∠NMQ=∠AOC.

生：只要AC⊥BC，就有∠NMQ为直角.

师：这是道好题，设计终于成功……［有了判定方法三，再请用另一方法解答，后面不再说明］

图2

点评 充分利用学生已有的学习经验，引导学生“再创造”矩形判定方法，联系勾股定理和三角形中位线等“再创造”应用判定方法的新题型.这不仅实现了“再创造”，而且强化了学生的学习经验(如用研究平行四边形的方法来研究矩形)，加强了知识间的联系和系统性，从而改善了学生的学习方式，提高了学生“再创造”的宽广性，减少了对“创造”的神秘感.

师：请看［问题情境1］(多媒体演示：从左上角的第一个盆景开始直行……动态形成四边均为盆景的排布，同时诵读“花城江阴，英桥飘香.摆赏盆景，景在几何?!”)

问题情境1

图3

生：矩形!

师：为什么?

生：四边形中有3个角是直角.

师：为什么有3个角是直角的四边形是矩形?

生：3个角是直角，由四边形内角和可知第四角也是直角，这样两组对角相等成了平行四边形，满足矩形定义，所以是矩形.

生：上下、左右两组直角可分别得出两组对边平行，从而得到平行四边形，满足定义，所以是矩形.

师：你们以自己的学习经验，将新问题转化成平行四边形研究，用矩形定义“创造”了判定方法二，太好了!结合这个判定方法，请设计几道判断题并解答.

生：判断，有3个角相等的四边形是矩形.(学生评：这题有创意.)

生：判断，有四个角是直角的四边形.(学生评：本题质量不高.)

生：判断，有四个角相等的四边形.

生：判断，有两个角是直角的四边形.

师：这些好题还可作为选择题的选项，课后同学们可继续“加工”.请同学们看［设计问题4］

设计问题4 结合判定方法二 设 计，已 知，▱ABCD 中，_______，求证：四边形_______是矩形.

生：作垂线，就有直角.

师：请在图上结合判定二尝试设计一个矩形?

生：可以作AE⊥BC于E，CF⊥AD于F

师：好!我们又设计出一题证明题，会证明(证明略)?再请看［设计问题5］，∠A与∠B什么关系?能否从这里找到构造直角的突破口?

设计问题5 结合判定方法二设计，已知，如图，▱ABCD 且________，求证：四边形________为矩形.

图4

图5

生：∠A+∠B=180°，有 180°就可构造直角，所以考虑这两角的角平分线.

生：要3个直角，可现在只有一个直角，还是没有矩形啊!

师：还有其它180°可找?

生：有4组邻角的和都是180°……

生：▱ABCD四个内角的角平分线分别交于E，F，G，H，求证四边形EFGH是矩形.

师：漂亮，又是一道好题!会证明?

生：自己参加设计的题目会证得更好，不会证怎么可能设计?

师：对，平时多从试题的形成、变化联系去训练自己，其学习效率和效果是可想而知的，我们要养成这种训练的习惯.

点评 充分利用问题情境变化的“刺激”作用，引导学生“再创造”判定方法二，联系平行四边形性质和试题研究的基本方法“再创造”应用判定方法二的新题型，从而提高了学生“再创造”的持久性和探索欲望.

师：请同学们看教具(图6，四边用木条做成可活动)在BD(红塑料线)缩短，另一对角线(白色松紧带)变长的过程中，▱ABCD变化情况.

生：因为平行四边形对边相等，所以边不变化.

生：∠ABC，∠ADC 变 大，∠A，∠C变小.

生：当∠ABC=90°时，▱ABCD成了矩形.

生：当∠ABC=90°时，其余三个角都成了直角.

师：对，从边角观察……这就是我们上面发现的两个判定方法，还有什么发现?

生：在▱ABCD成为矩形的过程中，两条对角线一条变长，一条变短.

师：这给我们什么启发?

生：会不会对角线相等的平行四边形也是矩形?

师：伟大的发现总是从问题开始，这问题有质量!请同学们研究.

生：对角线相等能找到直角?师：为什么要直角?

生：必须满足定义才是矩形.

师：抓住定义是产生判定方法最原始的依据，很好!直接找直角难，我们再从已知出发试试.

生：要证∠BAD=90°，现在只知道∠BAD+∠ADC=180°

生：只要证∠BAD=∠ADC，也就是只要证两角所在的三角形全等.

师：从已知出发，再从要证的结论向已知“靠拢”，这又是一条重要的解题经验.

生：三边对应相等得三角形全等，得证对角线相等的平行四边形是矩形.

师：我们又成功“创造”了一个判定方法，现请同学们结合［问题情境2］回答.

图6

问题情境2 结合现实生活设计一道应用判定方法三的实例，你会怎样检查一个四边形门框是不是矩形?

生：若量得有三个角是直角则可判定它是矩形.

生：(1)先测量两组对边相等，则可判定它是平行四边形.

(2)若再测得两条对角线也相等，则可判定它是矩形.师：很好!再请同学们［设计问题6］

图7

设计问题6 结合判定方法三设计，已知，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于O，且________，求证：四边形_______是矩形.

生：加上条件 E，F，G，H 是 AO，BO，CO，DO 的中点，我们可以利用对角线相等的平行四边形是矩形.

师：很好!要证的四边形四个顶点一定要是中点?生：还可以AE=BF=CG=DH.

师：从设计特殊问题再设计成一般问题，这里的题目太多了……可本质不变被同学们发现了，太好了!再请同学们［设计问题7］.

图8

设计问题7 已知，▱ABCD的对角线 AC，BD相交于 O，△AOB是等边三角形，AB=4cm，求∠1的度数.

生：加条件 BO=AO=4，即△ABO就是等边三角形，∠1=30°，并可设计第二个问题求BD.

生：也可求▱ABCD的面积.

生：直接加条件△AOB为等边三角形.

师：都很好!老师这堂课的收获太多了……请同学们先说说这堂课的收获.

生：知道了判定矩形的三个方法(见板书).

图9

图10

生：迁移学习平行四边形的方法研究矩形.

生：设计问题的训练使我们把原来学过的很多问题联系起来，变成新问题.很有趣!

生：设计问题……数学题原来就是这么产生的.

生：把矩形转化为平行四边形、三角形这是基本方法.

师：学会小结，是学会学习的重要内容，课堂小结我们要养成抓住“学什么?怎么学?”来训练自己，同学们的小结很精彩……现结合情境3回答问题.

问题情境3

图11

生：第一个问题38的，第二个问题是49，因为矩形的对角线相等.

师：第一个问题回答是正确的，第二个问题49盆是错误的，这是一盆盆智慧的花，人生几何，几何人生，但愿同学们带着这些几何问题生成更多的智慧之花来点缀美丽的人生!(本堂课结束)

点评 充分利用教具实验中的变化规律启发学生，引导学生“再创造”判定方法三，联系矩形性质“再创造”应用判定方法三的新题型，从而提高学生“再创造”的渐进性和趣味性.

师：三个角是直角的四边形是矩形，这是我们的猜想，如何证明?

生：结合定义，即满足定义可证得了.

师：对，这位不举手的同学能告诉我有什么困难?

生：有3个直角我不知道用?

师：定义怎么说的?

生：有一个角……

师：什么条件满足了?

生：一个角是直角满足了.

师：你怎么这样谦虚，说不知道，上面不是讲得很好?结合定义还要证什么?

生：证平行四边形.

师：三个直角能证平形四边形?

生：……我会了!

点评 充分利用学生学习的基础、能力、习惯等的差异，引导更多的学生参与和欣赏“再创造”活动，通过“创造”培养学生大胆联想，勇敢猜想，不畏失败，在优生帮助差生(把差生讲懂有成就感，且是最好的巩固训练)和差生欣赏优生(原来这些知识和题目我身边的同学也能“创造”……)的互动活动中利用差异资源.

3 教学随想

3.1 本课的特点

矩形和平行四边形的性质和判定，无论是教材编写的体例，还是核心概念形成与研究方法都有很强的迁移性.从矩形的性质的问题入手，让学生用研究平行四边形的方法，引导学生变式问题并解决问题，学生自己“创造”的10道新题出来了，矩形的判定也同时呈现了(就是这些问题中的一些结论)，同学们面对自己探索的成果震憾了……而这些问题的设计与解决过程又起到了例题、巩固练习题的作用，课堂效率是显见的.

本课属于“问题设计”新授课型，适用于迁移性强、知识连贯性强的新授课.其作用是让新授课成为学生自主探究的“创造”性知识，使知识的生成与发现真正成为学生自己的劳动.操作要义为：最近发展区，迁移.目的是让学生在学会发现问题、提出问题、延伸问题过程中学会“再创造”，“创造”学生自己的问题，“创造”学生解决问题的方法.

3.2 本课的理论依据

亚里士多德说“求知是人类的本性”.求知的欲望，自由的思考，是创造的必要条件，也是走向创造的充分条件.创造性教学，就是为学生创造思考的自由，激发学生求知的欲望与兴趣的教学.创造性教学的实施可由三个起点构建，首先是学生学习的逻辑起点，其次是把握学生学习的现实起点，再次是把握学生知识生成的创新起点，使学生在这三个起点构建的“最近创造区”内自由地挑战、自由地创造，学生不仅是学习的“再创造”者，还是在教师引领下实现课堂时空开放、教材与课堂超越的主体.

一堂课，一个人的创造尝试也许很有限，但只要我们齐心努力，不断发现问题，一定会迈近成功!

20111129)