椭圆的“姊妹椭圆”与“姊妹圆”及其性质

●姜坤崇 (杨浦区彰武路同济新村224号甲 上海 200092)

性质1 如图1，设P是椭圆E1上的任意一点，E1在点P处的切线交椭圆E于点A，B，椭圆 E 在点 A，B 处的切线交于点 Q，记 kOA，kOB分别

为直线OA，OB(O为E的中心，以下同)的斜率，则

图1

(2)点 Q 在 E2上，且∠AQB=90°;

(3)AB⊥PQ.

证明设 P(x0，y0)，Q(x'，y')，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由点 P 在 E1上知

切线AB的方程为

两边同除以x2，可得

(2)由AQ，BQ分别为椭圆E过点A，B的切线知其方程分别为

由点Q(x'，y')分别在2条切线上得

从而椭圆E的切点弦AB的方程为

又知AB的方程为式(2)，由直线重合的条件可得

这表明点Q在E2上.以下证明∠AQB=90°.

(3)当 x0y0≠0 时，由式(5)，式(6)得

当x0y0=0时，不难证明亦有AB⊥PQ，此处从略.

性质2 如图2，设P是椭圆E上的任意一点，过点P引椭圆E1的2条切线，切点分别为 A，B，直线 PA，PB分别交椭圆E于另一点C，D.记 kPA，kPB分别为直线PA，PB 的斜率，则

(1)点 C，O，D 共线;

图2

证明(1)当点P不在2条坐标轴上时，直线OP的斜率存在且不为0.因为直线PC，PD分别切椭圆E1于点A，B，故由性质1的结论知

从而点C，O，D共线.

当点P在y轴上时，不妨设点P为(0，b)，此时由性质1的证明过程知2条切线PA，PB的方程为±bx+ay-ab=0，从而点C，D在 x轴上，故点C，O，D 共线.

同理可证，当点P在x轴上时，亦有点C，O，D共线.

(2)设 P(x0，y0)，C(x1，y1)，则

由第(1)小题的结论可知点 C，O，D共线，于是D(-x1，-y1).

证明设 P(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

图3

切线AB的方程为

上式整理后2边同除以x2，得

性质4 如图4，设P是圆E2上的任意一点，过点P引椭圆E的2条切线，切点分别为 A，B.记kOA，kOB分别为直线 OA，OB 的斜率，则

图4

(1)∠APB=90°;

(2)直线AB与椭圆E1相切，设切点为Q，有AB⊥PQ;

证明(1)当点P不在2条坐标轴上时，直线OP的斜率存在且不为0.设直线PA，PB分别交E2于点C，D，由于PC，PD分别和椭圆E相切于A，B，故由性质3的结论得

于是kOC=kOD，即 CD过中心 O，CD为圆 E2的直径，从而∠APB=∠CPD=90°.

(2)设 P(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

由PA，PB为椭圆E过A，B所引的2条切线知其方程分别为

由P分别在2条切线上得

从而椭圆E的切点弦AB的方程为

当y0≠0时，由式(10)得

代入E1的方程整理得(用到式(9))

设关于x的二次方程(11)根的判别式为Δ，注意到式(9)，有

从而直线AB与椭圆E1相切.设切点为Q(x'，y')，则由方程(11)、(10)及式(9)可得

(3)当 x0≠ ±a 时，y0≠ ±b，由第(2)小题的证明过程可知

又由第(1)小题的结论知∠APB=90°，所以

当x0=±a时，不妨设x0=a，则y0= ±b，此时过点P所引椭圆E的2条切线方程为x=a，y=b(或y=-b)，2个切点在 2条坐标轴上，显然∠AOB=90°.

［1］ 姜坤崇.相似椭圆的性质又探［J］.数学通讯(下半月)，2011(4)：36-37.