关于四边形剪拼的探究

2011-08-27张昌林襄州区黄集镇初级中学湖北襄阳441123

中学教研(数学) 2011年12期

关键词：中点梯形四边形

●张昌林 (襄州区黄集镇初级中学湖北襄阳 441123)

一小学生放学回家说：“今天的作业是剪图形，老师让我们剪三角形、正方形、长方形、平行四边形、梯形……，然后把剪好的图形拼成新的图形.”笔者发现剪拼图形挺有意思，于是做了一些研究，与大家分享.

注这里讲的“剪”，只能沿直线剪;这里讲的“拼”，指图形拼完后不能有重叠部分，也不能有剩余部分.

1 平行四边形的剪拼

1.1 平行四边形剪拼成三角形

平行四边形剪拼成三角形主要用“面积不变”的思路，有2大类方法，每一大类都有无数种拼法.

方法1 如图1，在▱ABCD中，点E是AB的中点，作射线DA，CE，2条射线相交于点D'.易证△AED'≌△BEC，将△BEC绕点 E旋转 180°与△AED'重合，这样将▱ABCD沿CE剪开就可以拼成△DCD'.

图1

图2

方法2 如图2，在▱ABCD中，也可先找到BC的中点E，其他作法同上.

是否只有这2种方法呢?用动态的观点研究该问题，有方法3如下：

图3

图4

方法3 如图3，点G，H分别是AD，BC的中点，D'是AB上任意一点(动点)，作射线D'G，D'H，分别交直线 DC于点 E，F.易证△DGE≌AGD'，△HBD'≌△HCF，这样▱ABCD就可以剪拼成△EFD'.当点D'在AB上移动时，产生的△EFD'随之变化，因此产生的△EFD'就有无数种剪拼方法.

当点D'在AB上运动到如图4所示的位置时，△EFD'为锐角三角形;当点D'在AB上运动到如图5所示的位置时，△EFD'为直角三角形;当点D'在AB上运动到如图6所示的位置时，△EFD'为等腰钝角三角形.当点D'在AB上运动时，△EFD'能否为等边三角形?若不能，请说明理由.

图5

图6

同样地，用动态的观点研究该问题，又有方法4，方法4实际上是方法1的一般化推广.

同理，可以将动点D'选在BC(或AD)上，方法原理同上.

图7

图8

1.2 平行四边形剪拼成长方形

如图 8，过点 A作 AF⊥DC于点 F.易证Rt△ADF≌Rt△BCE，将△ADF剪下平移到△BCE的位置就拼成了长方形.

1.3 平行四边形剪拼成正方形

图9

图10

平行四边形剪拼成正方形的过程较复杂，要先将平行四边形剪拼成长方形，再把长方形剪拼成正方形.如图9所示，用“面积不变”的思路，可将给定的长方形剪拼成正方形.请读者探讨有没有更好的方法.

1.4 平行四边形剪拼成梯形

同样地，用动态的观点研究该问题，用“面积不变”的思路，把平行四边形剪拼成梯形.如图10，点E是BC的中点，点F是AB上任意一点(F不与点A，B重合，思考为什么?).易证△FBE≌△GCE，将△FBE剪下使它和△GCE重合即拼成了梯形AFGD.因为点F在AB上移动，所以有无数种剪拼梯形的方法.当点F移动到点A的位置时，平行四边形可剪拼成三角形，即1.1中的方法1;当点F移动到如图11所示的位置时，可剪拼成直角梯形;当点F移动到如图12所示的位置时，可剪拼成等腰梯形.

图11

图12

图13

图14

在▱ABCD中，点E为AB的中点，G为BC上任意一点，G在BC上运动(不包括点B，C)，原理同上也可以剪拼成梯形.因为点G在BC上运动，所以有无数种剪拼成梯形的方法.特别地，当G运动到如图13所示的位置时，可剪拼成直角梯形.

1.5 平行四边形剪拼成任意四边形

如图14，在▱ABCD中，点E是AC上任意一点，过点E作AB的平行线，交BD于点F.在线段EF上任取2个点G，H(不包括点E，F)，分别过点G，H作AC的平行线交CD于点 K，交AB于点L，作点H关于AB的反射点H'，作点G关于CD的反射点G'.易证图14中的相关三角形全等，从而剪拼成功.因为点E在AB上移动，点G，H也随之移动，所以有无数种剪拼成梯形的方法.