刚体转动惯量在体育竞技中的应用

董天立 张超平

(郑州铁路职业技术学院，河南 郑州 450052)

转动惯量是刚体动力学中的一个重要概念，工程实际中有许多合理利用刚体转动惯量的实例，例如，减小电动机转子的转动惯量，可以提高电动机的启动速度;增大发动机飞轮的转动惯量，可以使发动机运转更平稳等。运动员在训练和比赛过程中，如果能合理利用转动惯量，可以使训练更科学，动作更优美。

一、刚体转动惯量在体育舞蹈中的应用

体育舞蹈项目以其优美的姿态、明快的节奏以及强烈的感染力赢得了人们的喜爱，在国际上得到了广泛的开展。转体是体育舞蹈项目的一种基本技术，其主要是指围绕身体垂直轴(纵轴)，单脚或双脚站立的旋转运动。从力学方面讲实现转体运动可以分为两个阶段:

1.启动阶段

运动员转体时，一只脚作为支撑轴，另一只脚用力蹬地(如图1)，根据作用力与反作用力原理，地面给运动员一个大小相等，方向相反的反作用力，使人体获得了来自外界的驱动力矩，从而获得了朝着预定方向转体的角动量(动量矩)。

图1

式中:J—角动量，

IZ—转动惯量，

ω—角速度，

M—外力矩。

根据式(1)，在此阶段为了获得较大的角动量，应该设法增大转动惯量，根据刚体转动惯量计算方法，舞者在转动时，转动惯量的计算公式为:IZ=IZ1+IZ2，式中，IZ1为除双臂以外部分对转轴的转动惯量，

转动刚体动力学基本原理:［1］这部分转动惯量一般变化不大;IZ2为人体双臂对转轴的转动惯量，这部分转动惯量是可变的。

当双臂下垂时转动惯量IZ2'=2mbl02，mb为舞者的单臂质量，l0为舞者肩宽的一半，当双臂水平外伸时，设双臂为均质杆，转动惯量为

代入上式得 IZ2″≈18.16mbl02≈9IZ2'

可见双臂水平外伸的转动惯量比双臂下垂时增加了约八倍，因此，在此阶段运动员应尽可能使双臂水平外伸，可以提高运动员的转动惯量，以获得更大的角动量。

式(2)是动量矩定理，它表明了角动量的增加取决于外力矩的大小，因此，在力臂相同的情况下，增大蹬地力量是人体获得更大角动量的基础。

2.转动阶段

这一阶段要求人体高速旋转，显示快速转动的美感。此阶段运动员一只脚尖点地，另一只脚收起，若不计摩擦力和空气阻力，在理想情况下，人体不受外力矩的作用，应该符合动量矩守恒定律

由式(3)可以看到，转动惯量与角速度成反比，转动惯量越小角速度ω就越大。所以此时运动员应该快速将双臂收起，使整个人体的质量尽可能靠近人体纵轴。根据以上转动惯量的计算结果，双臂转动惯量可以减小约八倍，从而可以使运动员的转速提高八倍，增加转动过程中的美感。当然，由于有摩擦力的作用，人体的转动并不完全符合动量矩守恒定律，实际情况是，双臂收起后，转速明显加快，而后再由快到慢，最终会停止转动。

二、刚体转动惯量在走钢丝中的应用

在高空中走钢丝是一项极具危险性、艺术性和观赏性的表演项目，如图2所示。近年来，走钢丝的高度和跨度记录不断被刷新，花样也是不断更新，但是他们都有一个共同的特点，手中都是拿着一根又重又长的直杆，也叫平衡杆，运动员主要是利用长杆的转动惯量来调整系统(人和杆)重心位置，来保证身体平衡的。

图2

取长杆为研究对象，如图(3)所示。如果系统的重心偏向人的右侧(A侧)，调整的方法是人对长杆施加一个逆时针转向的力矩，即人右手(A)的力稍减少一点，左手(B)的力稍加大一点(FB'＞FA')，这时长杆受到一个逆时针转向的力矩。根据定轴转动刚体动力学微分方程得

图3

再取人为研究对象，由图(4)得

根据作用与反作用原理有，

解(4)、(5)两式可得

图4

由上式可知，φ杆、φ人与对应的转动惯量成反比，我们希望人的转角尽可能大一些，以便及时迅速地调整重心，而杆的转角小一些以便保持基本的水平位置不变，这就是说希望杆的转动惯量要比人的转动惯量大，大得越多调整重心的效果越好。

设运动员的质量为70kg，身高为1.8m，重心到钢丝绳的距离为1.2m，其对钢丝的转动惯量为J人=70kg·m2;平衡杆的质量为27kg，杆长为12m，其对钢丝的转动惯量为J杆=363kg·m2，可见平衡杆的转动惯量约为人转动惯量的5倍，由(6)式可知，平衡杆转动1度角，运动员就会向相反方向转动5度角，也就是说运动员可以把长杆当作一个稳固的物体，随时对它施加力矩以改变系统的重心位置，使系统的重心始终保持在钢丝绳正上方可控制的范围内，保证运动员在钢丝上平稳的行走。

转动惯量不仅只用在以上两例中，实践证明在其他竞技运动中也得到了普遍的应用。例如，短跑运动员在摆腿时，通常需折叠大、小腿，以减小下肢对髋轴的转动惯量，从而快速前摆;而上肢也是在肩关节内摆动，采用屈前臂，以减小上肢对肩关节的转动惯量而快速摆动。再如，跳水运动员在作直体转身动作时，就将手臂尽量贴近身体纵轴，两腿靠拢，从而减小转动惯量，加大旋转速度。而当他做团身空翻时，就尽量抱紧身体，使身体各部分尽量靠近额状轴，减小转动惯量，加大旋转速度，而当他完成了翻腾动作准备落地时，又伸展身体，以加大转动惯量，减小旋转速度，为平稳落水创造有利条件。综上所述，理解和掌握合理利用刚体转动惯量的技巧，对于运动员完成高难度动作、提高动作的艺术性、观赏性，获得更好的竞技成绩是很有帮助的，运动员在正确理论的指导下，再加上勤学苦练，一定会起到事半功倍的效果。

［1］孙世贤，黄圳圭.理论力学教程［M］.北京:国防科技大学出版社，2005.

［2］运动生物力学编写组.运动生物力学［M］.北京:高等教育出版社，2000.

［3］徐秉业.身边的力学［M］.北京:北京大学出版社，1997.

［4］贾书惠.质系动量矩定理应用二例［J］.力学与实践，2003，(5):66～68.