我国数学文化与数学教育研究30年的回顾与反思

张维忠，孙庆括

（浙江师范大学 教师教育学院，浙江 金华 321004）

1988年7月，在匈牙利首都布达佩斯召开了第六届国际数学教育会议（ICME－6），此次大会的主题是“数学·教育·社会·文化”。数学文化引起与会数学家与数学教育家的极大兴趣，此后数学文化与数学教育研究迅速成为国际数学教育界广泛关注的热点。［1］进入21世纪，我国颁布了《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》与《普通高中数学课程标准（实验）》，在其基本理念中都强调了数学的文化价值，《普通高中数学课程标准（实验）》还专门列出了“数学文化”及具体内容要求。时至今日，我国数学新课程改革进入了深化阶段，系统梳理与反思我国数学教育理论工作者、一线教师对数学文化与数学教育进行的研究，无疑对进一步深化相关研究，促进数学教育改革有重要意义。为此，本文借助中国知网（CNKI）、维普资讯——中文科技期刊数据库和万方期刊网，搜集了以《教育研究》、《课程·教材·教法》、《数学教育学报》与《数学通报》等为代表的核心期刊的200多篇有关数学文化与数学教育研究的论文，以及近10部有代表性的著作进行了分析与整理，对1988年以来30年间我国数学文化与数学教育研究进行回顾与反思。

一、数学文化与数学教育研究的主要历程

我国的数学文化与数学教育研究兴起于20世纪80年代，最早是从探讨数学文化与数学教育的关系开始的。这方面发表的主要论文有贺承业的《数学文化与数学教育》、［2］黄翔的《数学教育转轨的文化视角》、［3］张维忠的《论数学文化研究及其对数学教育研究的启示》、［4］黄秦安等的《略论数学教育的文化背景》［5］等。一种观点认为，数学教育是数学文化的教育；另一种观点认为数学文化的数学教育是动态过程的教育。其研究大致可以划分为以下三个阶段。

第一阶段（20世纪80年代至90年代初）。这一阶段是以北京大学的孙小礼与邓东皋等合编的《数学与文化》（北京大学出版社，1990）一书的出版为标志。这一时期的特点是主要探讨数学是一种文化的数学哲学观，进而关注数学文化对数学教育的影响。我国著名数学家齐民友也出版了《数学与文化》（湖南教育出版社，1991）。此阶段是我国数学文化与数学教育研究意识形成的阶段，这种研究意识的觉醒是以引进国外数学文化方面的著作为发端，翻译出版了国外经典的数学文化著作及论文，不仅为我国数学文化与数学教育研究提供了重要参考文献，也拉开了我国数学文化与数学教育研究的序幕。

第二阶段（20世纪90年代至21世纪初）。这一阶段国内许多著名的数学教育专家发表了许多高水平的数学文化与数学教育研究的学术论文，主要选题有两大方面，一方面是从理论上研究数学文化对数学教育的价值，另一方面是从实践层面上探讨数学文化视野下的数学教育改革。主要专著有黄秦安的《数学哲学与数学文化》（陕西师范大学出版社，1999）、张维忠的《数学文化与数学课程》（上海教育出版社，1999）等。这一时期的研究为数学文化从理论走向数学教育的实践奠定了理论上的准备，也为数学文化由书斋走向课堂打下了坚实的基础，为数学文化进一步深化到数学教育的相关研究领域作了思想上的启蒙。

第三阶段（21世纪初至今）。进入21世纪以后，我国数学文化与数学教育研究进入了深化与系统研究阶段。2001年颁布的《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》与2003年颁布的《普通高中数学课程标准（实验）》，使数学文化与数学教育研究成为数学教育研究中的热点问题。此阶段数学文化在数学教育领域的研究是多方面的和全方位的，比如开展了数学文化与数学课程教材、数学文化与数学教学、数学文化与数学学习等的研究。其发表的相关论文数量惊人，同时出版了一些数学文化与数学教育的学术专著。比如张维忠的《文化视野中的数学与数学教育》 （人民教育出版社，2005）、易南轩等的《多元视角下的数学文化》（科学出版社，2007）、张维忠的《数学教育中的数学文化》（上海教育出版社，2011）等。这一时期的研究特点是，数学文化与数学教育研究的领域拓宽，队伍壮大，研究手段多样，既有数学文化与数学教育的理论研究，又重其实践研究，呈现出欣欣向荣之势，然而也出现很多重复性的研究，缺乏相对统一的研究规范。

二、数学文化与数学教育研究取得的成绩

通过分析数学文化与数学教育的发展历程发现，20世纪80年代后期相关研究多集中于数学哲学的探讨，更多的关注教师和学生数学文化观的建立，而对如何促进数学文化与课程及教学相结合的实践研究并不太感兴趣；之后，其研究转向如何有效进行数学文化与数学课程的整合。20世纪90年代末以后，特别是随着数学新课程改革的展开，数学文化与数学教育研究范围进一步拓宽，延伸到数学文化与数学课程及教材、数学教学及数学学习等相结合的领域，并且每个领域都做了深化和系统研究，从而在真正意义上进入了数学文化与数学教育研究的实质性阶段。

（一）数学文化与数学课程教材

1.数学文化进入数学课程标准

进入21世纪，我国颁布了《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》与《普通高中数学课程标准（实验）》，在其基本理念中明确强调数学课程要体现数学的文化价值，要求设立“数学史选讲”等专题。许多专家学者对于课标中设置数学文化给予了充分肯定，但也有部分学者对其提出了不同的看法。比如王宪昌认为“数学史选讲”等专题内容都是数学史中相关的数学史料及其数学应用的问题，此种数学文化内容设置并没有跳出科学应用的范畴。［6］王青建等认为其课标中“数学文化”部分的选题大多脱离中学实际，一些选题比较偏，还有些比较深；有些内容高等院校数学专业学生都未必学习，放到中学有点强人所难；更有些内容很少有现成的资料，教学上存在相当的困难，应用时要根据数学教师个人的实际情况取材。［7］张维忠等指出其新课标中的数学文化的设置以及相应教材中的呈现没有体现多元文化的观点。［8］

2.中小学数学课程中的数学文化

傅赢芳等的《对数学课程中有关数学文化的思考》［9］及陈克胜的《基于数学文化的数学课程再思考》［10］探讨了数学课程中的数学文化的教学目标，强调应注重问题解决，注重数学应用，注重数学交流，注重数学思想方法，注重培养学生的学习态度、情感与自信心，注重学生所处的文化背景及数学现实的联系，注重数学与其他学科的联系等。

不同学者对数学文化课程的内容设置提出了各自的观点。郑强在《论课程形态的数学文化及其教育价值的实现》中，认为数学文化课程内容应包含数学史的知识；［11］冯晓华在《从文化传统角度看数学课程的内容设置和教育目的》中提出数学文化课程内容应从文化传统的角度进行设置；［12］章勤琼等在《民族数学及其对数学课程改革的启示》中指出民族数学是数学文化课程的重要内容；［13］张维忠在《文化传统与数学课程改革》中也指出日常数学也是数学文化课程的重要内容。［14］有学者对《高中数学新课程标准（实验）》中的数学文化实施建议进行了概括，认为数学文化课程内容没有相对固定的内容体系，要渗透在数学内容中，可以专题形式出现，既可采用讲解形式，也可采用集体讨论，还可采用编制思考题，让学生利用课外时间查阅资料等形式，强调其实施要具有非常规性。另外，其实施要满足欣赏性和文化性。［15］还有学者认为数学文化课程的评价主体包括教师、学生和学校有关人员，要选择比较灵活的评价方式，可以通过撰写研究报告、讨论发言、总结等形式进行评价，还可采用定性与定量相结合的评价方式，也可以采用百分制和等级制。［16］

进一步，张维忠评介了美国、英国、法国等国外数学课程目标中对数学文化的要求，列举了英国、俄罗斯与美国中小学数学教材中的数学文化，指出了国外数学课程中数学文化开发的一个成功案例——美国阿拉斯加文化数学项目。［17］汪晓勤等从文化视角评介了法国数学教材中的“不等式、序与运算”。［18］

3.大学数学课程中的数学文化

顾沛从南开大学的数学文化课程开设实践中，总结出大学数学文化课程的开设的目标，从内容上应该以数学的思想、精神为中心，从宗旨上应该以提高学生的数学素养、文化素养、思想素养为中心。［19］蔡文俊提出地方大学应以讲座形态开设数学文化课程。［20］周明儒等认为在高校应当对所有专业的学生分层次开设数学文化类课程，适宜采用专题系列讲座，可以通过必修课、必选课、公共选修课或者是作一些专题报告等多种形式开设。［21］

总的看来，在数学课程标准中设置数学文化，必须考虑其三个方面的重要的功能选择问题。第一，数学文化必须与数学课程的总体目标相协调、相一致，理想的课程设计应该是融知识与文化于一体的；第二，数学文化应该体现出对于数学前进方向和数学思想方法的一种倾向、一种引导和一种归结，而不仅仅是事实的陈述与历史的展现；第三，数学文化应该与学习者的既有文化系统做一个很好的切合。［22］

4.中小学数学教材中的数学文化

这一主题的研究，主要围绕小学、初中和高中新教材中的数学文化内容的设置和呈现形式与数学新课程标准中的要求是否吻合的角度展开的。孙卫红对西南师范大学出版社出版的小学数学新教材作了“数学文化”学习效果的调查；［23］王九红统计与分析了人教版、北师大版、苏教版和西南师大版等四种版本小学数学新教材中数学文化内容的编写；［24］娄满想分析了人教版和苏教版小学数学教材“你知道吗”栏目中的数学文化内容编排；［25］郭华光以华东师大版的初中数学教材为例，研究分析了该套教材在渗透数学文化方面的情况；［26］刘芳也分析了浙教版初中教科书中数学文化的渗透情况；［27］赵菁蕾等分析了北师大版初中数学教材“读一读”中的数学文化体现状况；［28］李殿起考察了青岛版义务教育实验教科书数学（7～9年级）中数学文化的体现状况；［29］蒋徳慧等比较了人教版和湘教版初中数学教材中的数学文化内容编排；［30］陈翠花等分析了人教版初中数学新教材插图中的数学文化。［31］另外，傅赢芳等比较了中英初中数学教材中应用题的情境文化性；［32］章勤琼等统计了人民教育出版社2004年编写的普通高中课程标准实验教科书《数学》A版必修1到必修5中从章头图到习题中所有板块的数学文化；［33］孔白芬等探讨了人民教育出版社出版的A版高中数学新教材中的章首语中的数学文化；［34］黄孝长等以人教A版、北师大版、苏教版等三个版本高中数学教材必修部分中的“阅读材料”为对象进行了比较研究，从一个侧面剖析了高中数学新教材中选取数学文化素材的特点。［35］

大量研究表明，我国数学新教材就“数学文化”内容的选材来说是丰富多彩的，主要有显性的专题呈现形式和隐形的呈现形式。其中，显性的专题呈现形式主要以阅读材料和“读一读”的形式来体现“数学文化的内容”，隐形的呈现形式通过注重“数学文化”内容与数学知识的结合的形式进行间接体现。主要通过数学史料的介绍、与其他学科的联系、现代信息技术的运用、数学应用、数学游戏的开展以及通过章首图或插图的设计等形式来体现数学文化。

（二）数学文化与数学教学

1.数学文化的教学内容

数学文化教学内容是研究“教什么”的问题，也就是针对与数学文化教学渗透载体的研究，最早的研究散见于数学文化渗透数学教学的文章中。比如《初中数学教学中渗透“数学文化”的几种方法》、［36］《高中数学课程中数学文化之融入》［37］等。

总体概括起来有以下特点：其一，数学史作为数学文化教学内容选择的主要载体的研究是比较多的，主要包括数学家生平，数学名题，数学发展的历史等。大多数研究者认为通过数学史的趣味性可以增加学生的学习兴趣，增加学生学习数学的自信心。其二，以数学应用为载体，包括生活中的数学、社会中的数学和其它学科中的数学等，体现数学的应用。其三，以数学美为工具渗透数学文化，主要通过数学解题中运用各种思想方法，来展现数学的奇异美，简洁美和对称美等.其中，数学史、数学应用是体现数学文化最常用的两种数学文化教学内容载体。

2.数学文化的教学设计

这类研究涉及两个方面的数学主题的教学设计。代数主题方面有分数、导数、函数、数列、概率、不等式、无理数、归纳法、微积分、杨辉三角、二阶行列式等；几何主题方面有向量、椭圆、球体积、欧拉公式、勾股定理、黄金分割、中心对称、几何图形初步等。另外，数学文化的内涵与数学课堂教学实践相结合的案例大致可分为片段式、问题情境式、一课一评式和专题研究式等四大类。

片段式案例仅是以几个不相关的数学文化的素材罗列在一起，因此不具有教学的实用性，最多起个素材介绍的作用，像《数学文化视角下高中数学教学的若干尝试》；［38］问题情境式的特点是围绕某一节知识点，展现若干个具有数学文化情境的案例，这种案例比较适合数学文化的情境导入，比如《数学文化视野下的“问题情境”案例》、［39］《在椭圆教学中体现数学文化的几个案例》［40］等。这两种案例大多都是由中学教师所开发，数量上比较少。

相比之下，一课一评式案例比较多，作者一般也为中学教师。此案例的特点是针对某一个数学内容设计了体现数学文化理念的一节课，教师先指明设计理念、重点难点、设计思路等，然后以课堂实录的方式将详细的教学过程记录下来，最后结合教师自评、同事与专家的点评，写成课后反思附在后面。如《课例“轴对称图形”及其点评》、［41］《〈探索勾股定理〉的教学设计》［42］等都是这样的格式。而《构建一种新型的数学课程文化——兼析以“对称”概念为主题的案例设计与前期进展》、［43］《谈构建生动的数学学习环境——谈圆锥曲线概念的单元教学设计》［44］等都属于专题研究式。“专题研究式”案例设计的特点是设计者一般是数学教育研究学者，常围绕一个主题展开，该主题可能涉及多个数学知识点，也可能只有一个，立足点较高，教学设计从全局出发，不仅将数学知识间的脉络清晰地呈现出来，而且对于数学内容与其他文化之间的联系也挖掘得很充分。这样的数学文化专题案例往往创新味道十足，不仅指导理念新，设计思路、教学策略与方法也让人耳目一新。

然而，由于“片段式”、“问题情境式”、“一课一评式”的作者多为一线中学教师，所以其设计的数学文化案例中数学科学味较重，数学史、数学应用、数学与诗歌这样的与学生经验相联系的内容在课堂上所占比例远不及“专题研究式”，出现在课堂上的方式也较单一。对照看来，“专题研究式”案例创新的尺度比较大，比如《构建一种新型的数学课程文化——兼析以“对称”概念为主题的案例设计与前期进展》，作者将小小的“对称”分成了“感受对称、对称的理解、对称的拓展性理解”三个阶段，每一个阶段都加载了大量的与学生经验相联系的数学史、数学应用、社会文化知识等内容，还有专门的导入课、学生作业展示课，此时数学文化与数学教学真正地融为一体。但这种欠缺“效率”的设计对许多中小学一线数学教师而言是很难实现的。［45］

3.数学文化的教学模式

数学文化渗透数学教学的研究兴起之后，数学文化教学模式的研究才慢慢开始，其理论与实践的研究成果都不太多，到目前为止，也还没有形成一种成熟的数学文化观下的教学模式。数学文化教学模式的最早可以从数学文化的教学案例设计的相关论文中找到一些蛛丝马迹。比如尹得霞的《中学数学教育实践中的数学文化案例探究》、［46］袁俊华的《挖掘概率中的人文价值，搞好新课标下的课题教学》［47］等。这些论文中展示了很多数学文化教学案例，它们对教学模式的研究有很重要的借鉴作用。

此后，具体的数学文化教学模式的研究，主要有四川师范大学马岷兴认为数学文化教育模式主要由教师、学生、数学文化元与活动方式等要素构成，是将数学文化“元”有机融入数学教育活动过程之中。［48］西华师范大学的郭玲杰等建构了数学文化观下初中数学“引—探—用—评”教学模式，发表了《“‘数学文化’教育观”下中学数学教学模式》［49］和《新课程背景下初中数学“引探用评”教学模式》［50］等两篇论文。这里值得指出的是，浙江师范大学张维忠等基于对数学文化内涵的理解，认为数学文化的教学模式具有开放性、过程性、文化性、整合性四个特点，基于大量数学文化教学案例的梳理，逐步从实践中归纳形成了“经验触动—数学化理解—多领域渗透—回顾反思”的初步操作流程，［51］浙江嘉兴秀州中学的徐晓芳曾尝试运用上述基于数学文化的教学模式以数学归纳法为例完成了一个教学设计，并取得了良好的教学效果。［52］其在理论上的开拓与实践操作上都有重要意义。

（三）数学文化与数学学习

1.数学认知的文化相关性研究

李琳等的研究表明：文化与儿童认知相互依存，不可分割。文化影响儿童数学认知的目的、内容、过程、结果，儿童认知也因此具有文化属性。文化模式和文化工具是影响儿童数学认知两大主要因素，其中文化模式主要从价值观、风俗习惯、文化传统以及历史典故等角度，而文化工具则从符号系统、规则系统以及实物工具等方面对儿童数学认知产生着深刻的不同的影响，从而也加深了人们对儿童数学认知的文化内涵以及文化与心理作用机制的理解，并启示我们充分认识到儿童数学认知的跨文化性，在儿童数学教育中引入文化的元素，在文化的生态背景中促进儿童的数学认知与数学学习。［53］

魏勇刚等也认为数学文化对学生数学认知有重要影响，主要表现在：数学文化影响学生的知识提取，数学文化影响学生的认知加工，数学文化影响学生的认知风格，数学文化影响学生的认知调控。并认为儿童早期的数学教育应该构建精神化的教学目标，组织故事化的教学内容，运用情趣化的教学方法，强调非正式的教学形式。并指出数学文化是儿童数学认知的载体和平台，数学文化是儿童数学认知的动力，数学文化是儿童数学认知的归宿。然而，这个方面的研究主要是幼儿数学教育理论与实践基础上获得的，在中小学特别是高中数学教育中还未见到系统的研究。［54］

2.数学文化在数学学习中的表现形态

数学文化与数学学习融合的过程中，文化、数学、学习三者之间的内在关系必以某种形态表现出来，而这些表现形态又将决定我们采取相应的方式。张维忠等从数学学习的“文化”特征、文化学习的“数学”课程以及数学文化的学习过程三个方面探讨了数学文化在数学学习中的表现形态。第一，数学学习的“文化”特征表现为群体的活动性。群体与活动是数学文化进入数学教育过程的直接表现。所以，数学教育的文化观强调学生以活动的方式进行数学学习，提倡群体的交流与合作。第二，文化学习的“数学”课程表现为系统的开放性。这是因为，从文化传承上看，数学课程具有组织构成的开放性，主要表现为它与社会生活及现代数学的动态联系；从文化传播上看，数学课程具有观念整合的开放性，通过课程的活化促进文化增殖。从文化传递上看，数学课程具有整体效能的开放性，通过系统属性的联合作用，发挥出“整体大于部分和”的功效。第三，数学文化的“学习”过程表现为知识的默会性。因此，可以通过客观对象“数学化”和数学解题“拟人化”等方式突出数学知识中的“人性”。［55］

三、对数学文化与数学教育研究的反思

纵观现有的大部分研究成果，数学文化与数学教育研究基本上形成了以华东师范大学、南京师范大学、陕西师范大学、浙江师范大学与吉林师范大学等为核心的几大研究团队，其中一些研究团队，主要侧重于从文化学、数学文化史、数学哲学、数学史的角度研究数学文化与数学教育，很少关注其实践层面上的研究；以浙江师范大学等为核心的研究团队，主要从数学课程教材、数学教学、数学学习的角度研究数学文化与数学教育，既有其理论层面的开拓又有实践操作层面上的推动。然而，从整体上看，数学文化与数学教育的研究尚存缺陷，主要存在以下几个问题。

（一）整体研究的水平不高

就数学文化与数学教育研究的整体而言，已有成果缺乏高水平的系统研究，今后可能会得到一定程度的改观。可喜的是，由华东师范大学王建磐主持的国家社会科学基金“十一五”规划2010年度教育学重点课题《主要国家高中数学教材比较研究》子课题——“主要国家高中数学教材中的数学文化”就涉及到数学文化与数学教育。［56］课题组的基本思路是首先考察美、英、德、法、俄、日、澳、新加坡8个国家高中数学教材中的数学史和数学文化内容，然后就如下问题展开研究：（1）主要国家高中数学教材中数学文化内容背后的课程理念和理论依据是什么。（2）主要国家高中数学教材各有什么文化特征，有哪些具体的数学文化内容。（3）主要国家高中数学教材采用什么方式来呈现数学史和数学文化，运用水平如何。（4）中外数学教材中的数学文化内容有何异同。（5）哪些数学史与数学文化内容可以为我们用，怎样的课堂融入方式是可行的。这项研究应该是一项高端研究，可望取得预期的研究目标。

（二）研究问题的层面不均衡

比如数学文化教学设计的研究多集中在初中和高中阶段，关注小学的不多。还有数学学习问题是当前国际数学教育研究中的主流，包括最新的心理学研究成果、脑科学研究成果，应引起重视。虽然数学文化与数学学习研究也已出现，但只在幼儿教育阶段，对于初中和高中阶段则没有系统的研究，更缺乏像心理学上那样的实验研究。进一步地看，数学文化与数学信念、数学认知、数学学习等关系如何，也是需要研究的。把数学知识的学习与诸如性别差异、种族特征、民族性等建立联系的研究趋势本身是一种更为广泛的数学教育的社会、文化、历史研究视角，这些都是数学文化与数学教育研究拓展的视角。

（三）选题范围狭窄，研究角度单一，缺乏实证研究

目前，从哲学层面上思考数学文化与数学教育的研究较多，重点是分析数学文化史，充分地揭示数学的文化内涵，肯定数学作为文化存在的数学教育价值，当然这是必要的。但这种理解会使问题过于宽泛而抓不住重点，特别是“数学文化贯穿于数学教育的始终”就像什么都没说一样难以实施。另外，高质量的数学文化教学设计甚少，特别是关于数学文化的教学设计很多都是加个数学文化的帽子而已。还有数学文化的数学教材研究，论文选择缺乏创新性，选题大同小异，很多都是对教材的统计研究，创新研究少，不少研究只是对二手、三手资料的移植或总结、归纳，真正基于数学文化理念编写的专题单元的数学教材的教学实验研究很少。比如可以对一些主要西方国家中学数学教材中的数学文化内涵进行系统地挖掘，探讨不同教材中数学文化的特征、教育价值、内容分布、运用方式和运用水平，并进行比较研究。还可以进行数学文化课程素材开发研究，但要体现多元文化数学的观点，要注重不同民族或文化中的数学。挖掘不同民族的数学文化素材可以通过开展探究性课题学习等形式融入现行数学教材中，同时也可以精心组织数学文化校本课程。值得注意的是，数学文化要进入数学课程则还需要进行转换。一方面，从数学史角度挖掘得到的数学素材往往过于强调学术抽象，不适应数学课程的教学；另一方面，从文化角度挖掘得到的数学又往往过于强调数学背景，数学元素不够突出，数学思想也比较朴素。因此，既要将过于学术化的数学史转化为教育形态的数学，又要提炼其中的数学内容，特别是数学思想的挖掘，兼顾数学方法的渗透，可以研制数学文化相关试题，进行数学文化题库的建设，出版数学文化试题册等。但数学文化试题的开发不能仅把数学史的数学名题直接套用，最好能与考查学生的观察、归纳、概括、猜想、发现等能力结合起来。

（四）缺少理论研究者与中学一线教师的紧密合作

一方面，高校数学文化与数学教育的理论研究者与一线数学教师的合作的研究较为缺乏，在研究过程中，理论研究者不注重与一线数学教师相结合。为此，这种研究时常不能得到一线数学教师的赞同，认为与实际教学情况不相符，或者说研究过于理想化。比如对于数学文化的教学设计，一线教师写的一课一评式和数学文化教育的理论研究者写的专题研究式就是最好的例证。另一方面，虽然许多中小学数学教师积累了许多极富理论价值的教学经验，却没有将这些教学经验提升到理论层面，而仅仅只停留在经验层面，使数学文化与数学教育研究难以深入开展。

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