关于完备格等价定义的学习研究

刘维娜

中央民族大学，北京 100081

0 引言

格是随着经典逻辑的代数化与泛代数的发展而引进的一个新的代数系统。近年来，偏序集与格的理论在组合数学、Fuzzy数学、理论计算机科学，甚至社会科学中都得到了广泛的应用，极大地推动了该学科自身的发展，也使之成为数学和理论计算机科学中的重要研究对象[4]。

作为格的特殊实例，完备格出现于数学和计算机科学的很多应用中，在次序论和泛代数中也都有所研究。

1 预备知识

定义2.1 设P是一集合，≤是P上的二元关系，如果对∀x，y，z∈P，有：

1）x≤x（自反性）

2）x≤y，y≤x ⇒x≤y（反对称性）

3）x≤y，y≤z⇒x≤z（传递性）

则称≤为P上的一个偏序（关系），一个集合P及其上的偏序≤形成的有序二元组（P，≤）称为偏序集。

在不至混淆的情况下，对（P；≤）可简记为P。

定义2.2 设（P，≤）是偏序集，X ⊆P，a ∈P。

1）若∀x ∈X，x ≤（aa ≤x），则称a为A的一个上界（下界）；

2）若∀x ∈P，x ≤a（a ≤x），则a称为P的最大元（最小元）；

3）若 ∀x ∈P，a ≤x ⇒x = a（x ≤a ⇒x=a），则称 a是 P中的一个极大元（极小元）；

4）若a是A的全体上界（下界）的集合中的最小元（最大元），则称a为A的上确界（下确界）；A的上确界记为supA，A的下确界记为infA。

定义2.3 设（P，≤）是偏序集，S是P的非空子集。

1）若S中任意两个元在S中都有上界，则称S是定向的，或称为P的定向子集；

2）若S中任意两个元在S中都有下界，则称S是余定向的，或称为P的余定向子集.

定义2.4 设（P，≤）是偏序集，若P任意有上界子集均有上确界，那么称偏序集（P，≤）是有界完备的。

显然，有界完备偏序集是有最小元0的，即是空集的最小上界。

定义2.5 设（P，≤）是偏序集，若P关于有限并封闭，即P的任意有限子集均有上确界，则称偏序集（P，≤）为上半格；若P关于有限交封闭，即P的任意有限子集均有下确界，则称偏序集（P，≤）为下半格。

定义2.6 设（P，≤）是偏序集，若P关于有限并与有限交均封闭，则称偏序集（P，≤）为格。

下面介绍一下对偶原理。给定一个偏序集（P，≤），我们可以通过定义x≤y（在P中）⇒y ≤x（在P∂中）生成一个新的偏序集（P∂，≤）。给定一个关于偏序集（P，≤）的命题Φ，我们可以通过改变偏序的方向，得到对偶命题Φ∂。

定理2.7（ 对偶原理）给定一个命题Φ，如果关于所有偏序集均成立，那么其对偶命题Φ∂亦成立。

2 完备格

定义3.1 设（P，≤）是偏序集，若P关于任意并封闭，即P的任意子集均有上确界，则称偏序集（P，≤）为完备∨半格；若P关于任意交封闭，即P的任意子集均有下确界，则称偏序集（P，≤）为完备∨半格。

定义3.2 设（P，≤）是偏序集，若P关于任意并与任意交均封闭，则称（P，≤）是完备格。

例3.3

1）有限格是完备格。

2）由集合X的幂集及集合的包含关系构成的偏序集是一个完备格。

引理3.4 设（P，≤）是偏序集，则（P，≤）是完备∨半格当且仅当（P，≤）是完备∨半格.

证明：设偏序集（P，≤）是完备∧半格，对于S ⊆P，记T为S的全体上界之集，并记a=∧T。因为∀s ∈S，s是T的下界，于是s≤a，从而a是S的上界。但是a =∧T，即a是S的最小上界，所以a =∨S.这就证明了偏序集（P，≤）是完备∨半格。

由对偶原理易知，若偏序集（P，≤）是完备∨半格，则它必是完备∧半格。

推论3.5 完备∨半格或完备∧半格必是完备格。

证明：可由引理2.2的直接推出。

思考3.6 对一个偏序集（ P，≤），如果其任意非空子集均有下确界，那么只需添加一个单位元1（1∉P, 且对∀x ∈P，有 x ≤1），得到P'=P∪{1}，那么（P'，≤）即是一个完备格。

定理3.7 设（P，≤）是有界完备偏序集，且有最大元1，则P是一个完备格。

证明一：偏序集P是有界完备的，则P有最小元，又P有最大元，故P的任意子集均有上下界。∅≠A ⊆P，那么对A的下界B，最小元0∈B，A中任一元素均是B的上界，故B有最小上界，亦是A的最大下界-下确界，即P的任意非空子集有下确界，由思考2.6可知，最大元1存在，可推出P是完备格。

证明二：对∀A ⊆P，最大元1是A一个上界，又P是有界完备的，故A有上确界，即P是完备∨半格，由推论2.5知P是完备格。

显然，如果偏序集（P，≤）是一个完备格，则必是有界完备的，且有最大元和最小元，所以事实上这是一个等价定理。

定理3.8 设（P，≤）是偏序集，则（P，≤）是完备格当且仅当（P，≤）是有最大元1的下半格，且P的任意余定向子集均有下确界。

证明：对P的任意子集X，若X是空集，则inf X=inf∅=1。若X是非空集合，由P是下半格可知，X的任意有限子集A有下确界。令D是所有这些下确界的集合，则X的下界是A的下界（P是下半格，则P是一个余定向子集，从而存在下确界，于是P的任意子集均有下界），故也是D的下界。又因为单点集{*}的下确界是*，所以X ⊆D，故D的下界亦是X的下界.于是X与D有相同的下界集。下面证明D的下确界存在.∀a, b ∈D, a = inf A,b = inf B , A,B是X的有限子集。令c = inf（A∪B），则 c ∈D,且c ≤a, c ≤b.故D是余定向的，从而D有下确界，于是X的下确界亦存在，inf X = inf D.于是我们得到P的任意子集均存在下确界，是完备∧半格，由推论2.5知P是完备格。

反之，显然成立。

[1]G.Gierz，K.H.Hofmann，K.Keimel，J.D.Lawson，M.Mislove，D.S.Scott，Continuous Lattices and Domains，Cambridge，2002.

[2]B.A.Davey，H.A.Priestly，Introduction to Lattices and Order(second editon)，Cambridge，2002.

[3]G.Brikhoff，Lattice Theory(3rd ed)，American Mathematical Society Colloquium Publications，Vol.25，Providence，R.I，1979.

[4]郑崇友，樊磊，崔宏斌，FRAME与连续格[M].2版.首都师范大学出版社，2000.