例谈基本不等式在物理解题中的应用

左 洁

(江苏省泗阳中学,江苏泗阳 223700)

图1

类型1:在力学中的应用例 1.如图 1所示,A是一带有竖直立柱的木块,总质量为 M,位于水平地面上;B是一质量为m可看作质点的小球,通过一不可伸长的轻绳挂于立柱的顶端,悬点到小球的距离为l.现拉动小球使绳伸直并处于水平位置,然后让小球从静止状态下摆,在小球与立柱发生碰撞前,木块A始终未发生移动,则木块与地面之间的静摩擦因数至少为多大?(设 A不发生转动)

解析:设小球摆至位置C时细线与水平方向的夹角为θ,小球的速度为 v,分析此时小球受力,设细绳拉力为 T,如图2所示.对小球,由动能定理可得

在位置C满足

图2

图3

对木块,分析其受力如图3所示,由于木块始终处于静止状态,故有水平方向

竖直方向

根据题意有

联立(1)～(5)式得

则

由(9)、(10)式可得

由(6)、(11)式可得当

由此可见,不论θ取何值时,木块 A均不发生移动.由(8)式和(12)式得

图4

例2.如图4所示,长为 L的轻质杆,两端分别固定有质量为m的小球A和B,A套在光滑竖直杆上,B套在光滑水平杆上.开始时杆与水平面成45°角,放手后A向下滑,B向右滑,求杆与水平面夹角为多大时,B的速度vB最大?此时vB为多大?

图5

解析:分别作出 A下滑到A′,B右滑到B′的速度矢量图,设 A′B′与水平面夹角为θ,如图 5所示,由系统机械能守恒得

两球沿杆方向运动速度相等v1=v3,即

由(1)、(2)式得

令 y=(2sin45°-2sinθ)sinθ sinθ. (4)

类型2:在电学中的应用

例3.两个等量带正电的点电荷 q相距为d,求它们连线的垂直平分线上场强最大的位置.

图6

解析:如图 6所示,设两点电荷连线的垂直平分线上的点C与两点电荷的距离为L,点 C处的场强为E,∠OAC=θ,则有

其中 k,q,r均为恒量.令 y=sinθ cos2θ,则

由(1)～(3)式可得最大场强为

图7

例 4.如图 7所示,ad、bc为相距为 l(l≤1)的平行导轨(电阻可忽略),a、b间连一阻值为R的电阻.长直细杆 MN可按任意角θ架在平行导轨上,并以平行于导轨的速度 v平移.杆 MN有电阻,单位长度的电阻为 R,整个导轨内部空间充满匀强磁场,磁感应强度大小为B,方向垂直于纸面向里.

求:杆 MN上消耗的功率为最大时角θ的值.

解析:杆 MN上产生的电动势为

杆在电路中的电阻为

流过杆MN的电流强度为

由以上3式得杆MN上消耗的功率为

整理(4)式得