类比法在物理解题中的应用

付爱明

(江西省临川第二中学,江西抚州 344100)

在用类比法解决物理问题时,首先是现象类比,其次是过程类比、模型类比、方法类比,最后是结论类比.在用类比法解题时,这几个类比环节一般都是有可能涉及到的,本文将从这几个类比环节分别进行分析.

1 现象类比

例1.如图1所示,ab是半径为R的圆的一条直径,该圆处于匀强电场中,场强为E,在圆周平面内,将一带正电q的小球从a点以相同的动能抛出,抛出方向不同时,小球会经过圆周上不同的点,在这些所有的点中,到达c点时小球的动能最大,已知∠cab=30°,若不计重力和空气阻力,试求:

(1)电场方向与弦ac 间的夹角θ;

(2)若小球在 a点时初速度与电场方向垂直,则小球恰好能落在c点,则初动能为多少?

图1

图2

解析:乍看此题,简直无从下手.如果用熟悉的重力场与电场进行类比,就能找到解题的思路,“到达c点时小球的动能最大”隐含着重要条件,在重力场中,从环上a点沿不同方向以相同速率抛出小球,落到圆环上与环相碰,与环相碰前速率最大的球的落点应是环的最低点c,因为a和c两点间的高度差最大,重力做功最多,转化的动能也最多(见图2)与此类似,图 1中的 c点也就是电场中的最“低”点,即电势最低点,小球到达 c点时速率最大,由于小球带正电,所以电场方向应是O→c方向.

(1)如图 3所示,连 Oc并延长,因为Oc=Oa ,所以∠acO=∠caO=30°,Oc为电场方向.

图3

点评:重力场是我们熟知的场,对重力场的特点、物体在重力场中的运动也研究得比较透彻,将重力场来与电场进行类比,再将小球在重力场中的运动来与电场中的运动类比,就能从重力场强度的方向得出电场强度的方向.

2 过程类比

当两个物理现象不相同时,我们可以将它们的物理过程进行类比,发现它们的物理过程是相似的或相近的,都遵循相同的物理规律,这样就可以将不熟悉的物理过程转化为熟悉的物理过程.

图4

例2.如图4所示,光滑圆弧形轨道和一足够长的光滑水平轨道相连,水平轨道上方有一足够长的光滑杆,上套一光滑金属圆环,金属圆环的中心轴线和水平轨道位置重合,在弧形轨道上高h的地方无初速释放一块磁铁B(可视为质点),B下滑至水平轨道后继续向前运动向A环接近,设A、B的质量分别为mA、mB,试求出金属环获得的最大速度和全过程中金属环和磁铁所获得的总内能.

解析:本题所述的物理过程可与图5所示的物理过程相比较,滑块 B从高h的光滑轨道上无初速下滑,滑至光滑水平轨道上与滑块 A相碰,相碰后 A、B粘合在一起,求A获得的最大速度和系统增加的内能.

图5

B下滑时机械能守恒,可求出B与A相碰前的速度;B与A相碰,水平动量守恒,A、B系统损失的机械能就是系统增加的内能.图4中,磁铁 B下滑机械能守恒,进入水平轨道与 A环相互作用,产生电磁感应现象,由于A和B的相互作用力是内力,水平方向动量守恒,A、B组成的系统损失的机械能转化为系统内的电能,进而转化为焦耳热.磁铁B下滑到水平轨道时的速度为

磁铁B与A环相互作用,水平动量守恒,mBvB=(mA+mB)v,则 A环的最大速度为

金属环和磁铁中一共获得的内能为

点评:图5所示的物理过程是我们非常熟悉的过程,但本题所述的过程可能比较生疏.通过类比,发现两者过程相似,遵循的规律、运用的方法都一样.生题也就不生了,类比也是以“新”比“老”,以“老”带 “新”的一种研究问题的方法.

3 模型类比

如果能从两个物理问题所对应的物理模型中所具有的一些明显相同的特性出发,经过类比,由此可以推断出它们具有更多的相同的特性,这就是模型类比.模型类比是将事物的本质属性进行类比,是更高层次的类比.在类比时要注意:有的物理模型形异而质同,而有的模型形同而质异,切忌不加分析滥用类比,引起知识的负迁移.

例3.如图6所示,在光滑绝缘水平面上有两个带正电的小球,A球质量为m,B球的质量为2m,开始时两球相距很远,今 A球以初速度v0向B球接近,求:

(1)当两球距离最近时,两球速度的大小.

(2)当两球距离又变得最远时,两球速度的大小.

解析:这是一个点电荷相互作用的运动模型,又是 A向B靠近,然后由于斥力,又分开最远.这与弹簧连接体的运动模型极为相似.

不妨先来看这样一个问题:在光滑的水平面上有质量分别为 mA和mB的两个物体A和B(图7),它们用一弹簧相连,开始弹簧处于自由状态,今给 A一个向右的瞬时水平冲量,使 A获得速度v0,进而压缩弹簧,使B也开始运动.求:

(1)系统具有最大的弹性势能;

(2)当弹簧再次恢复原长时,A和B速度的大小.

图6

图7

图7所示模型的特点是:A通过弹簧和B相互作用,系统的动能和势能相互转化,系统的水平动量守恒,同样图6所示的电荷相互作用的运动模型也具有类似的特点:A和B通过电场相互作用,系统的机械能(这里是动能)和电势能相互转化,且电场力是内力,两电荷组成的系统水平动量守恒.

再进一步分析可以看出,图7中当弹簧压缩量最大时,系统弹簧弹性势能最大,A和B的速度相等;当弹簧再次恢复原长时,弹性势能又转化为A、B的动能,从弹簧处于原长状态开始,经压缩到最大,又再次恢复到原长,这相当于两个物体经历了一次弹性碰撞,可以用弹性碰撞的有关知识解出 A和B的速度.同样,图6中当两电荷相距最近时,系统具有的电势能最大,两小球速度相等;当两球又相距最远,电势能可以不考虑时,这一过程中电势能又转化为两小球的动能,从 A和B相互作用开始,直到 A、B相距最远,类似一次弹性碰撞过程,同样可以用弹性碰撞的知识求解A、B的速度.能够搞清图7中弹簧连接体模型的运动特点,能量、动量转化关系,会解该题的话,也一定能分析出图6所示的电荷相互作用运动模型的运动特点,能量、动量转化关系.

该题中 A、B两球距离最近时,两球具有相同的速度,由水平动量守恒有

由此解出共同速度

这一过程中,A球的动能减少,有一部分转化为系统的电势能.由于静电斥力作用,A球减速,B球加速,两者相距越来越远,当它们相距很远时,系统电势能可视为零,以 A刚开始运动为初状态,以两球相距很远为末状态,A、B速度分别为vA和vB.由能量守恒和动量守恒有

解得 A和B的速度分别为

点评:本题和图7所示的弹簧连接体问题,虽然外形不同,表述不同,但模型是相似的,物理本质和两小球的弹性碰撞模型相似.外力不做功,内力是保守力,系统水平动量守恒,系统中能量相互转化,没有热损失,有了模型的类比,会解一道题,就会解答一类题目.模型的类比起到了“以一当十”的作用.

4 方法类比

过程相似,模型相似的物理问题其解题方法也可能相似,我们也可以用类比的方法,将相似问题的方法进行类比,从而迅速找到解题的途径.

图8

例4.在无引力作用的宇宙空间里的环形空间实验室(宇宙科研基地)中,要认为模拟地球上的重力,可以采取使其自转的办法,如图8所示,外侧壁就是“地板”,若要使“地板”上的物体和地球上有同样的重力,自转角速度 ω应为(其中 g为地球表面的重力加速度,R为环形实验室的外半径)

点评:本题可以这样理解:如果环形空间实验室不自转,人将会漂浮起来,完全失重.而我们在地球上是有重力,是因为人感觉到地面的支持力,通过方法类比,环形空间实验室无非是让人感觉到环形空间实验室对人的支持力.

5 结论类比

将不同物理问题的结论进行类比,发现它们有时竟有惊人的相似,人造卫星绕地球做匀速圆周运动是天体的宏观运动,电子绕核做圆周运动是微观世界的运动,但两者在现象、过程、运动模型,甚至结论都十分相似,人造卫星绕地球做圆周运动时,总能量为势能(这里是引力势能,中学中尚未提及)和动能之和;电子绕核做匀速圆周,总能量也为电势能和动能之和.运动半径增大,人造卫星的运行速度减小,周期变大;同样电子轨道半径增大,电子运行的速率也减小,旋转周期变大.所不同的是,人造卫星的轨道半径是任意的,而电子轨道半径是特定的,量子化的.将这些结论进行类比后,就可以倒过来套用某个已知的结论,从而达到迅速作答,从简解题的目的.

例5.人造卫星在运行过程中由于受到电磁阻力和稀薄空气的阻力作用,其总机械能逐渐减小,因此

(A)离地高度降低,运行速度变大.

(B)离地高度降低,运行速度变小.

(C)离地高度增加,运行速度变大.

(D)离地高度增加,运行速度变小.

解析:我们只知道人造卫星的总机械能等于势能和动能之和,限于知识,只能判断出(C)明显不对,其他3个答案难以定夺,我们将人造卫星的运动与电子绕核运转类比,电子运行时总能量为电势能(为负)和动能(为正)之和,总能量是负值,总能量减小时,轨道半径变小,(量子数 n变小),电子处于低轨道上,处于低能态,但电子的动能变大.由此类比,可知人造卫星的总机械能减小时,其轨道半径减小,即离地高度降低,但低轨道上的运行速度要比原轨道(高轨道)的速度大,故选(A).

点评:通过人造卫星与电子绕核运动进行类比,把电子绕核做匀速圆周运动的结论直接运用到人造卫星上,选项立即可判断出来.

类比是一种知识迁移,它对学生的思维能力,分析问题能力的培养,大有裨益.许多形式不同的物理习题具有相同或相似的特征,只要理解、掌握了一个问题的特征和解法,应用类比,这类问题就迎刃而解了.从一定意义上说,这是一个把学生从题海战术中解放出来的一种有效方法.