例说以连续自然数平方根为边长的三角形在物理中的应用

丁岳林

(江苏省常州高级中学,江苏常州 213003)

在我们研究的物理问题中,很多时候会与角度有关,而通常为讨论问题的方便会取一些特殊角,如 θ=30°,θ=45°,θ=60°,还有 θ=37°(或 θ=53°))等.其中 θ=37°(或 θ=53°)是讨论矢量运算时的平行四边形定则最好的实例,即“32+42=52”(满足勾三股四弦五的直角三角形),而另外的那些大量使用到的特殊角,一般来说都是基于数学上的特殊(相应的角度三角函数为简单的数值),而没有真实的物理模型为支撑.本文要讨论的是基于真实物理背景的θ=35°(或 θ=55°)的一种特殊角.

图1

例1.滑板运动是一项非常刺激的水上运动,如图1所示,运动员与滑板的总质量为 m,滑板的总面积为 S,水的密度为 ρ.理论研究表明,当滑板与水平方向的夹角为θ(板前端抬起的角度)时,水对板的作用力大小为 N=ρ Sv2sin2θ,方向垂直于板面,式中 v为快艇的牵引速度.求:为使滑板能在水面上滑行,快艇水平牵引滑板的最小速度(忽略水和空气的阻力).

解析:滑水运动员在快艇牵引下的滑行过程中,会经常变换姿势,其实,这既是为使运动具有观赏性,也是出于平衡的需要.滑板与水平方向间的夹角θ与快艇的牵引速度v等都是互相联系的.要解决“快艇牵引滑板的最小速度”问题,首先需要弄清 S、v、θ等物理量之间的相互关系.

为此,选取滑板与运动员作为研究对象,受力情况如图2.即滑板与运动员共受到3个力的作用:重力G,水对滑板的作用力N(方向与滑板板面垂直)及绳子对运动员的拉力 F.由平衡条件,竖直方向有

图2

又由题中所给的条件

解得牵引速度为

即在运动员与滑板总质量一定、滑板的总面积S一定时,维持滑板平衡所需的牵引速度大小,仅由滑板与水平方向的夹角θ决定.或者说,快艇对运动员与滑板的牵引速度v是滑板倾角θ的函数.当θ取某一值时,牵引速度有最小值.下面我们就来讨论这一极值.

当且仅当 2cos2θ=sin2θ,即 θ=arctan 2=54.7°≈55°时,k有最大值.

故快艇最小速度的表达式为

例2.(2008年江苏高考题)如图3所示.一根不可伸长的轻绳两端各系一个小球 a和b,跨在两根固定在同一高度的光滑水平细杆上,质量为3m的a球置于地面上,质量为 m的b球从水平位置静止释放.当a球对地面压力刚好为零时,b球摆过的角度为θ.下列结论正确的是

(A)θ=90°.

(B)θ=45°.

(C)b球摆动到最低点的过程中,重力对小球做功的功率先增大后减小.

图3

图4

(D)b球摆动到最低点的过程中,重力对小球做功的功率一直增大.解析:本题要解决的是两个问题,一是b球运动到何处,绳子上的拉力恰为3 mg?第2个问题其实只要讨论b球运动过程中竖直方向的速度如何变化?对于第1个问题结合机械能守恒定律和牛顿第二定律不难得出,当θ=90°时绳子上的拉力为3 mg,此时a球对地面压力刚好为零,现在重点来研究第2个问题.重力做功的(瞬时)功率可表示为 P=mgvy,其中 vy为竖直方向的分速度,要判断重力的功率如何变化,只要判断 vy如何变化.从两个极端位置不难做出定性判断,在B点v=0,vy=0,P=0;到C点速度水平,vy=0,P=0.因此可以确定,重力对小球做功的功率先增大后减小.现在的问题是物体摆动90°过程中vy的极值点唯一吗?如何确定b球摆动90°过程何处最大呢?

通常的讨论方法是根据B→D过程机械能守恒得出D点的速度,然后求其竖直分速度,得到vy与θ的函数关系,最后,计算 vy的极值,这种方法得到的 vy与θ的函数关系与例1中(1)式有同样的形式,此处不具体展开.

现在,我们从动力学角度来求解这一运动学极值问题,如图4所示,b球绕O2摆过θ角度到达D点,速度为v,绳子上拉力为F,对于这一过程,由机械能守恒定律得

式中 l为O2B绳子的长度,在D点,由牛顿第二定律得

解(2)、(3)式得

可见,物体摆动 90°过程中,当 θ由0°变化到35°的过程中逐渐增大,当 θ由35°变化到 90°的过程中逐渐减小.在当θ=35°时有唯一的极大值点.

所以,本道题的正确选项为(A)、(C).

图5

例3.(2009年安徽高考理综题)在光滑的绝缘水平面上,有一个正方形 abcd,顶点 a、c分别固定一个正点电荷,电荷量相等,如图5所示.若将一个带负电的粒子置于 b点,自由释放,粒子将沿着对角线bd往复运动.粒子从b点运动到d点的过程中

(A)先做匀加速运动,后做匀减速运动.

(B)先从高电势到低电势,后从低电势到高电势.

(C)电势能与机械能之和先增大,后减小 .

(D)电势能先减小,后增大.

解析:本题以一对等量同种电荷的电场为背景,研究带电粒子在电场中的运动,综合考查牛顿定律、功和能的关系,其中,选项(A)的错误是显然的,因为这是一非匀强电场,粒子的运动一定是变加速的,即不会是匀加速或匀减速运动.在ac的垂直平分线上,O点场强为零,电势为最高,负电荷在O点电势能为最小,粒子运动过程中受到的电场力始终指向O点,即粒子从 b点运动到d点的过程中,电场力先做正功后做负功,电势能先减小后增大,机械能则先增大后减小.电势能与机械能的总和保持不变.可见,本题的正确选项为(D).

现在要借题发挥的是,带电粒子从b点运动到d点的过程中加速度如何变化?

显然(5)式与例1中(1)式是相同的形式,有着同样的极值解.作为一种数学方法,我们通过微积分知识再来研究一下这个函数的极值.

图6

(5)式中场强E为θ的函数,将E对θ求一阶导数和二阶导数来讨论极值点.

图7

根据以上分析可知,本道高考题中带负电的粒子从b点运动到O点的过程中加速度是先增大到某一极大值后逐渐减小到零,粒子从O点运动到d点的过程中加速度是先从零开始增大到某一极大值后逐渐减小.

在本文以上讨论的问题中,虽然物理背景各不相同,但却有着共同的解:即临界角θ=35°(或θ=55°),联系着同一个直角三角形,如图7所示.相信一定还会在其他的物理问题中出现这样的特殊角,让我们记住这样的一个来自于真实物理背景的特殊角吧.