物理过程中的共速问题

朱 琴 赵诗华

(1.北京市昌平区第二中学,北京 102208;2.中国矿业大学(北京)理学院,北京 100083)

有些物理问题,在分析物理过程中有一种特殊状态,即两物体共速的状态.这往往是连接前后两个分过程的临界状态,需要分析物体或系统在此共速状态下的受力情况,相应的加速度等等.对这类问题的分析研究,有助于提高学生运用物理规律分析和解决问题的能力.下面对此进行举例分析.

图1

例 1.如图 1,质量为M的长木板静置在光滑的水平面上.一个质量为 m的小物块以水平速度v0从左侧进入到木板的上表面.它们之间的动摩擦因数为μ.试求小物块相对于木板滑行的最大距离L.

图2

解析:分别对 m、M作受力分析,如图 2.m在水平向左摩擦力作用下向右做匀减速直线运动,M在水平向右摩擦力作用下向右做匀加速直线运动,直到 m与M达到共同的速度,相对静止地向右做匀速直线运动.设共同速度为v,取 v0方向为正方向,对m+M 系统,由动量守恒得

设开始到共速,m滑行s1,M滑行s2.分别对 m,M应用动能定理得

两式相减

图3

例 2.如图 3所示,水平传送带AB段的长为L,以一定的速率运行,一块红色的砖头从 A处以小于传送带的速率v1滑上传送带,砖头与传送带间的动摩擦因数为μ,由于摩擦砖头在传送带上留下了长也为L的划痕,试求传送带的运行速率.

解析:设传送带的速度为 v2,由于v1＜v2,所以砖头在传送带对它的摩擦力作用下向右做初速度为 v1的匀加速直线运动,直到与传送带共速,砖头向右做匀速直线运动.设砖头质量为m,加速度为a,加速时间为 t.由牛顿第二定律得 μ mg=ma,即 a=μ g,所以

依题意

由此解得

例 3.如图4所示,倾角θ=37°的传送带,上下两端 AB相距s=7 m,当传送带以v=4 m/s的恒定速度顺时针转动时,将一个与传送带间动摩擦因数为μ=0.25的滑块 P轻轻放于传送带的A端,求P从A端运动到B端的时间?

图4

图5

解析:取沿传送带向下为正方向,受力分析如图5.设滑块P质量为m,当P从A由静止运动到与传送带共速的C点时所用时间为t1,加速度为a1.由牛顿第二定律得

解得 a1=8 m/s2,所以 AC距离以及时间t1分别为

由于 mgsin37°＞μ mgcos37°,所以从 C 点开始P 继续沿传送带向下做匀加速直线运动,受力如图5.设C到B过程中加速度为 a2,所用时间为 t2.由牛顿第二定律得

解得a2=4 m/s2.

相对地面发生位移

即6=4t2+2t22.解得 t2=1 s.(舍去负根)

所以t=t1+t2=1.5 s.

图6

解析:由受力分析、过程分析和做功分析,可将物块的运动过程分为4个阶段.

(3)碰撞后物块与钢板以共同速度向下运动直至速度为0,然后向上运动到O点时具有共同速度v2,此后物块将与钢板分离.取O点为重力势能零点,由机械能守恒定律有

解得v22=gx0.

(4)物块自O点与钢板分离,做竖直上抛运动,设物块到达的最高点距离 O点为h,则

例5.如图7,光滑水平面上有质量均为 1 kg的小车 A与B,B车静止,A车用L=0.2 m的细线悬挂一个质量为0.5 kg的小球 C,小车 A以2 m/s的初速度冲向B并与B车正碰后粘在一起,求C球能摆上的最大高度(g取10 m/s2).

图7

解析:整个过程可分为2个阶段.

(1)小车A与B发生完全非弹性碰撞,设碰撞后的共同速度为v1,以A车初速度方向为正方向,由动量守恒定律得 mAv0=(mA+mB)v1,解得 v1=1 m/s.

(2)碰撞完成后,由于小球 C的速度仍然为2 m/s＞v1,C向右摆动,并通过细线对A、B作用.当C摆至最高点时,三者速度相同,设此共同速度为v2,C上升的最大高度为h.由动量守恒定律得(mA+mC)v0=(mA+mB+mC)v2,解得 v2=1.2 m/s.

由机械能守恒定律有

解得h=0.04 m.

例6.如图8,两根足够长的固定平行金属导轨位于同一水平面内,导轨间距L,导轨上横放着两根质量皆为 m,电阻皆为R的导体棒ab和cd,导体光滑且电阻不计.在整个导轨平面内都有竖直向上的匀强磁场,磁感应强度为B.开始时,ab和cd两导体棒有方向相反的初速度,初速度大小分别为v0和2v0.求从开始到最终稳定之时,回路中产生的焦耳热.

解析:分别取ab、cd棒为隔离体,它们各自受到的重力和支持力相平衡.刚开始运动时,回路 abdc中磁通量发生变化,产生感应电动势,电流方向为abdca,因而两棒分别受到安培力 F1、F2作用,如图9.由于 ab棒和cd棒的总动量水平向右,ab棒先向左做初速为v0的变减速直线运动至速度为0,再向右做变加速直线运动,同时 cd棒向右做初速为2v0的变减速直线运动,直到两棒具有共同的水平向右速度,回路中无感应电流,不再产生焦耳热.

图9

设整个过程中产生的焦耳热为 Q,两棒最终的共同速度为v,水平向右为正方向.由能量转化与守恒定律得

由动量守恒定律有

类似以上共速问题很多,本文仅以几个代表性的例子来分析共速状态的应用.对这类问题进行归纳,引导学生掌握它们的特征和求解技巧,有助于提高学生的综合分析能力.