中考数学交流型试题归类解析

221700 江苏丰县中学 张 启

新课标提出“能用数学语言表达问题、展开交流，形成用数学的意识，学会与他人合作”，将“数学交流”贯穿在整个知识领域中.可见，数学交流已经是数学教学改革的一种潮流，在近几年的中考中，“数学交流”型试题备受命题者青睐，已成为中考命题的新趋势.这类问题通常给出一段阅读材料，然后提出问题，通过交流材料的内容，从中获取有用的信息，在理解的基础上结合已有知识来解决问题.现以2011年中考试题为例就交流的条件、结论、概念、方法等形式加以归类说明.

1 交流条件

这类问题通常是在一致的结论下，交流结论成立的条件或结论成立更为一般性的条件.解此类问题的基本策略是执果索因，从结论及部分条件出发，结合所学及与结论相关的知识，从中找到满足结论的条件.

例1(2011年泉州)某班将举行“庆祝建党90周年知识竞赛”活动，班长安排小明购买奖品，下面两图是小明买回奖品时与班长的对话情境：

小明：买了两种不同的笔记本共40本，单价分别为5元和8元，我领了300元，现在找回68元.

班长：你肯定搞错了!

小明：噢!我把自己口袋里的13元一起当作找回的钱款了.

班长：这就对了!

请根据上面的信息，解决问题：

试计算两种笔记本各买了多少本?

请你解释：小明为什么不可能找回68元?

解 (1)解法1设5元，8元的笔记本分别买x本，y本，

答：5元和8元笔记本分别买了25本和15本.

解法1应找回的钱款为300-5×25-8×15=55≠68，故不能找回68元，

解法2设买m本5元的笔记本，则买(40-m)本8元的笔记本，

解法3买25本5元的笔记本和15本8元的笔记本的价钱总数应为奇数而不是偶数，

故不能找回68元.

2 交流结论

这类试题往往是虽然条件发生了变化，但问题本质特征并未发生变化.解决这类问题，须从所给条件出发，通过分析、比较、确立结论，或让你判断所给的结论是否正确，再进行说明.

(1)试用列表或画树状图的方法列举出所有点P(m，n)的情形;

(2)分别求出点P(m，n)在两个反比例函数的图象上的概率，并说明谁的观点正确.

解(1)列表如下：

第二个数第一个数1 2 3 4 5 6 1 (1，1)(1，2)(1，3)(1，4)(1，5)(1，6)2 (2，1)(2，2)(2，3)(2，4)(2，5)(2，6)3 (3，1)(3，2)(3，3)(3，4)(3，5)(3，6)4 (4，1)(4，2)(4，3)(4，4)(4，5)(4，6)5 (5，1)(5，2)(5，3)(5，4)(5，5)(5，6)6 (6，1)(6，2)(6，3)(6，4)(6，5)(6，6)

3 交流概念

这类试题通常是把一些新概念类似地运用到其它的图形或对象上，虽然对象变化了，但某些性质可迁移到这一对象上，然后提出与这个概念密切相关的问题要求我们去解决.

例3(2011年江西)某课题学习小组在一次活动中对三角形的内接正方形的有关问题进行了探讨：

定义：如果一个正方形的四个顶点都在一个三角形的边上，那么我们就把这个正方形叫做三角形的内接正方形.

结论：在探讨过程中，有三位同学得出如下结果：

甲同学：在钝角、直角、不等边锐角三角形中分别存在________个、________个、________个大小不同的内接正方形.

乙同学：在直角三角形中，两个顶点都在斜边上的内接正方形的面积较大.

丙同学：在不等边锐角三角形中，两个顶点都在较大边上的内接正方形的面积反而较小.

任务：(1)填充甲同学结论中的数据;

(2)乙同学的结果正确吗?若不正确，请举出一个反例并通过计算给予说明，若正确，请给出证明;

图1

解(1)1，2，3.

(2)乙同学的结果不正确.

例如：在 Rt△ABC中，∠B=90°，

AB=BC=1，则AC=.

如图2，四边形DEFB是只有一个顶点在斜边上的内接正方形.设它的边长为a，则依题意可得

图2

如图3，四边形DEFH两个顶点都在斜边上的内接正方形.设它的边长为b，则依题意可得

图3

∴a＞b.

(3)丙同学的结论正确.

设△ABC的三条边分别为a，b，c，不妨设a＞b＞c，三条边上的对应高分别为ha，hb，hc，内接正方形的边长分别为xa，xb，xc.

∴x＜x，即x2＜x2.abab

∴在不等边锐角三角形中，两个顶点都在较大边上的内接正方形的面积反而较小.

点评本题定义了新概念“内接正方形”，解决问题的关键是深刻理解阅读材料所提供的新概念，充分挖掘新概念的内涵和本质，并能够运用所学过的知识对新概念作出合理的解释，进而将陌生的概念转化为熟悉的知识去理解，在此基础上结合已有的知识加以解决.

4 交流方法

这类试题往往是对于一个新问题，虽然问题的条件和结论都比较陌生，但可通过讨论交流得到解决问题的方法.解决此类问题的关键是认真阅读其内容，理解其实质，把握其方法、规律，然后提出一个类似或在此基础上有所拓展的问题，要求学生用类比的方法加以解决.

例4(2011年绍兴)数学课上，李老师出示了如下的题目.

在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC，如图4.试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由.

小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：

(1)特殊情况，探索结论

图4

当点E为AB的中点时，如图5，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：

AE______DB(填“＞”，“＜”或“=”).

(2)特例启发，解答题目

图5

解题目中，AE与DB的大小关系是：AE______DB(填“＞”，“＜”或“=”).理由如下：如图6，过点E作EF∥BC，交AC于点F.

(请你完成以下解答过程)

(3)拓展结论，设计新题

在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC.若△ABC的边长为1，AE=2，求CD的长(请你直接写出结果).

图6

解(1)=.

(2)=.

方法1如图6，等边三角形ABC中，

∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，AB=BC=AC，

∵EF∥BC，

∴ ∠AEF=∠AFE=60°=∠BAC，

∴△AEF是等边三角形，

∴AE=AF=EF，

∴AB-AE=AC-AF，即BE=CF，

又∵ ∠ABC=∠EDB+∠BED=60°，∠ACB=∠ECB+∠FCE=60°，

∴ ∠EDB+∠BED=∠ECB+∠FCE.

∵ED=EC，

∴∠EDB=∠ECB，

∴∠BED=∠FCE，

∴ △DBE≌△EFC，∴DB=EF，AE=BD.

方法2在等边三角形ABC中，

∠EDB+∠BED=∠ECB+∠ACE=60°

∵ED=EC，∴ ∠EDB=∠ECB，

∴∠BED=∠ACE.

∵EF∥BC，∴ ∠AEF=∠AFE=60°=∠BAC，

即△AEF是正三角形，∠EFC=180°-∠ACB=120°=∠ABD，

∴ △EFC≌△DBE，∴DB=EF，

而由△AEF是正三角形可得EF=AE.

∴AE=DB.

(3)1或3.

点评解决这类问题首先要仔细阅读材料，认真研究范例的解答过程，然后运用类比的方法，结合所学知识灵活解答.

从以上问题中可以看出，这类问题的特征就是通过学生的交流来表明他们对这个问题的理解和认识，同时让应试者参与讨论，并把一些观点与数学表达符号化，让学生运用不同的数学表达，以此来考查学生的数学意识和数学知识.通过中考试题中出现的交流问题，要求学生在今后的学习中，要学会通过一定的问题情景，自主地去探索问题，能较清楚地表达和交流解决问题的过程和结果，以培养观察、发现、分析和归纳的能力.