隐形的翅膀——“二次函数与一元二次方程”送教下乡教学实录与点评

224200 江苏省东台市实验中学教育集团 李长春

1 引言

数学教学有两条线，一条是数学知识教学的明线，一条是数学思想方法渗透的暗线.数学知识的学习是基础，数学思想方法的形成是基础知识的升华，是将数学知识的学习引向深入.初中阶段学习数学，除了掌握必须的“双基”，还要了解数学知识的生成背景和发生过程，深入体会其中的思想方法，从有形的数学知识中探寻无形的数学思想方法，让数学思想方法转化成“隐形的翅膀”，完成数学学习中的智慧托举.

笔者在最近一次送教下乡活动中执教了一节课——“二次函数与一元二次方程”(苏科版《义务教育课程标准实验教科书·数学》九年级下册第6.3节)，现以该课的教学实录为例，谈谈数学思想方法在教学中的渗透.

2 教学片段实录与点评

2.1 创设情境 发现问题

(课前，多媒体播放歌曲《隐形的翅膀》，不少学生跟着旋律哼唱.)

师：李老师来自东台市实验中学.今天在时堰镇中学和大家一起交流、学习，我有一种特别亲切的感觉，为什么这么说呢?

(大屏幕上显示：东台市时堰镇中学、东台市实验中学)

师：大家一起将两个校名读一遍.

生(齐读)：东台市时堰镇中学，东台市实验中学.

师：哪位同学发现其中的奥妙?

生1：“时堰”和“实验”读音相同.

师：对了!“时堰”和“实验”读音相同，用数学的眼光看，“时堰”和“实验”读音不仅相似，而且全等.难道这就是传说中的“缘分”?

师：我们刚刚学习了二次函数，请大家思考，在本学期所学的内容中，有哪个章节的内容和“二次函数”特别有“缘分”，联系较密切?

生(齐答)：一元二次方程!

师：下面和大家一起来学习第6.3节“二次函数与一元二次方程”.

点评通过两校校名的读音相同，引出课题：“二次函数与一元二次方程”，不仅能拉近师生之间的距离，激发学生学习的兴趣，还渗透了类比的数学思想，暗示着本节课探究的这两个“二次”之间也有着很深的渊源.

2.2 合作交流 探索问题

探究1求二次函数y=x2-2x-3的图象与x轴的公共点坐标.

师：请同学们画出二次函数y=x2-2x-3的图象，仔细观察抛物线与x轴的公共点情况，它与一元二次方程x2-2x-3=0的两个实数根之间有什么联系呢?

生2：令y=0，可得x2-2x-3=0，解得x1=-1，x2=3.所以二次函数y=x2-2x-3的图象与x轴的公共点坐标是(-1，0)和(3，0).

经过各位同学在准备好的网格纸上的画图(如图1)，得出结论：抛物线与x轴的公共点横坐标-1，3，即为一元二次方程x2-2x-3=0的两个实数根.

图1

点评“探究1”从“函数值为0”着手，沟通了二次函数与相应的一元二次方程之间的关系，①从函数关系式看，当二次函数y=x2-2x-3中的函数值y取特殊值0时即得到一元二次方程x2-2x-3=0;②从一元二次方程x2-2x-3=0的根的几何意义看，一元二次方程x2-2x-3=0的两实数根即为二次函数y=x2-2x-3的图象与x轴的公共点的横坐标，渗透了数形结合、从特殊到一般的数学思想方法，也体现了对立统一的辩证思想.

2.3 理性概括 构建新知

在老师指导下探究更一般的情形.

探究2一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根x1，x2，那么二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴有没有公共点?如果有，那么有几个公共点?并说出公共点的坐标.

生3：有两个公共点，坐标为A(x1，0)，B(x2，0).

注如图2，老师适时地把图1中的A，B两点的横坐标换成图2中的x1和x2，让学生结合图形进行归纳，既能体现数形结合的数学思想方法，又能体会到从特殊到一般的思维方式.

图2

点评学生经历过“探究1”的特殊问题的探索，已经积累了一定的经验，归纳出一般性的结论已经水到渠成，通过探索，其重点放在引导学生体验从具体到抽象、从特殊到一般的思维方法上.

师：反过来，如果二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴有两个公共点A(x1，0)，B(x2，0)，那么，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况如何?

生4：有两个不相等的实数根x=x1，x=x2.

师：对，这就是说“如果二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴有两个公共点A(x1，0)，B(x2，0)，就等价于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根x1，x2”.而一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况又可以根据什么式子进行判断呢?

生5：根的判别式.

师：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根x1，x2，则根的判别式的符号如何?

生6：大于 0.

师：正确，我们可以把它们之间的关系归纳如下表：

二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴有两个公共点⇔一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根⇔根的判别式的符号b2-4ac＞0

点评把二次函数的图象与x轴有两个公共点、一元二次方程有两个不相等的实数根以及b2-4ac＞0三者关系由特殊到一般进行分析，最后归纳，大有瓜熟蒂落之感!并且三者之间关系紧密，用“等价于”符号相连接，体现了转化的数学思想方法.

2.4 实践应用 类比创新

师：经历了上述探究过程，我们已经基本学会了如何探索二次函数的图象与x轴公共点的情况以及相应的一元二次方程根的情况这两者之间的关系.下面，请大家分组合作，完成探究，并把本小组讨论的最后结果归纳到数学探究报告单上.

数学探究报告单(一)

数学探究报告单(二)

点评 由于在“探究1”、“探究2”中，学生已经学会了探究问题的方法，故后面的两个问题可以放手让学生分小组在合作过程中运用类比的方法继续进行探究，老师对有困难的小组适时进行引导、点拨，并以数学探究报告单的形式按“由特殊到一般”、“类比”的数学思想方法进行归纳，然后以小组代表汇报的形式上台进行陈述，老师及时补充、小结、鼓励，使学生逐步形成技能.

2.5 归纳小结提炼升华

师：同学们，经历了前面三组问题的探究，我们已经体会了哪些数学思想方法?

生7：数形结合.

生8：分类讨论.

生9：从特殊到一般.

生10：类比的思想.

师：这节课的课题是“二次函数与一元二次方程”，当然蕴含函数思想和方程思想.通过上面的探究，你能把我们刚刚得到的成果完整地归纳一下吗?

生11：抛物线与x轴的公共点个数与一元二次方程根的判别式Δ之间的关系(如图3)：

(1)抛物线与x轴有两个公共点⇔Δ＞0;

(2)抛物线与x轴只有一个公共点⇔Δ=0;

(3)抛物线与x轴没有公共点⇔Δ＜0;

笔者拿出一根粗电线做成的“抛物线”，配合生11在黑板上进行抛物线的平移演示(主要目的是让学生进一步体会抛物线与x轴的公共点的个数)，然后带着满脸的疑惑问：如果抛物线的开口方向向下呢?

生12：同样的只需要看其与x轴的公共点的个数就能知道相应的一元二次方程的解的情况，也即知道根的判别式Δ与0的大小关系.

点评 让学生对照图形进行归纳，体现了数形结合的数学思想方法，平移“抛物线”，演示其与x轴的不同位置还体现了分类讨论的数学思想方法;通过图3中的抛物线开口向上的情况进行归纳，然后提问开口向下时有何结论，体现了类比的数学思想方法，在这些数学思想方法的引领和渗透下，让学生把探究的过程、形成的结论进行归纳，学生的感受当然很“自然”.

图3

师：同学们，课前大家欣赏的是什么歌曲?

生(齐答)：《隐形的翅膀》.

师：大家会唱这首歌吗?

学生齐答会唱.

师：今天这一节课我们运用了不少的数学思想方法来解决问题，这些数学思想方法就像“隐形的翅膀”，能帮助我们解决问题，能使我们的思维自由飞翔.老师将歌曲中的两句歌词改动了两个字.

(大屏幕上显示“我看见，每天的‘习题’也会有变化，我知道，我一直有双隐形的翅膀”，学生充满激情地齐唱.)

师：大家唱得太好了!同学们，我们已经学得“本领”，应该到了大显身手的时刻了，让我们试试数学思想这个“隐形的翅膀”，怎样助你飞翔，请运用所学知识解决下列问题.练习(略)

3 教学内容的简略分析

新课程标准下的数学教材，既保留了数学的基础知识与基本技能的系统学习与训练，同时又充分体现了数学知识的背景、知识的发生与发展过程，重视蕴含于数学知识发生、发展过程中的思想方法.如何处理好“有形”的数学“双基”教学与“无形”的数学思想方法的形成、发展之间的关系，让学生真正地学会两条腿走路，是目前中学数学教学值得研究的课题!

在本课例中，函数与方程都是刻画现实生活中数量关系的数学模型.研究函数时，我们研究的是函数关系的表述、函数的图象和性质以及函数的应用;研究方程时，我们研究的是不同类型的方程的解法及其应用，通过本节课的学习，能让学生深刻体会到两者之间实际上是互通的，是一般和特殊的关系，让学生感受到两者之间“对立统一”的辩证思想，从而达到三个教学目标：

(1)体会二次函数与一元二次方程之间是一般和特殊的关系;

(2)理解二次函数的图象与x轴公共点的个数和一元二次方程的实数根的个数之间的关系;

(3)理解一元二次方程的实数根就是相应的二次函数的图象与x轴公共点的横坐标.

笔者对“二次函数与一元二次方程”这一节的教学内容处理上以其渗透的数学思想方法为主线，引导学生体验从具体到抽象、从特殊到一般的思维方式，让学生在合作中探究，在探究中升华.在具体教学过程中，注重从数学知识的本质特征和内在联系两个方面组织学生进行探究，引导学生从二次函数的图象与x轴的位置关系、一元二次方程是否有实数根、有怎样的实数根的内在联系上来理解两者之间的关系，带领学生通过探索活动，从“发现”知识的过程中发展思维能力，掌握两者关系.事实证明，这是一节设计和实践都比较成功的课例.

4 教学方法的理论依据

课程标准指出：“数学教学活动必须建立在学生认知发展水平和已有的知识经验基础之上.教师应激发学生的学习积极性，给学生搭建数学实践的平台，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验.”评价一堂数学课的质量，首先要关注教学过程是否揭示了数学的本质，让学生理解数学内容的精神.这里所说的本质与精神，就是数学思想方法.由于数学思想是以数学内容为载体的对数学内容的一种本质认识，是一种隐性的知识，所以学生要领悟理解并掌握运用数学思想，就需要教师精心设计课堂教学内容，并引领学生“下水”实践，从而提炼归纳，形成技能，学为所用.

本节课的教学设计分三个层次：首先是引入;其次是引导，让学生探索二次函数的图象与x轴有两个公共点、一元二次方程有两个不相等的实数根以及b2-4ac＞0三者的关系，由特殊到一般进行分析、归纳，接着后面的两个类似的问题，在类比思想的立意下，放手让学生分小组在合作过程中运用类比的方法继续进行探究，并以数学探究报告单的形式分小组陈述探究成果;最后是应用，灵活运用所学知识解决实际问题.三个层次构建了层层深入的探求链条，其中知识内容是数学思想的教学载体，没有载体，也就没有思想;第二个探究活动是整个教学过程的核心，数学思想和方法在这个过程中也就如同宣纸上的水墨画一样慢慢浸润生成.当然在整个教学活动中，自始至终都是在凸显隐形的数学思想和方法.充分体现了数学思想的三大特点：隐喻性、过程性和概括性.

5 随感随想

这节送教下乡课，课堂气氛和谐，师生互动自由，学生学得轻松、用得自如，教学效果明显.之所以能够达成预期的教学目标，不外乎以下几点原因：

(1)吃透教材

新课标要求授课老师应当用教材“教”，而不是“教”教材.教师不能认为让教材再现就是完成了教学任务，必须根据具体内容、具体学情，对教材进行再加工、再创造，为学生量身定做，使教材“新鲜出炉”，最大程度地把知识的教学渗透在培养态度、能力的过程之中.一节课的成功离不开教者对教材的“精心”处理.

(2)导课激趣

通过“时堰中学”和“实验中学”的读音相同，引出课题“二次函数与一元二次方程”，可谓独具匠心，别出心裁.从课堂气氛来看，这样的设计能充分激发学生的好奇心，有效地调动学生学习数学的积极性，为渐入课堂佳境做铺垫，达到了预期的效果.(课本的处理是开门见山，直接提问：二次函数y=x2-2x-3与一元二次方程x2-2x-3=0有怎样的关系?)

(3)精选例题

本节课补充的练习都具有很强的针对性和代表性.

(4)浸润思想

在数学思想的指引下探究二次函数y=x2-2x-3的图象与x轴的公共点坐标以及一元二次方程x2-2x-3=0的根，通过函数关系中自变量与函数值的对应关系，从而得出抛物线与x轴公共点的横坐标即一元二次方程的实数根，并依此推广至一般情形，最后学以致用.纵览全课，教者先后渗透了数形结合、分类讨论、类比、转化、由特殊到一般的数学思想方法以及对立统一的辩证唯物主义思想等.

1 教育部.全日制义务教育数学课程标准(实验稿)［M］.北京：北京师范大学出版社，2001

2 杨裕前，董林伟.义务教育课程标准实验教科书·数学(九年级上册)［M］.南京：凤凰出版传媒集团，江苏科学技术出版社，2007

3 涂荣豹，季素月.数学课程与教学论新编［M］.南京：江苏教育出版社，2007

4 张奠宙，宋乃庆.数学教育概论［M］.北京：高等教育出版社，2009

5 沈文选，杨清桃.数学思想领悟［M］.哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2008

6 何志平，李海东.立意于数学思想的教学［J］，中学数学教学参考(中旬刊)2011，3