中考综合题及其求解策略

225754 江苏省兴化市垛田初级中学 沈 刚225700 江苏省兴化市教育局教研室 陈德前

所谓综合题，是指涉及的数学知识比较广泛，运算、论证、作图等比较复杂，需要灵活运用多方面的数学知识和熟练地技能技巧才能解答的问题.综合题不等于难题，有些竞赛题需要用某种特殊解法，但涉及的知识并不多，不能称为综合题.我们这里所谈的综合题，相当于中考试卷中的最后几道题.

综合题具有串联数学基础知识和基本技能、灵活运用解题方法、进行多层次思维训练、提高综合运用能力这样一些明显功能.因此，加强综合题的解题训练，有利于将所学的数学知识和技能融会贯通，起到复习、巩固、拓展、提高的作用，也有利于提高分析问题和解决问题的能力.要能顺利地解答综合题，必须深刻地、透彻地理解基础知识，掌握各个知识点之间的相互联系，还必须具备扎实的解题基本功，掌握好各种基本的解题方法与技巧.综合题的解题过程一般都比较复杂，有时需要经过迂回曲折的途径才能达到目的.有些综合题中还隐含着不易发现的隐含条件.这就要求我们在解综合题时，首先要认真审题，通过观察、分析，找出其中的难点所在，并通过联想(猜想)与概括，发现隐含条件，理顺解题思路，设计解题方案，而且在思考问题时，应尽量做到全面些、深刻些、灵活些.

初中数学综合题从知识科目上分有单科综合题和多科综合题，从题目形式上分有单一题和组合题.解综合题的基本方法就是把综合题分解为单一的基本题，把复杂图形分解为基本图形来处理.本文以中考题为例进行说明.

例1(2010年广州市)如图1，⊙O的半径为 1，点P是⊙O上一点，弦AB垂直平分线段OP，点D是弧上的任一点(与端点A，B不重合)，DE⊥AB于点E，以点D为端点，DE长为半径作⊙D，分别过点A，B作⊙D的切线，两条切线相交于点C.

图1

(1)求弦AB的长;

(2)判断∠ACB是否为定值，若是，求出∠ACB的大小;否则，请说明理由;

1 分析

这是一道与圆相关的几何学科的综合题，考查了圆中的众多知识和一些基本的数学思想方法，涉及到的知识点有垂径定理、勾股定理、圆周角和圆心角定理、切线的性质定理、切线长定理、三角形内切圆的性质、两圆的位置关系、三角形面积等，考查的数学思想方法有转化思想、方程思想、建模思想、不变量思想等.解决这个问题的关键是将这道综合题分解为一系列的基本题，在解决了这些基本题后，问题就迎刃而解了.

2 基本题

基本题1

如图2，⊙O的半径为1，点P是⊙O上一点，弦AB垂直平分线段OP，垂足为E，求弦AB的长.

图2

基本题2

如图3，点P是⊙O上一点，弦AB垂直平分线段OP，点D是上的任一点(与端点A，B不重合)，求∠ADB的大小.

点评这是考查圆周角性质应用的问题，人教版九年级上册课本在第94页，第95页，第130页等处多次出现过这样的问题，特别是图3中的四边形APBO与第95页的第10题完全相同，因此易求∠ADB=∠APB=120°.

基本题3

如图4，⊙D是△ABC的内切圆，∠ADB=120°，求∠ACB的大小.

图4

基本题4

如图4，△ABC中，AB=，∠ACB=60°，⊙D是△ABC的内切圆，DE⊥AB于点E，设DE=r，试用含r的代数式表示△ABC的周长.

点评这是考查切线长定理的问题，人教版九年级上册课本在第105页，第106页，第110页，第112页等处多次出现过这样的问题.

设AC，BC分别切⊙D于F，G，由切线长定理可知

AF=AE，BG=BE，CF=CG，CD平分∠ACB.

因为AB=，∠ACB=60°，

所以AB+AF+BG=2，∠ACD=∠DCB=30°，又DF⊥AC于点F，DF=r，

所以CF=CG=r，

所以△ABC的周长 = 2+2r.

基本题5

如图 5，△ABC中，AB=，∠ACB=60°，⊙D是△ABC的内切圆，DE⊥AB于点E，记△ABC的面积为S，若求△ABC的周长.

图5

又由基本题4可知AB+BC+AC= 2+ 2DE，

至此，这道综合题的解题思路已清晰显现，完整的解题过程如下.

3 求解

解(1)如图 6，连接OA，取OP与AB的交点为F，则有OA=1.

∵弦AB垂直平分线段OP，

图6

在Rt△OAF中，

∴AB=2AF=.

(2)∠ACB是定值.

理由：由(1)易知，∠AOB=120°，

因为点D为△ABC的内心，

所以连接AD，BD，

则∠CAB=2∠DAE，∠CBA=2∠DBA，

所以∠CAB+∠CBA=120°，

所以∠ACB=60°;

(3)记△ABC的周长为l，取AC，BC与⊙D的切点分别为G，H，连接DG，DC，DH，则有DG=DH=DE，DG⊥AC，DH⊥BC.

∵CG，CH是⊙D的切线，

∴CH=CG=DE.

又由切线长定理可知AG=AE，BH=BE，

∴l=AB+BC+AC= 2+ 2DE=8DE，

图7

例2(2011年衢州市)已知两直线l1，l2分别经过点A(1，0)，点B(－3，0)，并且当两条直线同时相交于y轴正半轴的点C时，恰好有l1⊥l2，经过点A，B，C的抛物线的对称轴与直线l1交于点K，如图7所示.

(1)求点C的坐标，并求出抛物线的函数解析式.

(2)抛物线的对称轴被直线l1，抛物线，直线l2和x轴依次截得三条线段，问这三条线段有何数量关系?请说明理由.

(3)当直线l2绕点C旋转时，与抛物线的另一个交点为M.请找出使△MCK为等腰三角形的点M.简述理由，并写出点M的坐标.

1 分析

这是一道中考压轴题，是多学科的综合题，考查了代数中的点的坐标、一次函数、二次函数、方程(组)、两点之间的距离，几何中的三角形三边之间的关系、勾股定理、等腰三角形、相似三角形以及三角函数等知识，涉及到的数学思想方法有分类思想、数形结合思想、转化思想、方程思想等.解决它的关键是将它分解为基本题，可分解为如下一些基本题.

2 基本题

问题1在△ABC中，∠ACB=90°，CO⊥AB于点O，若OA=1，OB=3，求OC的长;

问题2已知两直线l1，l2分别经过点A(1，0)，点B(－3，0)，并且当两条直线同时相交于y轴正半轴的点C时，恰好有l1⊥l2，求点C的坐标;

问题3求经过点A(1，0)，点B(－3，0)，点C(0，)的抛物线的函数解析式;

问题4已知两直线l1，l2分别经过点A(1，0)，点B(－3，0)，相交于点C(0，)，求直线l1，l2的函数解析式;

问题7已知△CKM，点C(0，)，K(－1，2)，M(－1，m)，请求出使△MCK为等腰三角形的m的值.

3 求解

(1)解法1由题易知△BOC∽△COA，

∴点C的坐标是(0).由题意，可设抛物线的函数解析式为y=ax2+bx+，把A(1，0)，B(－3，0)分别代入y=ax2+bx+，得

解法2由勾股定理，得

(OC2+OB2)+(OC2+OA2)=BC2+AC2=AB2，

又∵OB=3，OA=1，AB=4，

∴OC=-，

∴ 点C的坐标是(0).

由题意可设抛物线的函数解析式为

把C(0，)代入得a=－，

所以抛物线的函数解析式为

(2)解法1截得三条线段的数量关系为KD=DE=EF，理由如下：

由此可求得点K的坐标为(－1，2)，

点F的坐标为(－1，0)，

∴KD=DE=EF;

解法2截得三条线段的数量关系为KD=DE=EF，理由如下：

由题意可知 Rt△ABC中，∠ABC=30°，∠CAB=60°，

(3)当点M的坐标分别为(－2,)，(－1，)时，△MCK为等腰三角形.理由是：

解法1(ⅰ)以点K为圆心，线段KC长为半径画圆弧，交抛物线于点M1，由抛物线对称性可知点M1为点C关于直线x=－1的对称点，所以点M1的坐标为(－2，)，此时△M1CK为等腰三角形;

(ⅱ)当以点C为圆心，线段CK长为半径画圆弧时，与抛物线交点为点M1和点A，而三点A，C，K在同一直线上，不能构成三角形;

(ⅲ)作线段KC的中垂线l，由点D是KE的中点，且l1⊥l2，可知l经过点D，

解法2当点M的坐标分别为(－2，)，(－1，)时，△MCK为等腰三角形.理由如下：

(ⅰ)连接BK，交抛物线于点G，易知点G的坐标为(－2，).

又因为点C的坐标为(0，)，则GC∥AB.

∵可求得AB=BK=4，且∠ABK=60°，即△ABK为正三角形，

∴△CGK为正三角形，

∴当l2与抛物线交于点G，即l2∥AB时，符合题意，此时点M1的坐标为(－2，);

(ⅲ)当点M在抛物线对称轴右边时，只有点M与点A重合时，满足CM=CK，但点A，C，K在同一直线上，不能构成三角形.综上所述，当点M的坐标分别为(－2，)，(－1，)时，△MCK为等腰三角形.

由上可见，解综合题的基本方法就是把综合题分解为单一的基本题，解决了这些单一的基本题，就可以它们为基础，当作零件，算成半成品或标准件，用到综合题中去，进行复合，就可以形成综合题的解题思路.因此，在平时的教学中要通过典型试题的分析，帮助学生掌握将综合题分解为基本题的方法与技巧，使学生能切实掌握，灵活应用，以提高学生解综合题的能力.