基于核实数据的正态总体估计问题探讨

宇世航，堵秀凤，张水胜

(齐齐哈尔大学 理学院，黑龙江 齐齐哈尔 161006)

0 引言

关于正态总体参数的估计，在利用准确数据样本下的统计推断，是非常经典也非常完善的。然而，在许多实际问题中，准确测得我们感兴趣的变量Xi是很困难的，或所需成本很高，或需要花费大量时间。因此通常的办法是，用可观测的替代变量来代替，这些替代变量可由一些相对简单的方法获得。在一般情况下与Xi之间具有很复杂的关系，例如=φ(Xi,ei)，这里ei是测量误差且与Xi独立，φ是一个任意已知的函数。在这种情况下要对未知参数进行有效的统计推断是相当困难的。一种解决办法是使用一小部分核实数据扑捉变量与替代变量的关系，基于替代数据和核实样本的推断已经引起国内外学者的重视.例如。Sepanski和Lee[1]研究了基核实数据的非线性EV模型；Qihua Wang[2-5]、薛留根[6]等考虑基于替代与核实数据样本应用到线性和部分线性回归模型中。本文，考虑替代与核实数据的样本观测下，构造正态总体参数估计问题。

1 参数点估计

考虑总体X～N(μ,σ2)，带有测量误差的样本数据是独立同分布样本，且与小部分核实样本相互独立，V为小部分核实数据的下标集，再令

众所周知，正态总体均值μ和方差σ2的极大似然估计为：

显然在替代样本数据下，此估计可能会存在很大的误差，下面我们利用小部分核实数据重新修改这两个参数的估计。这里用条件数学期望作为X的估计，则：

利用核实数据，

定理1

Appendix A

(A⋅W)：W(⋅)有有界支撑的非负有界核函数，且 ∫W(u)du=1。

(A⋅EX2)：EX2＜∞。

有：

定理37]在满足Appendix A条件下，有：

2 参数区间估计

在大样本情况下，由定理3知μ的1-α置信度的置信区间为：

设X～N(1, 1)，X=1.5X+δε，其中ε～N(0, 1)，取bn=n-1/4，W(⋅)为Un(-1,1)的密度函数。核实数据与主要样本的大小分别取 (n,N)=（10,30），（30,90），（60,180），（10,50），（30,150），（60,300），并在δ=0.35 和δ=0.75 下分别做了5000次重复运算，计算结果见表1和表2。

表1 δ=0.35时均值μ的置信度为95%的置信区间

表2 δ=0.75时均值μ的置信度为95%的置信区间

从表中数据可见，每个置信区间均覆盖了总体μ的真实值，λ值越大，区间长度越小，并且δ越小，区间长度越小。这种借助核实数据的置信区间，增大了其覆盖概率和置信精度。

[1] Sepanski.J.H，Lee L.F.Semiparametric Estimation of Monlinear Error-in-variables Models with Validation[J].Nonparametric Statist,1995,（4）.

[2] Q.H.wang.Estimation of Partial Linear Error-in-variables Model with Validation Data[J].J.Multivaiate Anal,1999,(69).

[3] Wang Q.H.Estimation of Linear Error-in-covariable Models with Validation Data under Random Censorship[J].J Multivariate Anal.,2000,（74）.

[4] Wang Q.H.，Rao J.N.K.Empirical Likelihood-based Inference in Linear Error-itovariables Models with Validation Data[J].Bioraetrika,2002,(89).

[5] 王启华.核实数据帮助下误差在反映线性模型经验似然降维推断[J].中国科学A辑,2004,（5）.

[6] 薛留根.核实数据下非线性半参数EV模型的经验似然推断[J].数学学报，2006,(1).

[7] 宇世航.核实数据下均值的估计[J].应用概率统计，2010,（10）.