随机系数SETAR模型的应用

2011-07-24莫达隆宋立新

统计与决策 2011年22期

莫达隆,宋立新

（1.贺州学院，广西贺州542800；2.大连理工大学，辽宁大连 116024）

0 引言

门限自回归模型TAR是Tong.H于1978年提出来的,此后Tong和Lim(1980年)又给出了自激发门限自回归模型SETAR。由于SETAR模型能根据自变量的变化，选择不同的线性模型，这种选择转换被称之为机制转换。正是这种机制转换特征恰好描述了现实生活的大量现象,如经济、金融、气候等领域的现象,这些领域的数据受多种因素影响，观测值序列呈现跳跃性的变化，使得SETAR模型在这些领域的数据分析中得到广泛应用。

正如SETAR模型应用者的研究发现,SETAR模型是利用门限空间来改进线性逼近,现实生活的各种系统却充满着时变性,要提高预测的准确性,预测系统模型的回归系数也应该时常得到更新。本文提出随机系数SETAR模型及其应用，并假设其回归系数是一个随机时间变化的随机系数，给出了回归系数的估计方法.实证研究证明,所建立的模型能更准确地拟合现实数据序列,为拓展SETAR模型的应用提供了一种新的方法。

1 随机系数SETAR模型

设

把(3)式写成向量形式:

其中,Y是观测值xt,t=p+1,p+2,…,n,

1.1 模型识别和估计

设xt,t=1,…,n是依时间顺序排列的n个观测值，现要估计参数A,d，确定阶数p和分割{ }Rj.具体步骤如下：

步骤一，假设阶数p和分割{ }Rj已知.根据观测值xt,t=1,…,n给出A的条件最小二乘估计（CLSE），即极小化如下的残差平方和：

记A的CLSE值为，则

但由(3)式可知，模型(4)是一个异方差模型，宜用加权最小二乘法对模型(4)的系数A进行估计，加权最小二乘估计为

其中,D=diag(dp+1,dp+2,…,dn)是权矩阵

具体计算权矩阵D时，可用模型（4）的CLSE估计的残差估计量作为对角线元素来构造权矩阵D的初步估计。dt是随时间变化的，经过权矩阵D的作用有可能尚未把异方差的因素去掉，可重复地对模型(4)进行加权最小二乘法估计,迭代到模型的残差平方和稳定为止。

步骤二，估计Ri.固定d，关于R极小化，可先根据数据序列直观分析，预先确定一些门限候选值，在这些值处比较最优残差平方和Qn(A)的大小，取使得Qn(A)最小的候选值作为。例如,先将数据序列从小到大重新排列，以位于数据量0.25，0.35，0.45，0.55，0.65和0.75分位数处的xt的取值作为门限候选值。

步骤三,关于d极小化,估计d.对每个固定d，先对j=1,2,…,l，极小化（4）式，然后选择使得（5）式达到最小。

1.2 随机系数SETAR的统计检验

随机系数SETAR的统计检验包括三个方面:

(1)残差的常规检验.如残差的独立性、正态性和等方差性检验。

(2)非线性检验。这里应用广义似然比检验方法,该方法假设检验问题是：

H0:a1i=a2i=…=ali,i=0,1,2,...,p

H1:a1i,a2i,…ali,.i=0,1,2,…,p不全相等。

构造其统计量为：

2 实例分析

2.1 数据获取和初步分析

取广西外经贸2005年1月－2010年4月的出口数据为例分析之(见表1，数据来源：广西商务之窗http://guangxi.mofcom.gov.cn/.统计数据中的进出口数据，单位：万美元)。其中,取2005年1月～2009年12月的出口数据作为分析数据,2010年1月～4月为预测用的数据。（所用统计软件为eviws和R语言，自行编程）

为初步观察数据的平稳性，作广西累计出口月金额数据序列图和相关函数图。由此可以判断：广西累计出口月金额数据序列有明显长期趋势，因是月度数据，很有可能存在季节趋势。可计算其季节指数，若存在季节趋势可先剔除季节趋势，再通过单位根（ADF）检验其平稳性，并确定长期趋势是确定性趋势还是随机性趋势，从而选择适当方法剔除长期趋势即可得到一平稳序列。

表1

剔除季节趋势的方法有季节差分、计算季节指数再消除季节因素等方法，因为该原始序列的容量较少(n=64)，如果用季节差分消除季节因素，势必会缺失相当多的数据。所以通过计算季节指数消除季节因素的方法剔除季节变动。用移动平均法，得广西累计出口月金额数据的季节指数表(见表2)：

根据季节指数发现，原序列有季节趋势，在上半年和下半年稍有变化.可剔除季节趋势，设剔除原序列中的季节因素后的序列为{Zt}。

2.2 对序列{Zt}进行ADF检验，确定序列均势类型

经尝试，有如下结果：（见图1，见图2）

图1、图2显示：检验t统计量值是-0.491272,大于显著水平为5%和10%的临界值，同时时间项T的t统计量小于临界值，可断定序列{Zt}存在单位根，是具有随机性趋势的时间序列，对其零均值化，得到的新序列设为{Yt}。因序列{Yt}是具有随机性趋势的时间序列，要通过差分的方法来消除随机性趋势。

表2

图1

图2

经尝试，对{Yt}两阶差分（仍设为序列{Yt}）后进行ADF检验，检验t统计量值是-8.906645,小于显著水平为5%和10%的临界值，时间项T的t统计量也小于临界值，表明序列{Yt}是平稳的，滞后项m=2，可初步估计序列{Yt}有滞后项为3的自回归模型。

2.3 利用ARMA(q,p)模型建模

利用Pandit-Wu建模方法对序列{Yt}拟合AR(1)、ARMA(3,1)、ARMA(5,3)、ARMA(4,3)、ARMA(2,1)等模型进行对比选择。

拟合相关结果如下（见表3）：

表3

综合表3的各项因素，ARMA(5,4)是一个最佳的模型，模型形式如下：

2.4 利用随机系数SETAR模型建模

根据上文的单位根检验可初步确定阶数为p=3,序列有季节趋势且在上半年和下半年稍有变化，可暂取第18个序列数据Y18=-78作为门限值r，d=2(1≤d≤p),由式(6)得到系数A的初步估计

现要进行异方差检验，作模型的残差图和标准残差图，从这两个残差图可明显看出残差呈异方差分布，可利用加权最小二乘法估计模型(4)的系数A。先抽取模型(4)的残差估计量，定义权矩阵D为再由式(6)得系数A的加权最小二乘估计D-1Y。经迭代，A最佳的结果是：

先固定d=2，因数据序列是月度数据，且根据3.1节分析发现数据有两个季度的季节趋势，便取第18、24、36、42个数据作为门限候选值，分别极小化(5)式，发现当r=2872时，式(5)最小，故暂取r=2872.固定r=2872，分别对d=1、2、3时极小化式(5)，发现当d=2时，式(5)最小，故取d=2。上述过程用表4来表示：