含裂纹Timoshenko梁自由振动分析

徐福后，张玉祥

（第二炮兵工程学院 203室，西安 710025）

1 引 言

裂纹是最典型的结构损伤形式之一，裂纹的损伤检测对于保证设备的正常工作、预防突发灾难性事故具有重要意义。基于振动的裂纹损伤检测方法因其高效性被广泛关注，其检测原理是：当结构出现裂纹时，动力学特性参数如固有频率、振型将发生相应变化，从而通过监测结构固有频率的变化检测结构的裂纹损伤。目前，许多学者对裂纹梁结构固有频率和模态开展了研究[1-3]，这些研究大多针对Euler-Bernoulli梁结构，研究成果只能应用于梁结构细长比较大的情况。对于细长比较小的梁结构，Euler-Bernoulli梁理论会产生较大偏差，必须采用Timoshenko梁理论，由于Timoshenko梁理论考虑了剪切变形和转动惯量的影响，问题更为复杂、研究难度更大[4]，因而目前含裂纹Timoshenko梁研究较少[5]。

本文研究含裂纹Timoshenko梁的自由振动问题，将裂纹模拟为一无质量的扭转弹簧，扭簧的柔度为裂纹深度和截面高度的函数，采用传递矩阵法，结合具体的边界条件给出含裂纹梁的频率方程。对简支梁进行数值模拟，研究裂纹对梁的固有频率的影响。

2 Timoshenko梁自由振动分析

考虑一矩形截面Timoshenko梁，其几何尺寸是：长为L，宽B，高h，如图 1所示。

图1 含裂纹Timoshenko梁Fig.1 The cracked Timoshenko beam

图2 含裂纹Timoshenko梁弹簧等效模型Fig.2 The equivalent model of cracked Timoshenko beam

裂纹在距左端LC处，深度为hc。将裂纹处模拟为一无质量扭转弹簧，如图2所示，扭转弹簧的柔度系数可以表示为裂纹深度和高度的函数[6]，

对于完整Timshenko梁（不含裂纹），弯曲变形时横向位移可以分解为

式中，w1（x,t）为弯曲变形引起的，w2（x,t）为剪切变形引起的，因此有

式中，α为变形后截面的法线与水平轴的夹角，φ为剪切变形的剪切角，如图3和图4。根据材料力学的知识，梁的弹性方程为

图3 Timshenko梁微元变形示意图Fig.3 The deformation of infinitesimal Timoshenko beam element

图4 Timshenko梁微元受力示意图Fig.4 The load on the infinitesimal Timoshenko beam element

其中，E为弹性模量，I是单位长度的转动惯量，w是横向位移，G为剪切模量，k为与横截面形状有关的剪力修正系数，A是截面面积，M是弯矩，Q为剪力。

由力的平衡和力矩平衡方程得

上式中，ρ是梁的密度，m是单位长度梁的质量。

由（4）、（5）式可以得到Timoshenko梁自由振动的横向位移控制方程：

假定横向位移为：

将（7）式代入（6）式整理得到：

本文考虑ω小于临界频率时的情况，即：

作如下变换：

将（10）式代入（8）式，求解微分方程可以得到梁的横向挠度为

Timoshenko梁自由振动弯曲引起的转角控制方程为：

按照（6）式的求解方法可以得到α¯的解。

将（11）、（16）式代入（5）式可以得到弯矩为：

3 传递矩阵

对图1所示裂纹梁结构可以分成3部分：裂纹部分和裂纹左右完整部分，分别求出梁各部分结构的传递矩阵，选择状态矢量Z，

上式中，上角标T为转置操作符，后文同此。

3.1 完整部分传递矩阵

由（24）式和（26）式可得T1为裂纹左段的传递矩阵：

同样的方法可以求得裂纹右段的传递关系为：

T2为裂纹右段传递矩阵：

3.2 裂纹部分传递矩阵

在裂纹处，左右两部分保持横向位移，弯矩和剪力的连续条件，但在裂缝处转角不连续，扭转弹簧的转角θ为左右两部分梁在裂纹处的转角差，即

裂纹处的传递关系为

式中Tc为裂纹处的传递矩阵，具体表达式如下：

上式中D为扭转弹簧的柔度系数，见（1）式。

3.3 总体传递矩阵

将（35）和（28）两式代入（30）式，整理可得

式中T为裂纹梁的总体传递矩阵，

根据边界条件可以简化总体传递矩阵，固支端w¯=0，α¯=0，铰支端w¯=0，M¯=0，自由端M¯=0，Q¯=0，如对于简支梁，（37）式可以简化为

上式即为含裂纹Timoshenko梁的频率方程，求解方程即可得到裂纹梁的各阶固有频率。

4 数值算例

为了便于比较，采用文献[5]与文献[7]中的简支梁作为算例来验证本文提出方法的有效性。文献[5]与文献[7]中梁的几何参数和物理参数相同，如表1所示。裂纹处于梁的中间位置，即Lc/L=0.5。计算结果如图5所示，图中实验值由文献[7]给出，纵坐标为含裂纹梁与对应的无裂纹梁的各阶频率基频的比值ω/ω0，横坐标为裂纹深度相对深度hc/h。

表1 梁的几何参数和物理参数Tab.1 Properties of the beam

图5 裂纹深度对梁前三阶固有频率的影响Fig.5 The first three nature frequency of cracked beam

从图5可以看到裂纹使得梁的一阶、三阶固有频率均有所下降，裂纹越深，频率下降得越多，呈抛物线的形式，而对二阶固有频率几乎没有影响。本文方法计算结果与文献[5]及实验都很接近，二阶与三阶固有频率计算结果比文献[5]更接近实验值。

为了研究裂纹对不同细长比梁的影响，文献[5]分别对L/h=15、10和5的简支梁进行了计算，本文取文献[5]中的参数进行数值计算，参数如表2，裂纹处于梁的中间位置，即Lc/L=0.5，梁的高度为h。计算结果如图6所示，图中纵坐标为裂纹梁的基频率与完整梁的基频的比值。

表2 梁的几何参数和物理参数Tab.2 Properties of the beam

图6 裂纹深度对不同细长比梁基频的影响Fig.6 The first nature frequency of cracked beam with different slenderness ratio

从图6可以看出，在细长比（L/h）较大时（图6（a））裂纹对基频的影响相对较小，随着细长比的减小，裂纹对基频的影响越来越大。本文方法计算结果与文献[5]很接近，尤其是在计算细长比较小的情况，两者更为相似，这说明本文方法能够很好地用于分析含裂纹的Timoshenko梁。

5 结 论

本文提出了利用传递矩阵法分析含裂纹Timoshenko梁自由振动，这种方法只需要计算一个2×2矩阵的行列式值，计算简单、高效。以文献[5]、文献[7]中的简支梁为例，采用本文方法进行了数值计算，验证了本文方法的有效性，并得到如下结论：

（1）裂纹梁的一阶固有频率与完整梁的固有频率比值随裂纹深度增加而减小，并且减小的速率比其它各阶频率大。

（2）对于裂纹处于梁的中间位置时，二阶固有频率几乎不随裂纹的深度改变。

（3）梁的细长比越小，裂纹对它的影响越大。

[1]吴国荣,张晓君.含裂纹梁自由振动分析[J].船舶力学,2007,11(5):798-803.Wu Guorong,Zhang Xiaojun.Analysis on the free vibration of cracked beams[J].Journal of Ship Mechanics,2007,11(5):798-803.(In Chinese)

[2]李学平,余志武.含多处裂纹梁的振动分析[J].应用力学学报,2007,24(1):66-68.

[3]Zhang Xiaoqing,Han Qiang,Li Feng.Analytical approach for detection of multiple cracks in a beam[J].Journal of Engineering Mechanics,2010,136(3):345-357.

[4]Leszek Majkut.Free and forced vibrations of Timoshenko beams described by single difference equation[J].Journal of Theoretical and Applied Mechanics,2009,47(1):193-210.

[5]Swamidas A S,Yang X,Seshadri R.Identification of cracking in beam structures using Timoshenko and Euler formulations[J].Journal of Engineering Mechanics,2004,130(11):1297-1308.

[6]Fernandez-Saez J,Rubio L,Navarro C.Approximate calculation of the fundamental frequency for bending vibrations of cracked beams[J].Journal of Sound and Vibration,1999,225(2):345-352.

[7]Christides S,Barr A D S.One-dimensional theory of cracked Bernoulli-Euler beams[J].Int.J Mech.Sci.,1984,26:639-648.