Clifford 代数Clp，q的中心子代数

宋元凤，李武明，丁宝霞

(通化师范学院 数学系，吉林 通化 134002)

1 预备知识

(p，q)型Minkowski空间p，q的Clifford代数Clp，q是一类2p+q维的实结合代数，在数学与物理中有诸多应用.[1-11]p，q的M-正交集e1，…，ep，ep+1，…，ep+q对Clp，q的Clifford积满足[1-11]

(1)

并由此确定Clp，q的一组基[1-11]：

1，

e1，e2，…，ep+q，

e1e2，e1e3，…，e1ep+q，e2e3，…，e2ep+q，…，ep+q-1ep+q,

…………，

e1e2…ep+q

(2)

2 两种虚单位与两种复数

在(1)中，e1，…，ep称为双曲虚单位，ep+1，…，ep+q称为椭圆虚单位，任取ek∈{e1，…，ep}，由1与ek生成Clp，q的2维子代数

<1，ek>={a+bek|a，b∈，

同构于双曲复数

H={a+bj|j2=1，j∉}.

对应于此，任取e1∈{ep+1，…，ep+q}，由1与e1生成Clp，q的2维子代数

<1，e1>={a+be1|a，b∈，

同构于椭圆复数

={a+bi|i2=-1}.

显然，Cl1，0≅H，Cl0，1≅.

3 Clp，q的中心

引理1 作为实交换代数，Cen(Cl0，0)=，

Cen(Cl1，0)≅H，Cen(Cl0，1)≅.

(3)

引理2 当p+q=2k，k∈{0，1，2，…}，

Cen(Clp，q)=.

(4)

证明 当p+q=0时，由引理1知命题成立，当p+q=2k，k∈{1，2，…}时，考察t次向量ei1i2…it(i1

引理3 当p+q=2k+1，k∈{0，1，2，…}时，

(5)

证明 当k=0即p+q=1时，由引理1知命题成立.当p+q=2k+1，k∈{1，2，…}时，考察t次向量ei1i2…it(i1

对于基元e12…p+q，因为p+q=2k+1，任取ek∈{e1，e2，…，ep+q}均有

eke12…p+q=e12…p+qek，1≤k≤p+q.

所以

ek1ek2…ekse12…p+q=e12…p+qek1ek2…eks，其中ek1，ek2，…，eks∈Clp，q，

对于Clifford代数Clp，q中任意元素

α=a0+a1e1+…+ap+qep+q+a12e12+…+ap+q-1p+qep+q-1p+q+…+a12…p+qe12…p+q，

均有

αe12-p+q=e12…p+qα，

即

e12…p+q∈Cen(Clp，q)，

因此，

定理1 Clifford代数Clp，q的中心Cen(Clp，q)由如下公式确定

(6)

关注Clp，q的n次单位向量e12…n的如下表达式

(7)

可得与(6)式相关的两个推论.

推论1

(8)

其中n=p+q.

推论2

(9)

其中n=p+q.

参考文献：

[1]Pertti Lounesto.Clifford Algebras and Spinors [M].New York: Cambridge University Press，1997.

[2]Thomas W. Hungerford. Algebra [M].New York:Springer-Verlag，1974.

[3]李武明，张庆成.思维双曲复空间与Lorentz群[J].东北师大学报，2005，37(2).

[4]李武明，许宁.多内积空间的性质[J].通化师范学院学报，2010，31(10).

[5]李武明.Clifford代数上的一类矩阵[J].通化师范学院学报，2000(5).

[6]李武明.Clifford代数与Minkowski空间的性质[J].吉林大学学报，2000，13(4).

[7]李武明.时空平面的Clifford代数与Abel复数系统[J].吉林大学学报，2007(5).

[8]吴亚波.Clifford代数中的双曲相位变换群及其在四维相对论时空中的应用[J].物理学报，2005(11).

[9]曹文胜.四维Clifford代数的相似与合相似[J].数学物理学报，2010，30A(2).

[10]Cao W S.Solvability of a quaternion matrix equation[J].Appl Math J Chinese Univ Ser B，2002，17:490～498.

[11]Cao W S，Parker J， Rang X T.On the classification of quaternion Mobuis transformations[J].Math Proc Cambridge Philos Soc，2004，137:349～361.