基于简化实频方法的宽带天线阻抗匹配网络设计

武军伟 龚子平 万显荣 柯亨玉

(武汉大学电子信息学院电波传播实验室，湖北 武汉 430079)

1.引 言

天线与馈线之间的阻抗匹配程度直接影响到天线与收发信机之间的信号传输效率。为实现小型化短波天线输入阻抗的宽带化，在天线与馈线间插入宽带匹配网络进行补偿，减少由阻抗失配引起的损耗，提高馈电效率[1]。

针对宽带阻抗匹配网络的优化设计问题，Carlin于1977年提出了基于线性分段折线逼近最佳网络特性的原始实频方法[2]。自Carlin之后原始实频方法得到了许多改进，并演变为直接计算实频方法[3]和简化实频方法[4]。简化实频方法采用实归一化的散射参量矩阵函数描述二端口匹配网络，以散射参量矩阵函数为变量，优化匹配网络的传输功率增益TPG(定义为负载得到的实际功率与信号源的资用输出功率之比)，然后将得到的散射参量矩阵函数变换为策动点函数(阻抗或导纳函数)，运用网络综合技术将策动点函数实现为物理网络，完成匹配网络的设计。

简化实频方法避免了原始实频方法中策动点函数实部的折线表示和相应的希尔伯特变换处理，方法简便，程序计算简单快速[5]。同时，该方法克服了电路CAD软件直接优化方法(在软件中预先指定

网络的拓扑结构，然后直接对元件取值进行优化)中预设的网络结构不合理、网络增益特性与元件取值之间具有高阶非线性关系的缺点。

然而，简化实频方法也存在自身的局限性。由于网络散射参量函数形式的限制，以及缺乏对网络增益带宽理论极限的预估，特定网络阶数和零频传输零点阶数下的单次优化过程并不一定能够收敛到或者比较好地逼近目标传输功率增益。针对这一问题，进行了分析并给出了改进后的匹配网络设计方法。

2. 理论分析

2.1 简化实频方法基本原理

考虑由信号源、匹配网络和天线组成的系统，如图1所示：Ug和Zg分别表示信号源的等效电压源和内阻抗；ZL表示天线的输入阻抗；Zq表示由匹配

图1 信号源、匹配网络和负载组成的系统

网络的端口2向信号源方向看去的策动点阻抗。目标是设计一个无源双端口匹配网络，使得信号源与天线之间在所关心的频带内实现最大功率传输。

无耗互易双端口网络的实归一化散射参量矩阵函数S(s)的Belevitch表示形式[6]为

(1)

式中：S表示散射参量;s表示拉普拉斯复频率。当f(s)为s的偶函数时S11(s)前面取负号，当f(s)为s的奇函数时S11(s)前面取正号，f(s)、h(s)与g(s)之间满足以下关系式

f(s)f(-s)+h(s)h(-s)=g(s)g(-s)

(2)

根据达林顿(Darlington)原理[7]，任何有理正实函数[8]都可以实现为端接一欧姆电阻的无耗二端口网络。因而，策动点函数Zq的正实性就成为了匹配网络能够实现为无源二端口网络的充分必要条件。采用Belevitch形式的散射参量矩阵函数表示二端口网络时，策动点函数的正实性要求就变化为以下三个条件：f(s)、h(s)和g(s)均为实系数多项式；g(s)为严格霍维茨(Hurwitz)多项式[8]；f(s)和h(s)的阶次均不超过g(s)的阶次，并且满足关系式(2)。

在满足前述正实性要求的前提下，设f(s)、h(s)和g(s)分别为

f(s)=f0+f1s+…+fnsn

(3)

h(s)=h0+h1s+…+hnsn

(4)

g(s)=g0+g1s+…+gnsn

(5)

式中,n为网络的阶数，{f0f1…fn}、{h0h1…hn}和{g0g1…gn}分别为f(s)、h(s)和g(s)的多项式系数组。

Belevitch形式下匹配网络的传输功率增益为

(6)

式中SL(s)表示与负载ZL对应的反射系数，传输功率增益就表示成为了负载的实频数据和匹配网络的散射参量的函数，以f(s)、h(s)和g(s)的系数组为待优化变量，优化匹配网络的传输功率增益，便可获得具有最优传输功率增益的散射参量函数，然后将其变换为策动点函数，运用网络综合技术将策动点函数实现为对应的物理网络，确定网络拓扑结构和元件取值，就完成了匹配网络的设计过程。由于f(s)、h(s)和g(s)之间存在关系式(2)的约束，因而独立的自变量系数组只有两组，第三组系数可以由另外两组系数重构，这里选择f(s)和h(s)的系数组作为待优化变量。

式(3)表示一般形式下的f(s)，对应的网络通常含有互耦线圈(采用达林顿级联综合方法[7])及理想变压器(采用达林顿串联综合方法[7])，不便于工程应用。文献[9]指出并证明，当f(s)取sk(k表示零频率处传输零点的阶数，k≤n)的形式时网络函数始终可以实现为端接电阻的LC混合梯形网络。此时网络传输函数的零点均位于jω轴上的原点或无穷远点，这相当于把S21(s)限制为最小相移函数，避免了网络结构中桥形电路的出现。LC混合梯形网络所需元件数比较少，整个网络的传输性能对元件取值的微小偏差不敏感[8]，便于工程应用。因此，优化过程中将f(s)限定为sk的形式。

对f(s)做出上述约束后，待优化变量就只剩下了系数组{h0h1…hn}，这样就简化了优化过程的处理。由式(2)可得

g(s)g(-s)=sk(-s)k+(h0+h1s+…+hnsn)

[h0+h1(-s)+…+hn(-s)n]

(7)

指定网络阶数n和零频传输零点阶数k，初始化系数组{h0h1…hn}以后，分离上式右边项开左半平面的根构成严格霍维茨多项式g(s)，就保证了网络的可实现性。由于网络是无耗的，散射参量在jω轴上必须满足|S22(jω)|2+|S12(jω)|2=1，所以在选择k和{h0h1…hn}的时候需注意当k=0时h0必须为0。对于简单的问题，hi的初始值可以设为±1[4].

对传输功率增益的优化采用线性最小二乘优化算法，评估函数设为

(8)

式中：m表示所考虑带宽内的频率抽样点数;T0表示预设的目标传输功率增益;T(ωi)表示抽样频点ωi处的传输功率增益。在给定源和负载的前提下，匹配问题本身就存在着由任意电阻 电容 电感(RLC)无源网络所能达到的增益和带宽的理论极限[10]，当预设的目标传输功率增益超过这一理论极限时，优化过程便永远不能收敛。为了避免由于预设的目标传输功率增益不合理所引起的优化过程不收敛现象，设定一定的条件，如迭代次数达到最大值或者评估函数的改变小于预设的容差等，作为最小二乘优化算法的终止条件。

最小二乘优化结束后，将得出的系数组{h0h1…hn}代入式(7)重构g(s)，根据式(9)和式(10)就可以得到策动点函数Zq(s)的表达式，移除Zq(s)位于jω轴原点和无穷远点处的零极点便可综合出对应的物理网络结构。

(9)

(10)

由于散射参量函数始终满足Belevitch形式下的策动点函数正实性约束条件，保证了网络的可实现性，因而无需再对优化得到的策动点函数进行正实性校验。同时，避开了原始实频方法中以线性分段折线逼近最佳策动点阻抗的过程以及相应的希尔伯特变换处理，将原始实频方法的“折线逼近-有理多项式逼近-网络综合”三个步骤简化为了“有理多项式逼近-网络综合”两个步骤，物理概念清晰，方法简便，程序计算简单快速。

2.2 改进后的设计方法

然而，简化实频方法也有它自身的局限性：首先，把S21(s)设为最小相移函数、给定网络阶数n和零频传输零点阶数k为特定值都是对网络结构的限制，所能实现的传输功率增益形式不如由任意RLC无源网络所能实现的形式广泛，存在匹配性能的损失。其次，对于具体负载而言，特定网络阶数n和零频传输零点阶数k下的优化并不一定是全面的，潜在的优良解可能在设定n和k的时候就已经被排除在搜索域之外了，此时优化过程便不能够在优化带宽内收敛或者比较好地逼近目标传输功率增益。

针对特定n和k下的优化并非全面的问题，引入图2所示的设计方法框图。读入负载阻抗数据并设定优化频率范围和目标传输功率增益以后，首先进行网络阶数n=1、零频传输零点阶数k=0条件下的优化，达到最小二乘优化算法的终止条件后，退出该次优化并保存优化结果。然后逐次增加零频传输零点的阶数k和网络的阶数n，重新优化，直到n和k均达到预设的最大网络阶数nmax.这样就遍历了所有网络阶数和零频传输零点阶数下的优化，避免了基本简化实频方法丢失潜在优良解的可能。另外，多次优化所给出的多个结果也为通过权衡考虑网络的匹配性能和物理实现难易程度，从所有优化结果中确定最终方案提供了更大的选择空间。

在遍历完所有优化过程以后，从所有优化结果中选择传输功率增益特性较好的数个结果，运用网络综合技术将它们变换为对应的物理网络，构成待考察空间。然后权衡考虑网络的增益特性和物理实现难易程度，从考察空间中选择一个结果作为最终方案，完成整个设计过程。当网络的匹配性能与物理实现难易程度(通常为制作射频宽带变压器的问题)相互矛盾时，只能退而求其次，牺牲匹配性能，选择物理实现较为容易的结果作为最终方案。

图2 设计方法框图

3. 实际应用及结果分析

图3 待匹配天线的输入阻抗

由武汉大学研制的新型多功能变频高频地波雷达采用相控阵接收天线，单元天线为小型化单极加载螺旋天线，带宽要求为8～24 MHz.图3为用Anritsu MS2024A矢量网络分析仪测得的未经匹配的单元天线输入阻抗。从图中可以看出，该天线输入阻抗的虚部呈容性，实部离射频电缆的50 Ω特性阻抗比较远，若与射频电缆直接相连的话，8～24 MHz内的阻抗失配损耗在56%～80%之间，平均值为69%，天线接收到的雷达回波信号功率不能有效地馈送到射频电缆上。为提高该接收天线对射频电缆的馈电效率，采用前面给出的方法设计天线与射频电缆之间的宽带阻抗匹配网络。优化频率范围设为8～24 MHz，频率抽样点设为442点。与滤波器理论相似的是，当网络的阶数大于6阶时，网络的传输功率增益随着频率的变化将出现大的抖动，同时，过高的网络复杂度在工程上也是不乐于采用的，因此，优化过程中将网络的最大阶数nmax设为6阶。最小二乘优化算法的终止条件设为达到最大迭代次数5000时停止。取式(8)作为评估函数时，优化过程使所有频率抽样点处的TPG与预设目标值之间的偏差在平方和意义上最小。若某频点处有T(ωi)-T0>0，则该点的TPG已经优于目标值，但这一差值经过平方后仍然会累积进误差函数，与TPG未能达到要求的频点一起使评估函数值变大。为避免这种情况出现，设T0为最大值1，这样所有频点处都满足T(ωi)-T0≤0.

遍历6阶以下所有网络阶数和零频传输零点阶数的优化过程后共有27个结果。宽带匹配网络的设计需保证频带内的最低TPG值不低于容许的门限值。表1给出了所有结果在8～24 MHz之间的最低TPG值。从中可以看出：(n=1,k=1)、(n=2,k=1)、(n=2,k=2)、(n=3,k=1)、(n=3,k=2)条件下优化结果的最低TPG值均大于-0.5 dB(最大电压驻波比小于2)，而(n=3,k=3)、(n=4,k=2)等条件下优化结果的最低TPG值小于-3 dB，典型的(n=5,k=4)条件下优化结果的最低TPG值甚至降低到了约-24 dB，这表遍历不同网络阶数和零频传输零点阶数下的优化过程，避免因网络阶数和零频传输零点阶数设置不当引起的潜在优良结果的丢失是必要的。

图4给出了表1中最低TPG值大于-0.5 dB的五个结果的TPG曲线。(n=1,k=1)下优化结果的TPG曲线对应图5中的匹配网络1，其中理想变压器的变比N=3.2，L1=11823nH；(n=2,k=1)下优化结果的TPG曲线对应图5中的匹配网络2，其中N=3.1，L1=13520 nH，L2=505 nH；(n=2,k=2)下TPG曲线对应图5中的匹配网络3，其中N=3.2，C1=1945 uF，L1=11827 nH；(n=3,k=1)下优化结果的TPG曲线对应图5中的匹配网络4，其中N=3，C1=11.8 pF，L1=9852 nH，L2=2328 nH；(n=3,k=2)下优化结果的TPG曲线对应图5中的匹配网络5，其中N=3.7，L1=9515 nH，C1=231.8 pF，C2近似为0 pF.

表1 不同n和k下优化结果的带内最低TPG

图4 优化的传输功率增益

(a) 匹配网络1 (b) 匹配网络2

(c) 匹配网络3 (d) 匹配网络4

(e) 匹配网络5图5 匹配网络

上述五个结果中n=3，k=1下优化产生的TPG曲线较为平坦，并且，对应的匹配网络4中的变压器变比为3，比其他四个电路中的变压器更容易以传输线变压器[1，11-12]实现，故选定该结果作为最终的匹配方案。引入1∶3传输线变压器后匹配网络4的整体结构如图6中虚线框内部分所示，内虚线框内为1∶3传输线变压器。根据图6实际制作了匹配网络，当负载端接天线时从输入端口测得的驻波比以实线表示于图7中，为方便比较，同时用虚线给出了理论计算值(与图4中的实线对应)。可以看出：8～24 MHz范围内实际测量的电压驻波比在2以下，8～13 MHz之间与理论值吻合较好，但13～24 MHz之间与理论值存在偏差，主要是由于实际传输线变压器的阻抗变换特性并非完全理想引起的。

图6 最终的匹配网络

图7 匹配网络输入端驻波比测量值

从实际测得的驻波比计算，经过匹配以后8～24 MHz范围内的阻抗失配损耗在9%以下，平均值为5%，与未匹配时相比明显减小了。可见，文中给出的设计方法有效地解决了该小型短波宽带天线的阻抗匹配问题。

4. 结 论

给出的匹配网络设计方法克服了基本简化实频方法的局限性，避免了潜在优良解的丢失问题，设计过程中引入对匹配网络物理实现难易程度的考虑，具有较大的工程实用价值。通过一个实际小型短波宽频带天线阻抗匹配网络的设计和测量，表明该方法是有效和实用的。

[1] 柳 超,刘其中,梁玉军,等. 舰用短波宽带鞭状天线研究[J]. 电波科学学报,2006,21(6):955-958.

LIU Chao, LIU Qizhong, LIANG Yujun, et al. Design of broadband shipboard whip-type antenna at high frequency band[J]. Chinese Journal of Radio Science, 2006, 21(6):955-958. (in Chinese)

[2] CARLIN H J. A new approach to gain-bandwidth problems[J]. IEEE Transactions on Circuits and Systems, 1977,24(4):170-175.

[3] CARLIN H J, YARMAN B S. The double matching problem: analytic and real frequency solutions [J]. IEEE Transactions on Circuits and Systems, 1983,30 (1):15-28.

[4] YARMAN B S, CARLIN H J. A simplified "real frequency" technique applied to broad-band multistage microwave amplifiers[J]. IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques, 1982,30(12): 2216-2222.

[5] 陈轶鸿,孙 琰,郭渭盛,等. 宽带匹配网络的现代设计方法[J]. 电波科学学报,1996, 11(2):102-109.

CHEN Yihong, SUN Yan, GUO Weisheng, et al. Modern methods for the design of broadband matching networks[J]. Chinese Journal of Radio Science,1996,11(2):102-109.(in Chinese)

[6] BELEVITCH V. Elementary application of the scatterin- g formalism to network design[J]. IRE Transactions on Circuit Theory, 1956,3(2):97-104.

[7] 陈惠开. 宽带匹配网络的理论与设计[M]. 黎安尧,等译.北京:人民邮电出版社,1988.

[8] 北京邮电学院,南京邮电学院. 网络理论导论[M].北京:人民邮电出版社,1979.

[9] WEINBERG L. Network Analysis and Synthesis[M]. McGraw-Hill BookCompany,Inc.1962.

[10] SCHWARTZ D F, ALLEN J C. Wide band impedance matching: H∞ performance bounds[J]. IEEE Transactions on Circuit and Systems—II: Express Briefs,2004,51(7):364-368.

[11] 张纪纲. 射频铁氧体宽带器件[M]. 北京: 科学出版社, 1986.

[12] 高 雪,胡鸿飞,付德民,等. 宽带传输线变压器的分析与设计[J]. 电波科学学报,2001, 16(4):447-450

GAO Xue, HU Hongfei, FU Demin. An analysis and design of broadband transmission-line transformer[J]. Chinese Journal of Radio Science, 2001, 16(4):447- 450.(in Chinese)