双站散射模式响应的分析与应用

李志平

(北京航空航天大学电子信息工程学院，北京 100191)

1. 引 言

矩量法(MoM)由哈林顿(Harrington)首先引入到计算电磁学中求解积分方程[1]，其广泛应用于天线分析与设计、微波器件模拟和雷达散射截面计算，最大优点是求解精度高。矩量法求解L个入射方向激励，M个散射方向的双站RCS时，需要解L次矩阵方程和LM次矩阵向量乘法运算分别获得表面电流和双站RCS[8]。双站特性由于反隐身的需求，日益受到重视，如此循环迭代实际上是无法计算的。为了提高双站分析的速度，已发展出了几种方法，如单双站等效定理[2-3]，以及将物理光学电流作为初始试探解来提高求解速度[4]，前者是近似估计，后者是基于初值近似的循环迭代。为了降低矩量法求解单站RCS的计算复杂度，用基波模激励展开，不同入射方向激励起的表面电流是某固定入射方向激励下的一系列模式表面电流的加权积分[4]。本文将入射和散射的平面波都分解成一系列模式，得出目标双站RCS与模散射响应成傅立叶变换关系；利用展开模中Bessel函数的性质可阐明模散射响应具有近似成对角分布的稀疏性，根据这些性质和快速傅立叶变换(FFT)，可高效快速实现双站RCS计算分析和应用。

2. 算 法

任意二维电磁波可分解为横电波和横磁波的叠加。根据叠加原理，单独考虑物体对横电波和横磁波的散射即可，为简单起见，考虑横磁波的散射。假设目标轴向为z方向，二维理想导体目标所在背景为自由空间，如图1所示。

图1 TM波激励二维理想导体目标的电磁散射

矩量法求解TM波激励二维理想导体目标的电磁散射时，将导体横截面的边界划分为N个直线单元，用脉冲基将其上的未知电流密度展开，经检验匹配建立电场积分方程的方程组[1]，即

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

求解L个入射方向激励，M个散射方向的双站散射，需解L次矩阵方程(1)和LM次矩阵向量乘法(4)运算分别获得表面电流和双站散射，即使用共轭梯度迭代求解，计算复杂度也将分别为O(LN2)和O(LMN)。

傍晚，苏婷婷下班回来，杰克上前拥抱妻子：亲爱的，你想死我了！杰克连连在苏婷婷脸上亲吻着，苏婷婷躲闪着：别这样，让爸妈看见了不好。杰克说：爸妈都出去了，看不见的。苏婷婷放松下来，杰克趁势把苏婷婷抱到床上。

(7)

将式(7)右边的各阶基波模(-j)pJp(kr′)e-jp θ′作为式(1)右边的激励，再根据叠加性可将任意方向θi入射激励起的表面电流表达为基波模表面电流的傅立叶积分。

(9)

其中式(8)确立的线性方程组与入射方向无关，并将求解方程组的次数由L变为2P0+1。而基波模电流重构各个θi入射方向激励起的电流的式(9)是傅立叶变换。

同样，将散射到远区的平面波模式展开，有

(10)

综合式(10)、(9)和(4)，更换求和次序，并略去常系数项，有

(11)

式(11)是二维(逆)傅立叶变换，其中Tp,q为

(12)

另外，Bessel函数有性质[6]

J-n(x)=(-1)nJn(x)

(13)

双站模式散射响应Tp,q在数学上是将p阶激励模在目标空间内经广义导纳矩阵加权后在q阶散射模上的投影，在物理上是p阶基波模激励起目标的q阶模散射响应，其较大元素集中在对角线附近(p=±q)，远离对角线时，入射与散射的模式差别增大，二者间的关联程度将降低，模散射响应将减小，可预估模散射响应近似有沿对角分布的稀疏性。显然模散射响应是目标的内秉属性，与入射和散射的观测角度无关。

3. 仿 真

下面分析波变换中级数截断的阶数对求解精度的影响。平面波展开为Bessel级数和形式，用式(7)左右两边的复相关来分析截断阶数P0对级数收敛的影响。

(14)

图2 平面波与其Bessel级数展开的相关系数

由Stratton-Chu积分方程可证明[5]，远区散射场可表达为与表面电流的积分，即

(15)

Δθ≤2π/(2×2×2π max(r′)/λ)

(16)

则在2π角度范围内需要的观测点数至少为

L=2π/Δθ≥8π max(r′)/λ

(17)

而系数8π大于拟合出的2×6.3，若目标形状更为复杂，将需更密的间隔来精细地观测目标的散射特性[7]。

下面计算四个目标的模散射响应和重构双站散射，并分析忽略远离对角线的元素对重构的影响，如图3～6所示。

(a) Target I (b) Target II (c) Target III (d) Target IV图3 仿真的二维目标

为了分析模散射响应的性质，并能体现目标的镜面散射和多次散射等机制，构造出Target I、II、III和IV如图3所示，Target I是两根半径为1λ的圆柱组合体，两轴在x和y方向分别相距3.2λ、2λ；Target II是边长为4λ，边厚为0.5λ的二面角；Target III是在Target I的基础上在左上方添了一根宽为2λ的方柱，方柱的轴与Target I左边圆柱的轴在x、y方向分别相距3λ、2λ；Target IV是底宽8λ，深3.5λ，开口宽4λ，壁高4λ的凹槽。图4(见411页)的(a)～(d)分别为四个目标的模散射响应填充等值线图，横、纵轴分别为入射和散射的基波模式p、q.

模散射响应有三个特点，其一是“带限低通”性，对最大尺寸不大于9λ的这三个目标，将模散射响应归一化于最大值，幅度大于-40 dB的元素都在±40之间的有限带宽内，难以激励起足够强度的高阶响应，正如上文分析平面波的模展开式(7)、(10)，截断的阶数取决于电尺寸。其二是“稀疏”性，如图4所示，幅度大于-10 dB的元素都集中在对角线(p=±q)附近；并且从中可看到经验性的规律，随着目标内部耦合现象的加剧，在p=-q附近会集中幅度较强的元素，如图4(c)中的Target III 比(a)的Target I多了方柱，模响应在p=-q临近的区域多出现了较强的元素(两端的位置)，而Target II和IV是强耦合的典型，有着强烈的多次反射，图4(b)和(d)中在p=-q附近会聚集的更多。其三是“互易对称”性。

为了分析忽略远离对角线元素的影响，沿垂直对角线(p=±q)的方向逐渐扩展使用模响应，正负号的选择由变化较大的方向确定，并与由常规矩量法得到的双站散射计算相关值。如图5(见411页)(a) 和图6(见411页)(a)是Target II和IV由常规矩量法计算的双站散射，而5(b)和6(b)是由全部模响应24.8% 重构所得，相关系数分别大于0.9971和0.9983。图7是沿垂直对角线(p=±q)的方向扩展时，由占全部模响应的百分比的元素重构计算的和由常规矩量法计算的双站散射之间的相关系数；当逐渐增加远离对角线的元素，模响应重构逐渐收敛于矩量法；其中双划线、实线、虚线和点划线分别为计算Target I、II、III和IV相关系数的收敛性曲线，当所占比重约1/4时相关系数都大于0.9970。所以利用这些性质可减少计算时间。

图7 由模散射响应重构双站散射的相关收敛曲线

比较两个都需迭代求解的过程，计算表面电流和模表面电流的次数分别为L和2P0+1，前者正比于8π倍的目标最大电尺寸、后者约正比于14倍的目标最大电尺寸时，平面波的Bessel级数和已很好的收敛，所以根据精度要求可合理减少迭代求解方程的时间。此外，重构使用FFT的开销较小。

所以，双站模式响应的这些特征是目标内秉的本质属性，并且与远场RCS之间存在傅立叶变换关系，可用来快速计算和识别目标。

4. 结 论

论文基于矩量法来分析目标双站散射，将入射和散射的平面波都展开为含有基本波函数—Bessel 函数的级数和，得出了目标双站RCS与模散射响应成傅立叶变换的关系。基于Bessel函数的性质，阐述了模散射响应近似成沿对角分布的稀疏性等性质，并利用稀疏性和FFT快速实现了双站散射的计算。根据双站模式散射响应矩阵的性质，仿真计算和比较分析了三个目标，得出由1/8的(收发互易) 散射响应就可重构出高精度的双站RCS。该方法可推广到三维和使用快速多极子计算双站RCS。

[1] HARRINGTON R F. Field computation by moment methods [M]. The MacMillan Company, 1968.

[2] KELL R E. On the derivation of bistatic RCS from monostatic measurements[J]. Proc. IEEE, 1965, 53(8): 983-988.

[3] EIGEL R L, COLLINS P J, TERZUOLI A J, et al. Bistatic scattering characterization of complex objections[J]. IEEE Geoscience and Remote Sensing. 2000, 38(5): 2078-2092.

[4] 王浩刚, 聂在平. 一种求解单站RCS 的高效算法[J]. 电子学报, 1999, (27): 28-31.

WANG Haogang, NIE Zaiping. A highly efficient algorithm for solving monostatic RCS-the method of basic waves exciting[J]. Acta Electronica Sinica, 1999, (27): 28-31. (in Chinese)

[5] STRATTON J A. 电磁理论[M]. 何国瑜,译. 北京航空学院出版社, 1986.

[6] 梁昆淼. 数学物理方法[M]. 北京: 高等教育出版社, 1960.

[7] 克拉特E F. 雷达散射截面[M]. 阮颖铮, 陈 海, 等译. 北京: 电子工业出版社, 1988.

[8] 刘红星, 赵伯琳, 李言荣. FMM算法用于二维复杂散射体的RCS计算[J]. 电波科学学报, 2003, 18(3): 332-336.

LIU Hongxing, ZHAO Bolin, LI Yanrong. Scattering analysis of electrically large 2-D structures with arbitrary cross section using FMM[J]. Chinese Journal of Radio Science, 2003, 18(3): 332-336. (in Chinese)