研发竞赛中参与人的策略与发起者的收益研究

彭鸿广

(1.浙江科技学院 经济管理学院,杭州 310023;2.上海交通大学 安泰经济与管理学院,上海 200052)

竞赛是现代社会中广泛存在的一种竞争机制。研发竞赛是指竞赛发起者为了激励创新、获取创新成果而设立的竞赛机制,它将事先规定的奖励授予给取得最佳研发成果的竞赛参与人。在通常的研发合约外包中,委托人不得不支付高昂的质量检测成本和对代理人努力程度的监控成本。有效的研发竞赛机制借助于竞赛参与人之间的竞争,不仅使得竞赛发起者只需要比较竞赛参与人之间的相对绩效,而且还可以避免参与人的逆向选择与道德风险问题。

如何设计竞赛机制,使得竞赛发起者的收益最大?Tylor、Kaplan和Sela、Che和Gale、Konrad和Kovenock、乔恒和邱菀华[1-5]等研究了竞赛参与人的数量,参与人之间的能力差异,以及竞赛奖金的设置对竞赛发起者收益的影响。他们皆假定研发投入和研发质量之间是确定性的关系。但事实上研发成果的质量在事前通常是不确定的,因而假定研发投入和研发质量之间是随机性关系更为合理。

1 问题描述与模型假设

研发竞赛过程如下:竞赛发起者首先宣布对研发竞赛获胜者的固定奖励金额,然后竞赛参与人根据自身和对手的类型信息作出研发投入决策,在经过一定时间的研发并取得研发成果后,研发质量较高的一方获胜,取得事先规定的固定奖励。当研发质量相同时,随机确定获胜者。参与人面临的问题是在研发开始之前如何确定研发投入以使自己的期望收益最大。

本模型作出如下假设:1)竞赛发起者与参与人皆是理性的和风险中性的。2)竞赛发起者与竞赛参与人之间不存在有约束力的合作协议。3)研发成本C为研发投入x和研发效率β的函数,C(x)=βx2,其中β＞0。β即参与人的类型,β越小表明研发效率越高。4)研发竞赛发起者获得的效用为U s=γq,其中q为研发成果的质量,γ为正的常数。竞赛发起者给予获胜者固定奖励V,V＜γ。5)每个竞赛参与人的类型为公共知识,即参与人不仅了解自己的类型,而且也了解对方的类型,竞赛的发起者也知道所有参与人的类型。

2 研发质量和研发投入之间关系随机时的决策情形

借鉴Fullerton[6]关于研发质量和研发投入之间随机关系的假定,假设研发质量的分布函数为:F(q)=qx,其中x为研发投入,q为研发质量,q∈[0,1]。密度函数用 f(q)表示。研发质量的分布函数为公共知识。下标i和j分别代表竞赛参与人i和j。当xi＞x j时,qi一阶随机优于qj,即竞赛参与人的研发投入越大,越有可能取得质量较高的研发成果。

当只考虑2个参与人i和j时,参与人i获胜的概率为:

为得出更为直观的结论,以下只考虑2个参与人i和j的情况。

命题1 竞赛参与人i和j的均衡策略(x*i,x*j)由下式决定:

竞赛发起者的期望收益为:

推论1 当2个竞赛参与者的研发效率相同时,研发质量随机环境下竞赛发起者的期望收益随研发效率的降低而降低。

3 研发质量为研发投入的确定性函数时的决策情形

命题2 研发质量为研发投入的确定性函数时,不存在参与人研发投入的纯策略纳什均衡。

证明 用反证法。假设存在纯策略纳什均衡(xi′,xj′),则必有 xi′=xj′。如果 xi′≠xj′,假设 xi′＞xj′＞0,则参与人 j获胜的概率为0,显然参与人 j不会付出xj′的研发投入。而当xi′=xj′时,参与人的研发质量

同理,给定参与人i的策略不变,j也有动力偏离x j′。所以不存在参与人研发投入的纯策略纳什均衡。

命题3 研发质量为研发投入的确定性函数时,存在参与人研发投入的混合策略纳什均衡。

证明 假设参与人j采用混合策略,其研发投入的分布函数为Gj(x)。当j采用该混合策略时,参与人i无论研发投入为多少,皆获得相同的期望收益。当i的研发投入为x i时,期望收益为:πi=Gj(xi)◦V-=cj,cj≥0为常数。考虑到分布函数的特征,可得同理有:Gi(x)=证毕。

竞赛参与人i的期望研发质量为:

假设βi≤βj,竞赛参与人i获胜的概率为:

竞赛发起者的期望收益为:

推论2 当竞赛参与者的研发效率相同时,确定性环境下竞赛发起者的期望收益随参与者研发效率的降低而降低。

命题4 当α＜α＾时,研发质量随机环境下的竞赛发起者的期望收益要低于研发质量确定环境下的期望收益。

证明 为计算上的方便,令βj为竞赛参与人中较高的研发效率,V=2λ2βj,βi=α4βj,且α≥1,这对后面结论的成立与否并无影响。

4 算 例

1)假设模型中γ=5,当βi=βj=1时,研发质量随机环境下竞赛发起者的期望收益为π*s=5-V-研发质量确定环境下竞赛发起者的期望收益为;当βi=βj=0.5时,研发质量随机环境下竞赛发起者的期望收益为研发质量确定性环境下竞赛发起者的期望收益为图1表示在研发质量随机环境和确定性环境下,当βi=βj=1,βi=βj=0.5时竞赛发起者的期望收益随奖励金额变化的情况。从图1中可以看出,在同一奖励金额下,βi=βj=0.5时,参与者研发效率较βi=βj=1发起者的收益要高。

2)假设模型中γ=5,βi=0.5,βj=1,质量随机环境下竞赛发起者的期望收益为确定性环境下竞赛发起者的期望收益为图2表示2种不同环境下竞赛发起者的收益随奖励金额变化的情况。从图2可以看出,当βi=0.5,βj=1时,研发质量随机环境下的竞赛发起者的期望收益要低于研发质量确定环境下的期望收益。

5 结 语

笔者通过建立研发竞赛的非合作博弈模型,考虑了研发质量是研发投入的随机函数和确定性函数2种情形,分别探讨了2种不同情形下竞赛参与人的均衡策略和竞赛发起者的期望收益。研究发现:在研发质量随机环境下存在着参与人的纯策略纳什均衡,而在确定性环境下存在着竞赛参与人的混合策略纳什均衡;当2个竞赛参与者的研发效率相同时,竞赛发起者的期望收益皆随竞赛参与者研发效率的降低而降低;当竞赛参与者研发效率差异在一定范围内时,研发质量随机环境下的竞赛发起者的期望收益要低于研发质量确定环境下的期望收益。这一研究结论对竞赛发起者在不同情形下设置竞赛机制和选择竞赛参与人具有较大的参考意义。

本研究仅考虑了完全信息即每个参与人的类型为公共知识时的情形。假设参与人的类型为不完全信息,并将参与人数扩展为多人的情形则是后续研究的方向。

[1] TAYLOR C R.Digging for Golden Carrots:An analysis of research tournaments[J].The American Economic Review,1995,85(4):872-890.

[2] KAPLAN T R,SELA A.Effective contests[J].Economics Letters,2010,106(1):38-41.

[3] CHE Y K,GALE I.Optimal design of research contests[J].The American Economic Review,2003,93(3):646-671.

[4] KONRAD K A,KOVENOCK D.Multi-battle contests[J].Games and Economic Behavior,2009,66(1):256-274.

[5] 乔恒,邱菀华.递增奖品R&D竞赛的模型设计与均衡分析[J].系统工程理论与实践,2007(4):77-80.

[6] FULLERTON R L,LINSTER B G.Using auctions to reward tournament winners:Theory and experimental investigations[J].The Rand Journal of Economics,2002,33(1):62-84.