二维八态波茨模型的动力学指数

雷晓蔚

(重庆文理学院物理系，重庆 永川 402160)

波茨(Potts)模型是 R.B.Potts在1952年提出的.假设模型有N个格点位置，分别标上1，2，…，N，每个位置i和一个自旋量σi相对应，σi可以有q个取值，分别为1，2，…，q，两个相邻的自旋 σi和 σj相互作用的能量为:-Jδσiσj，这里 J是相互作用常数，而

伊辛(Ising)模型就是q=2的Potts模型的特殊情况.Ising模型是描述铁磁体自旋状态的两态物理图样模型，Potts模型是解决多态问题的物理图样模型，具有可分析复杂组织和可视化仿真等能力.当q为偶数时可映射为Spin-{1/2(q+1)}Ising模型;q为奇数时可映射为Spin-{1/2(q-1)}Ising模型，这些模型对超导超流等问题的研究有着重要的意义.目前，Potts模型已广泛应用于如材料的晶粒生长［1］、计算机的数据聚类［2］等领域.

1973 年 Boxter［3］指出对于二维纯净 Potts模型，在q＞4时相变是一级的，而在q≤4时却是连续相变.随着材料科学的发展，人们越来越关注具有淬火掺杂的物理系统的临界性质［4-10］，这种掺杂可以用在模型中引入随机作用链来表示，随机掺杂对纯系统的耦合产生显著影响.二维q态随机链Potts(RBP)模型是研究淬火无序性对纯净体系影响的一个典型模型［11］.当q＞2时，系统的比热临界指数α＞0，无序性就像施加了一个有效扰动;当q＞4时，它将原系统的一阶相变转变成二阶.这种新的二阶相变对于各类模型是否都适用，又是属于哪一普适类，国内外研究者对此展开了讨论，结果表明可用磁临界指数来检验其普适性［11-14］.但是由于所得临界指数值存在误差，所以对无序系统的普适临界行为一直存有怀疑.对Ising模型的研究表明，无序幅r(无序程度)只有取到最佳值时，由纯净态和渗流态的不稳定的固定点引起的交叉效应才可以被忽略［15-16］，此时，磁临界指数的偏差可以消除，无序系统临界现象的普适性就显示出来了，但是动力学指数z会随无序幅的变化而有所不同.文献［8］和［11］对RBP模型的临界普适性展开了研究，计算了磁临界指数和动力学临界指数z，但是模拟时间只有300到500个蒙特卡罗步，对于一个无序掺杂的动力学过程来说太短了，另外，所选格点尺寸最大也只有128，这样得到的指数就不够准确.

本文对二维q=8的Potts大格点模型展开大规模数值模拟研究.系统从完全有序态出发，演化时间最多达15万个蒙特卡罗步(Monte Carlo Step，即 MCS)，格点尺寸 L=280，以短时动力学标度形式为基础，通过测量宾德累积量U(t)，来确定动力学指数z.

1 模型和标度形式

二维正方格点随机链q态Potts模型的哈密顿量为

这里kB表示玻尔兹曼常数，T表示温度，Kij=T代表最近邻链的无量纲耦合，J是相互作用常数，＜i，j＞表示最近邻相互作用.Kij由K1和K2决定=r是一个表征无序程度的无量纲常数，称为无序幅(disorder amplitude).r=1对应纯净Potts模型，其临界点Kc=ln(1+);r=∞对应渗流极限，自对耦无序体系的临界点 Kc满足方程［17］:

这里K1c和K2c分别表示K1和K2的临界值.显然，随机链作用的新的二阶相变的临界点会随无序幅r和态参量q的不同而不同.

本文研究自对耦Potts模型从完全有序态出发的短时动力学演化过程，通过测量磁化及其二阶矩来获得宾德累积量，从而可独立地确定动力学指数z.

q态Potts模型的磁化及其二阶矩分别定义为

宾德累积量U=M(2)/M2-1.

当演化时间t和格点尺寸L足够大，而约化温度τ=(K1-K1c)/K1c足够小时，Janssen等人用 ε 展开得到［18］:

M(k)为磁化的k阶矩，β和ν是由平衡态定义的临界指数，z为动力学临界指数，b为任意标度因子，m0是初始磁化强度，对完全有序初态m0=1.忽略有限尺寸效应，当系统处在临界点(τ=0)上时，M(t)∝ tβ/νz.宾德累积量 U 的标度形式与磁化M的类似，但还与格点尺寸L有关［19］，可表示为U(t，L)∝td/z，这里d表示空间维度，这样就可以根据宾德累积量来测出动力学指数z.

2 模拟结果

系统从完全有序初态出发，采用周期性边界条件，用Metropolis抽样方法构造蒙特卡罗迭代过程.模拟的格点尺度达280，演化时间最多达到15万个蒙特卡罗步，取200个随机数的样本作平均，无序幅r分别取3、4和10.

图1 从有序态出发，L=280，q=8的 Potts模型U(t)关于蒙特卡罗迭代时间t在双对数坐标下的演化，实线为数据线，虚线为幂次拟合线.图a给出r=3和4，图b给出r=10的无序掺杂系统.

图1中实线表示U(t)的数据线，虚线表示幂次拟合线.由图1可见，拟合效果很好.用最小方差拟合法拟合出曲线的斜率k=d/z，结果分别为0.671(9)、0.591(7)和 0.428(7)，括号内的数值代表涨落，算出 z分别为 2.98(5)、3.38(4)和4.67(5)，可见z值会随无序幅的变化而不同.文献［8］计算出3态和8态Potts系统在最大无序幅r=8时的z均为2.60(3)，这与我们的计算结果差异较大.经过分析，发现文献［8］中模拟所取时间仅为500mCS.由图1可明显看出，幂次拟合与数据线直到1000mCS左右才能较好符合，如果只测到几百个MCS，将会带来较大误差.如果我们只取图1数据中的前几百个MCS，则将得到与文献［8］吻合的结果.

一个值得注意的结果是，动力学指数z会随无序幅r的变化而不同，r越大对应的z值也越大，说明越无序掺杂的系统，动力学过程越缓慢.同时二维RBP系统的z明显大于二维Ising模型的 z(z=2.16)［20］，表明二维 RBP 模型与二维Ising模型不属于同一普适类.

3 结论

本文采用短时动力学蒙特卡罗数值模拟方法，对二维八态波茨大格点模型展开大规模数值模拟研究.采用Metropolis算法和周期性边界条件，系统从完全有序初始状态出发，通过测量宾德累积量U(t)，在标度分析基础上，由U(t，L)∝得到了较为可靠的动力学临界指数z.结果表明:z与无序幅r的取值有关，r越大对应的z值也越大，说明动力学过程越缓慢.与r=3、4和10 对应的 z值分别为 2.98(5)、3.38(4)和 4.67(5).由于二维RBP系统的z明显大于二维Ising模型的z，这就通过数值方法证实二维RBP模型与二维Ising模型属于不同普适类.

［1］肖纳敏，李殿中，李依依.Fe-C合金中形变诱导动态相变的蒙特卡罗模拟［J］.物理学报，2009(S1):169-175.

［2］王祥荣，赵杰煜.基于改进型 Potts模型的图像分割［J］.计算机工程，2009，35(1):186-188.

［3］Baxter R J，Critical antiferromagnetic square-lattice Potts model［J］.Proceedings of the Royal Society of London，Series A，Mathematical and Physical Sciences，1982，383(1784):43-54.

［4］Chen S，Ferrenberg A M，Landao D P.Randomnessinduced second-order transition in the two-dimensional eight-state Potts model:a Monte Carlo study［J］.Phys.Rev.Lett.，1992，69(8):1213 –1215.

［5］Wiseman S，Domany E.Critical behavior of the random-bond Ashkin-Teller model:a Monte Carlo study［J］.Phys.Rev.E，1995，51(4):3074-3086.

［6］Yasar F，Gündüc Y，Celik T.Softening of the phase transition in a two-dimensional Potts model under quenched bond randomness［J］.Phys.Rev.E，1998，58(4):4210-4212.

［7］王磊，顾德炜，应和平，等.蒙特卡罗短时临界动力学中的普适性研究［J］.物理学报，2000，49(2):344-348.

［8］任浩，顾德炜，潘正权，等.自对耦无序分布随机链Potts模型的临界普适性研究［J］.物理学报，2004，53(1):265-271.

［9］Yin J Q，Zheng B，Trimper S.Dynamic Monte Carlo simulations of the three-dimensional random-bond Potts model［J］.Phys.Rev.E，2005，72(3):036122-036130.

［10］Bonati C，Elia M.Three-dimensional three-state Potts model in a negative external field ［J］.Phys.Rev.D，2010，82(11):114515-114525.

［11］Ying H P，Harada K.Short-time dynamics and magnetic critical behavior of the two-dimensional random-bond Potts model［J］.Phys.Rev.E，2000，62(1):174-178.

［12］Olson T，Young A P.Monte Carlo study of the critical behavior of random bond Potts models ［J］.Phys.Rev.B，1999，60(5):3428-3434.

［13］冯倩，黄志高，都有为.磁性多层膜磁特性的蒙特卡洛模拟［J］.物理学报，2003，52(11):2906-2911.

［14］Janke W，Weigel M.Harris-Luck criterion for random lattices ［J］.Phys.Rev.B，2004，69(14):144208-144219.

［15］Jacobsen J L，Cardy J.Critical behaviour of randombond Potts models:a transfer matrix study［J］.Nucl Phys.B.1998，515(3):701-742.

［16］Chatelain C，Berche B，Wolfhard J，et al.Monte Carlo study of phase transitions in the bond-diluted 3D 4-state Potts model［J］.Nucl.Phys.B，2005，719(3):275-311.

［17］Kinzel W，Domany E.Critical properties of random Potts models［J］.Phys.Rev.B，1981，23(7):3421-3434.

［18］Janssen H K，Schaub B，Schmittmann B.New universal short-time scaling behavior of critical relaxation processes［J］.Z Phys B:Cond Mat，1989，73:539-549.

［19］雷晓蔚，赵晓雨.二维完全阻挫XY模型的动力学指数［J］.物理学报，2009，58(8):5661-5666.

［20］Lei X W，Zheng J，Zhao X Y.Monte Carlo simulations for two-dimensional Ising system far from equilibrium［J］.Sci.Chin.Bull.，2007，52(3):307-312.