NA样本情形下双参数指数分布族参数EB估计的渐近性讨论

2011-05-18刘荣玄范发明吴高翔

统计与决策 2011年13期

刘荣玄，范发明，吴高翔

（井冈山大学数理学院，江西吉安 343009）

0 引言

近几十年来,已有许多文献研究经验Bayes统计推断,这些研究文献中绝大多数都是在独立同分布的样本下进行的。然而在渗透性理论和可靠性理论等实际问题中,所获得的样本常常不是独立的,而是具有某种相关性,负相协（NA）和正相协（PA）样本就是两种常见的样本.关于估计问题,在许多情况下正误差（过高估计）和负误差（过低估计）所造成的损失相差很大,因此许多研究经验Bayes统计推断的文献采用了非对称损失函数,LINEX损失就是其中常用的一种。双参数指数分布应用很广,一些产品的寿命分布都可以用它来刻画,如汽车、飞机和水坝等寿命都服从这种分布。有关这些方面的研究有许多学者在不同的刊物上发表了文章，文献[1]讨论了在NA样本情形下刻度指数族参数的经验Bayes检验问题,文献[2]讨论了在NA样本情形下单边截断型分布族位置参数的经验Bayes估计,文献[3]讨论了在LINEX损失函数下单边截断型分布族参数的EB估计,文献[4]讨论了刻度指数族参数的经验Bayes估计的收敛速度，文献[5]讨论了线性指数分布参数的经验贝叶斯估计,文献[6]讨论了对称熵损失下指数分布参数的估计,文献[7]讨论了定数截尾数据缺失场合下双参数指数分布参数的贝叶斯估计。本文将在NA样本情形下,假设LINEX损失函数,研究双参数指数分布位置参数的EB估计,并证明所得到的估计是渐近最优的。

假设双参数指数分布为

其中α为位置参数，或称门限参数、保证时间参数，当α表示寿命、时间时,α自然是非负的；β＞0为尺度参数。

为便于研究位置参数α的估计,不妨假设β为常数,于是对给定的α时,随机变量(r.v.)X的条件密度函数为

这里的,Ω 为参数空间 α∈Ω=（0，+∞）。

设 α 的先验分布为 H(α),属于先验分布族 F={H(α):E(eαβ-1)＜∞,β＞0},则 r.v.X 的边缘分布为

取损失函数为如下的LINEX函数,即

其中θ(x)为参数α的判决函数,c≠0,c为实数，是损失函数的尺度参数，可根据双参数指数分布的参数β的值确定c的取值，满足βc＞1。于是参数α的Bayes估计为

这里 E(x,α)表示对(X,α)的联合分布取期望。

从上式可知,如果参数α的先验分布是已知的,θ^BE(x)的Bayes 风险 R(θ^BE(x),H(α))可以计算出来,然而,通常 α 的先验分布 H(α)是不知道，按(5)式得不到θ^BE(x)的 Bayes估计。也无法得到它的Bayes风险,但考虑到人们过去所做的工作一般都有记载,因此,下文将借用历史数据，采用概率密度核估计的办法,构造一个形如(5)式的参数α的EB估计θ^BE(x)，以此估计量来近似代替Bayes估计θ^BE(x)，并且可以证明这种代替在LINEX损失下其风险可任意接近 R(θ^BE(x),H(α))。收敛速度为

1 EB估计的构造

假设（X1,α1),（X2,α2),…（Xn,αn)，（X,α)为一串具有相同分布的随机向量,X1,X2,…Xn，X,为同分布弱平稳NA随机变量序列,它们是可观测,有共同的边缘概率密度 m(x)；X1,X2,…Xn为历史样本,X为当前样本,α1,α2,…αn和α为不可观测的,但有相同的先验分布 H(α)。设 m(x)∈CS,M,x∈R1，其中 s≥2,为正整数,CS,M表示R1中的一族概率密度函数,其s阶导数存在,连续其绝对值不超过M。对NA样本序列的协方差结构假设为