利用极大子群的正规指数判定有限群的可解性

王军霞

（中国地质大学（武汉）数理学院，湖北 武汉430074）

利用极大子群的正规指数判定有限群的可解性

王军霞

（中国地质大学（武汉）数理学院，湖北 武汉430074）

从几类特殊的极大子群出发，利用极大子群的正规指数来刻划有限群G的可解性.

有限群；极大子群；正规指数；可解性

1 引言与定义

极大子群在讨论有限群的结构中有着非常重要的作用，通过赋予有限群的极大子群一些条件，考察这些条件对群结构的影响，在单群分类定理完成之后其研究地位更显突出.Deskins 1959年在文献［1］中提出有限群的极大子群的正规指数的概念.J.C.Beidman和A.E.Spencer在文献［2］中对正规指数的性质作了进一步的研究，给出：若N◁G，M＜·G且N≤M，则η（G／N∶M／N）＝η（G∶M）.这一结果为利用归纳法证明限群的性质提供了理论依据.N P Mukherjee，Prabir Bhattaharya在文献［3］及文献［4］两文中利用正规指数对有限群的可解，p－可解，幂零，p－幂零及超可解等性质作了广泛的研究.

本文中从几类特殊的极大子群出发，利用极大子群的正规指数来刻划有限群G的可解性，得到几个定理.

定义1.1［1］给定群G及其极大子群M（记为M＜·G）.令H／K是G的一个主因子，满足G＝MH并且H有尽可能小的阶，H／K的阶叫做M在G中的正规指数，记作η（G∶M）.

定义1.2［5］设G是有限群，若G≠1，令φ（G）为G的所有极大子群的交；而若G＝1，令φ（G）＝1，称φ（G）为G的Frattini子群或G的φ子群.

令G是一个有限群，为方便起见，我们引入下列极大子群的集合：F1（G）＝｛M｜M＜·G且M包含G的某个西洛子群的正规化子｝；F2（G）＝｛M｜M∈F1（G）且｜G∶M｜p＝1，p为｜G｜的某个固定素因子｝，其中｜G∶M｜p表示｜G∶M｜的p－部分；F3（G）＝｛M｜M为G的c－极大子群且M非幂零｝，其中M为G的c－极大子群表示｜G∶M｜为合数；F4（G）＝｛M｜M为G的c－极大子群且｜G∶M｜p＝1，p为｜G｜中最大素因子｝；F5（G）＝｛M＜·G｜｜G∶M｜≠pi，∀素数p，i＝1，2｝.

定义G的5个特征子群如下：φ1（G）＝∩｛M｜M∈F1（G）｝，φ2（G）＝∩｛M｜M∈F2（G）｝，φ3（G）＝∩｛M｜M∈F3（G）｝，φ4（G）＝∩｛M｜M∈F4（G）｝，φ5（G）＝∩｛M＜·G｜M∈F5（G）｝.

若F1（G）为空集，则定义φ1（G）＝G，对其他4个集合也可以同样定义.显然这几个集合都包含φ（G）.文献［6］指出φ1（G）幂零，φ2（G），φ5（G）可解，φ3（G）可解（见文献［7］，φ4（G）亦可解（见文献［8］）.

引理1.1［9］设N◁G，P∈Sylp（N），则存在Gp∈Sylp（G），使得NG（Gp）⊆NG（P）.

引理1.2［5］设N◁G，p为G的素因子，P为｜G｜的一个p－子群，则NG（P）N／N≤NG／N（PN／N），且当（｜N｜，p）＝1时等号成立.

引理1.3［1］群G可解当且仅当对于G的每一个极大子群M都有η（G∶M）＝｜G∶M｜.

引理1.4［10］设G是含有幂零极大子群M的非可解群，U为M的2－补，则U◁G，Z（U）◁Z（G），G／Z（U）≅G／U×U／Z（U），且G／U非可解，其中Sylow2－群均为极大子群.若Z（G）＝1，则M为G的Sylow2－群.

引理1.5［11］如果G存在核为1的极大子群，则下面3者等价：（1）G中存在一个非平凡的可解正规子群；（2）G中存在唯一极小正规子群，每一个含于F1（G）中且在G中核为1的G的极大子群，在G中的指数有一个共同的素因子；（3）G中所有核为1的极大子群在G中的指数为素数方幂.

2 主要定理及其证明

定理2.1G可解当且仅当任意M∈F2（G）都有η（G∶M）＝｜G∶M｜成立.

定理2.1的证明 必要性由引理3知显然.下面证明定理的充分性.

若F2（G）＝Ø，则令G＝φ2（G）可解，故可设F2（G）≠Ø.若G为非交换单群，根据题设条件对任意M∈F2（G），有η（G∶M）＝｜G｜＝｜G∶M｜成立.故M＝1，G为素数阶循环群，故G可解.

以下令G为非单群，令N为G的极小正规子群，考虑G／N：对任意M／N∈F2（G／N），由NG（Q）N／N≤NG／N（QN／N）≤M／N，其中Q∈Sylq（G），得NG（Q）N／N≤M／N，即NG（Q）≤M，且｜G／N∶M／N｜p＝｜G∶M｜p＝1，从而M∈F2（G），由题设η（G∶M）＝｜G∶M｜，故η（G∶M）＝η（G／N∶M／N）＝｜G／N∶M／N｜＝｜G∶M｜，再由归纳假设可得G／N可解.如果N1，N2是G中互异的两个极小正规子群，由G／N1，G／N2可解得G＝G／N1∩N2可解.所以不妨设N为G的唯一极小正规子群.

若N≤φ1（G），由φ1（G）幂零知N可解，从而G可解.以下假设N不包含在φ1（G）中，那么存在M∈F1（G）使得G＝MN.如果｜G∶M｜p≠1，由｜N｜＝｜G∶M｜·｜M∩N｜得｜N｜p≠1.设P1∈Sylp（N），由Frattini论断，得G＝NNG（P1）.若NG（P1）＝G，则P1正规于G.又N为唯一极小正规子群，根据P1≤N且N≤P1得P1＝N，由P1的可解性知N可解，从而G可解.故可设P1不正规于G，设存在M1使得NG（P1）≤M1＜·G，由引理1存在Gp∈Sylp（G）使得NG（Gp）≤NG（P1）≤M1，所以｜G∶M1｜p＝1，从而M1∈F2（G）.注意到G＝M1N，N为G的唯一极小正规子群，有η（G∶M1）＝｜N｜，所以η（G∶M1）p＝｜G∶M1｜p＝｜N｜p＝1与｜N｜p≠1相矛盾，所以｜G∶M｜p＝1，故M∈F2（G），由题设η（G∶M）＝｜G∶M｜＝｜N｜，而由G＝MN知M∩N＝1，而N为G中唯一极小正规子群，所以CoreM＝1，根据引理4，G中存在非平凡的可解正规子群，而N是G中唯一极小正规子群，故N可解，从而G可解.

定理2.2G可解当且仅当对任意M∈F3（G）都有η（G∶M）＝｜G∶M｜.

定理2.2的证明 必要性由引理3知显然.下面只需证明充分性.

若F3（G）＝Ø，则令φ3（G）＝G，根据郭秀云教授的结论：G的每一个c－极大子群幂零，则G可解.所以可令F3（G）为非空集.若G为非交换单群，对于任意的M∈F3（G），由题设可知η（G∶M）＝｜G∶M｜＝｜G｜，故G为素数阶循环群，因而G可解.

因此以下可设G不是非交换单群.设G为极小阶反例，N为G的极小正规子群.对任意的M／N∈F3（G／N），由M／N非幂零知M非幂零.又由｜G／N∶M／N｜＝｜G∶M｜知M∈F3（G），由题设η（G∶M）＝｜G∶M｜，根据η（G／N∶M／N）＝η（G∶M），得出η（G／N∶M／N）＝｜G／N∶M／N｜，由极小阶反例知G／N可解.若N1，N2为G的两个互不相同的极小正规子群，则由上面的证明知G／N1，G／N2均可解，从而G／N1∩N2可解.由N1∩N2＝1可知G可解.

所以进一步假设N为G中的唯一极小正规子群.若N≤φ3（G），由φ3（G）可解知N可解，从而G可解，这与G为极小阶反例矛盾.所以N不包含于φ3（G），从而存在G的非幂零合数极大子群M，使得N不是M的子群，从而有G＝MN且CoreM＝1，故η（G∶M）＝｜N｜＝｜G∶M｜为合数.对任意L＜·G且CoreL＝1，则G＝LN，从而有η（G∶L）＝｜N｜，而｜G｜＝｜LN｜＝｜L｜｜N｜／｜L∩N｜，所以｜G∶L｜＝｜N｜／｜L∩N｜.如果｜G∶L｜＝t为素数，则t＜p（p为｜G｜中最大素因子）.通过考虑G关于L的t个陪集的置换表示，并使用CoreL＝1这个事实，我们得出G的阶整除t！，这与p｜｜G｜和t＜p矛盾，因此｜G∶L｜是合数.

如果L为幂零极大子群，由Deskins－Jankn－Thompson定理，可设L为偶数阶幂零极大子群.令U为L的2′－Hall子群，若U＝1，则L为G的2－子群.如果L不是G的西洛2－群，由西洛定理，存在P∈Syl2（G）使得L＜P≤G，这与L＜·G矛盾，故L是G的西洛2－子群.又因为L≤NG（L），L＜·G，CoreL＝1，所以L＝NG（L），这时｜G∶L｜＝｜G∶NG（L）｜≡1（mod2），故L中含有G中的一切2－元.令K＝〈k2＝1｜k∈G〉，故K特征于G.因为K≤L，而N是G中唯一极小正规子群，所以N≤L，这与CoreL＝1矛盾.若U≠1，根据引理4知U◁G，这时U≤L，又与CoreL＝1矛盾.因为L为G的非幂零极大子群，且｜G∶L｜为合数，即L∈F3（G）.根据题设条件，η（G∶L）＝｜G∶L｜＝｜N｜，根据引理5知G中存在非平凡的可解正规子群，又N为G的唯一极小正规子群，可知N可解，从而G可解.这与G为极小阶反例相矛盾，故极小阶反例不存在，所以G可解.

定理2.3G可解当且仅当对任意M∈F4（G）都有η（G∶M）＝｜G∶M｜.

定理2.3的证明 必要性由引理3知显然.下面只需证明充分性.

若F4（G）＝Ø，则G＝φ4（G）.由φ4（G）的可解性知G可解，以下考虑F4（G）≠Ø的情形.若G为非交换单群，则任意M∈F4（G）都有η（G∶M）＝｜G∶M｜，所以｜M｜＝1，矛盾，故G为非单群.

令N为G的一个极小正规子群，对｜G｜用归纳法.任意M∈F4（G）且N≤M，则由｜G∶M｜＝｜G／N∶M／N｜知M／N∈F4（G／N），又因为η（G／N∶M／N）＝η（G∶M），所以η（G／N∶M／N）＝｜G／N∶M／N｜，由归纳假设G／N可解.再设N1，N2为G的两个互不相同的极小正规子群，则由上面的证明知G／N1，G／N2均可解，从而G／N1∩N2也可解，由N1∩N2＝1可知G可解.

所以下面不失一般性，假设N为G的唯一极小正规子群.若N≤φ4（G），则由φ4（G）的可解性知N可解，从而G可解.若N不是φ4（G）的子群则存在M∈F4（G）使得N也不是M的子群，从而G＝MN并且有CoreM＝1，而且根据正规指数的定义知η（G∶M）＝｜N｜，所以由题设η（G∶M）＝｜G∶M｜＝｜N｜，即｜N｜p＝1.设L是G的任一满足CoreL＝1的极大子群，则G＝LN且η（G∶L）＝｜N｜.如果｜G∶L｜＝t为素数，则t＜p，通过考虑G关于L的t个陪集的置换表示，并使用CoreL＝1这个事实，我们得出G的阶整除t！，这与p整除｜G｜和t＜p矛盾，因此｜G∶L｜是合数.而又因为｜G∶L｜｜｜η（G∶L｜即｜G∶L｜｜｜N｜而｜N｜p＝1，所以｜G∶L｜p＝1，从而L∈F4（G），由题设｜G∶L｜＝η（G∶L），所以｜G∶L｜＝｜N｜，故G的任一满足核为1的极大子群在G中的指数有共同的素因子，所以G存在一个可解正规子群K，由N的唯一极小性知N≤K，从而N可解，由N和G／N的可解性知G为可解群.

定理2.4G可解当且仅当对于G的每个极大子群M∈F5（G），η（G∶M）等于素数的方幂.

定理2.4的证明 必要性显然.因为G可解，则G的极大子群的指数都为素数方幂.同样因为G可解，对于G的任意极大子群都有η（G∶M）＝｜G∶M｜，所以结论显然成立.

下面只需证明充分性.对｜G｜用归纳法：若F5（G）＝Ø，即对于群G的每个极大子群的指数等于素数或素数的平方，应用P Hall定理知G可解.故设F5（G）≠Ø.若G为单群时，则对于G的任意极大子群M∈F5（G），η（G∶M）＝｜G｜，则｜G｜为素数方幂，于是G可解.故G为非单群，令N为G的极小正规子群，下证G／N可解.

若F5（G／N）＝Ø，G／N已可解.故假设任意M／N∈F5（G／N），则M∈F5（G）.由题设知η（G∶M）＝η（G／N∶M／N）等于素数的方幂，即G／N满足定理的条件.由归纳法知G／N可解.假设N1，N2为G的两个互异极小正规子群，由上面的证明知G／N1，G／N2均可解，从而G／N1∩N2也可解，由N1∩N2＝1知G可解.所以可以假设N是G的唯一极小正规子群.下证N的可解性.

若N≤φ5（G），则N可解，从而G可解.否则即N不是φ5（G）的子群，即∃L∈F5（G）使得N不是L的子群，则G＝NL，且CorelL＝1.于显然有η（G∶L）＝｜N｜等于素数的方幂，所以N可解，从而G可解.

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Using normal index of maximal subgroups to verdict the solvability of finite groups

WANG Junxia
（Department of Mathematics and Physice，China University of Geoscienses，Wuhan 430074，China）

The solvability of finite group was characterized by using normal index of several kinds of maximal subgroups which ware defined by the author of this paper.

finite group；maximal subgroup；normal index；the solvability

O153.1

A

1000－2375（2011）02－0221－03

2010－05－10

王军霞（1977－），女，博士生，讲师

（责任编辑 肖铿）