规则纵浪中船舶参数激励横摇运动研究

李浩 陆建辉

（中国海洋大学工程学院 山东 青岛 266100）

规则纵浪中船舶参数激励横摇运动研究

李浩 陆建辉

（中国海洋大学工程学院 山东 青岛 266100）

稳性；规则纵浪；参数激励；非线性横摇；初稳性高波动

考虑船舶横摇运动中恢复力矩及阻尼力矩的非线性，建立船舶在规则波浪中参数激励下的非线性横摇运动方程，并对规则纵浪中船舶参数激励横摇运动进行研究，探讨船舶发生参数激励横摇运动的条件及大幅横摇的动力学特征，分析船速、波高及波长等因素对参数激励横摇运动的影响。

0 引言

船舶稳性研究是一个非常重要且复杂的课题。船舶在波浪上航行时，由于受到海浪的扰动作用而易产生大幅度摇荡运动，完整地表述船舶在波浪上的运动模态需要定义6个自由度的运动方程，然而对于船舶倾覆来说，横摇是最危险的模态，船舶倾覆大多都是由于横摇角度过大引起的，船舶稳性的衡准一般也考虑横风、横浪作用时的横摇状态。大幅横摇导致倾覆是风浪中航行船舶的最重要风险之一,也是最为复杂的力学问题。

船舶在航行中遭遇到风急浪高的恶劣天气时，为了避免横向大面积承受风浪载荷，普遍都会选择调整航向，保持在纵浪或斜浪航行状态。船舶在纵浪中航行时会发生垂荡和纵荡运动，一般不会发生横摇运动。但是，目前大量的实验资料和海难事故统计发现，在一定的遭遇频率下，在纵浪和斜浪中航行的船舶也会发生大幅横摇运动［1,2］，在极端情况下会破坏船体和货物，存在倾覆危险。这种横摇的诱发不是直接由时变的外力或外力矩引起的，而是由自身系统中系数的周期性变化引起的［3］。起伏的波浪表面加上纵摇、垂荡运动，会导致船只水下几何形状的变化，使得水线面和横向复原力矩发生变化，进而导致横稳性高的变化，产生大幅度的横摇运动。目前，学术界和工程界把这种现象称为参数横摇。纵浪中船舶发生参数激励横摇是导致船舶倾覆的重要模式,本文将经过分析推导及实例计算阐明发生参数激励大幅横摇的条件。

1 随机纵浪中船舶参数激励横摇运动方程

考虑阻尼力矩和恢复力矩的非线性，以及升沉、纵摇和波浪共同作用产生的参数激励项建立横摇运动方程如下：

式中Iφφ——船体自身转动惯量；

Jφφ——附加质量转动惯量；

φ——横摇角；

K（φ，t）——横摇恢复力矩。

横摇惯性矩是船体本身的惯性矩Iφφ与附加惯性矩Jφφ两部分构成，其中船体自身惯性矩取决于船体的质量分布，附加惯性矩取决于船体水下部分的形状及重心位置等因素。由船体的质量分布计算Iφφ或相应的流体力学的计算方法计算Jφφ都是相当复杂的，工程上通常经验公式进行估算。本文采用杜埃尔公式进行计算。

式中Δ——船舶排水量（t）；

B——船宽（m）；

zg——从基线算起的船舶重心高度（m）；

g——重力加速度。

从来源上式没有考虑附加惯性矩，如果考虑附加惯性矩应该把系数改为10或11［4］。但是若干实测数据比较，由上式计算的结果接近于总惯性矩，因此可以把上式当成总惯性矩计算式。

横摇阻尼力矩取线性阻尼加立方阻尼的形式，即：

式中B1、B3——阻尼力矩系数。

在纵浪中航行的船舶交替处于波峰和波谷上，恢复力矩最大的特点是随时间变化。在斜浪中航行的船舶，升沉、纵摇运动明显，升沉和纵摇改变了水下船体的形状和船体周围流场的压力分布，也引起船舶横摇恢复力臂的变化。因此恢复力矩应是横摇、升沉、纵摇、波浪升高及时间的函数：

其中：Δ是船体的排水量，η为波面升高。

进一步分析可知，在纵浪中航行升沉、纵摇、波浪主要是使船体的初稳性高随时间波动。根据Francesctto.A的研究［5］,恢复力臂可用以下形式表示：

根据加拿大A.Bruce Dunwoody博士的理论推导［6］，运用“Froude-Krylov”假定和“Gauss”散度定理［7,8］，稳性高度的变化量可表示为：

式中：a和b是船体的形状系数，a反映船宽随吃水方向的变化对初稳性高波动的影响，反映船宽沿船长方向的分布对初稳性高波动的影响。ρ为海水的密度，g为重力加速度，B为横剖面宽，B′为水线处船宽沿吃水的变化率，Zc和A0分别为静水面下船体各横剖面的质心垂向坐标和面积，Zf为静水面到坐标原点的垂向距离，Aw是水线面面积，xf是船体漂心的纵坐标，是船体的纵稳性高。

将式（3）、（4）、（5）代入式（1）中可得到随机波中参数激励船舶非线性横摇运动方程：

将上式两边同除以（Iφφ+Jφφ），经变换处理得：

在规则纵浪中，可以认为参数激励按余弦规律变化，则规则纵浪中船舶参数激励非线性横摇运动方程为：

式中：h0为无因次参数激励幅值；

2 参数激励横摇运动响应算例

2.1 建立运动坐标系

假设船舶航向和航速保持不变，建立两个坐标系：Oξζη为空间不动的绝对坐标系，Oξζ平面与静水面平行，波浪沿Oξ轴正方向传播，Oη轴垂直于静水面向上，表示波面升高；oxyz为随船移动的相对坐标系，原点oxy固定在船舶重心，ox平面与静水面平行，oy轴指向船舶航行方向，oz轴指向船舶左舷，轴垂直于静水面向上，该坐标系随船舶平移，但不随船舶转动。两个坐标系的示意图如图1所示，其中χ表示航向角。随浪时χ=0，迎浪时χ=180°。

图1 船舶运动坐标系

设船速为u，则t时刻在绝对坐标系下，规则波的波面方程为：

船体的横摇，纵摇和升沉运动都是在相对坐标系oxyz中描述，所以需要将绝对坐标系中的波面升高转换到相对坐标系Oξζη中。把波面方程转化到相对坐标系下为：

式中：ωe=ω-ku cosχ为船体遭遇频率；为波幅。

2.2 船舶基本参数

本文以某型号船为例，研究规则纵浪中船舶参数激励横摇运动特性。该船基本参数见表1。

表1 船舶基本参数

拟合静稳性曲线可得三次和五次非线性恢复力矩系数为K3=-0.794 1m，K5=0.079 9m，对应的无因次恢复力矩系数k3=-0.804 6，k5=0.081 0。根据经验公式取得线性横摇阻尼系数B1=18.75 tm2s-1，三次非线性横摇阻尼系数B3=144.6 tm2s［9］，与它们对应的横摇衰减系数为=0.069 6 s-1，=0.536 7 s。

根据船舶相关参数，通过计算，可得船型系数a，b。图2“○”和“☆”分别为计算所得a/Δ和b/Δ数值，曲线为采用九次多项式逼近得到的拟合曲线。

九次多项式逼近方程：

图2 沿船长分布

2.3 遭遇频率对规则纵浪中参数激励船舶横摇的影响

图3 不同船速下初稳性高变动项gm（t）

从图3可以看出，在波高和波长一定的情况下，不同的船舶航速得到的初稳性高波动频率不同，等于船—波遭遇频率，但初稳性高波动幅值相同。本例gm（t）max=0.578 3m，与之对应的无因次参数激励幅值h0=0.586。

图4 横摇角时间响应历程

把以上求得的初稳性高波动项代入横摇运动方程，取初始条件［φ0］=［0 0.1 rad/s］，用龙格－库塔数值法模拟横摇角时间响应历程，如图4所示。

分析图4知，当遭遇频率为ωe=2.236 rad/s，即为船舶横摇固有频率的2倍时，处在规则迎浪状态中行驶的船舶将会出现横摇运动，并且横摇幅值会在短短的几个周期后放大到大的角度，最终连续重复大幅横摇，产生参数激励共振行为。

2.4 波长对规则纵浪中参数激励船舶横摇的影响

保持波高H=3m，遭遇频率为船舶横摇固有频率的2倍（ωe=2.236 rad/s）不变，船舶处于迎浪航行，改变波长的取值，初始条件取［φ0］=［0.05 rad 0.1 rad/s］，得到波长和船舶稳定横摇幅值的关系，见图5。

图5 波长和船舶稳定横摇幅值的关系

分析图5可知，当波长接近船长时，船舶的稳定横摇幅值较大，参数激励横摇最为剧烈。

2.5 波高对规则纵浪中参数激励船舶横摇的影响

图6 波高和船舶稳定横摇幅值的关系

保持波长λ=40 m，迎浪航行，遭遇频率为船舶横摇固有频率的2倍（ωe=2.236 rad/s）不变，船舶处于迎浪航行状态，改变波高H的取值，初始条件取为［φ0］=［0.05 rad 0.1 rad/s］，得到波高和船舶稳定横摇幅值的关系见图6。

分析图6可知，船舶的稳定横摇幅值随着波高的增大而增大，波高越大参数激励横摇越激烈。当波高小于某一阈值时，不能激起参数激励横摇运动。

3 结语

本文考虑船舶横摇运动中恢复力矩及阻尼力矩的非线性，以及垂荡和纵摇与横摇之间的耦合作用，建立了船舶在规则纵浪中参数激励非线性横摇运动方程；采用龙格—库塔法数值模拟了横摇角时间响应历程；给出初稳性高波动项的计算方法，讨论分析了波长、波高及船速对参数激励横摇运动特性的影响。通过分析，可以得出以下结论：

（1）船舶发生参数横摇的现象是船体在来波激励下的谐振现象。当船速使船—波遭遇频率为船舶横摇固有频率的2倍时，船舶发生参数横摇危险的可能性最高。事实上，理论分析和实验显示，当船—波遭遇频率与船舶横摇固有频率比为2、1、……时，都有可能发生参激共振，只是为2时最严重［10］。参数横摇从初始扰动到最终的发生要经历一定时间的激励过程。并且，波浪参数和航速等诸多因素的不同也使得参数横摇的发生过程存在一定差异。参激共振时船舶的恢复力矩发生周期性的变化，船舶连续重复大幅横摇，如果船舶的稳性不足，或不及时采取措施，就有倾覆的可能；

（2）当波长和船长近似相等时，船舶的稳定横摇幅值最大，参数激励横摇最剧烈；当波长远小于或远大于船长时，船舶横摇幅值很小，或不能发生参数激励横摇运动；

（3）只有当波高大于某一阈值时，才能激起参数激励横摇运动，且船舶的稳定横摇幅值随着波高的增大而增大。

［1］A.H.Nayfeh.On the undesirable roll characteristics of ship in regular seas［J］.Journal of Ship Research，1988，32（2）：95～100.

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［3］唐友刚,邝艳香,李红霞.初稳性高时变特性对横摇运动的影响［J］.中国造船,2008,49（3）:22～29.

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［7］邝艳香.纵浪中船舶参数激励非线性随机横摇研究［D］.天津：天津大学，2008.

［8］李红霞.纵浪和斜浪中船舶非线性运动特性研究［D］.天津：天津大学，2007.

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［10］Robert G.Dean and Robert A.Dalrymple.Water wave mechanics for engineers and scientists［M］.USA：World Scientific Publishing，1991:41～73.

Ship parametric excitation rolling motion in a regular longitudinal wave

Li Hao Lu Jianhui

stability；regular longitudinal wave；parametric excitation；non-linear rolling；initial stability high-wave motion

As regards the nonlinearity of the recovery moment and the damp moment in the ship rolling motion，a nonlinear rolling equation of the ship parametric excitation in a regular wave has been set up and the parametric excitation rolling motion in a regular longitudinal wave has been studied.The occurrence condition of the parametric excitation rolling motion and the dynamic features of the large magnitude rolling motion has been discussed and the influence of speed，wave height and length etc.on the parametric excitation rolling motion has been analyzed.

U661.2+2

A

1001-9855（2011）01-0016-05

2010-08-18

李浩（1985-），男，汉族，硕士研究生，研究方向为结构控制及故障辨识技术。

陆建辉（1960-），男，汉族，教授，硕士生导师，研究方向为海洋结构设计、动力分析。