基于平方根无迹卡尔曼滤波的数字预失真算法✴

宋勇，胡波，李在清

（1.上海贝尔股份有限公司，上海201206；2.复旦大学电子工程系，上海200433）

基于平方根无迹卡尔曼滤波的数字预失真算法✴

宋勇1，2，胡波2，李在清1

（1.上海贝尔股份有限公司，上海201206；2.复旦大学电子工程系，上海200433）

射频功率放大器工作在近饱和点时产生的非线性效应是制约其性能提升的主要因素。提出了一种基于非线性无迹卡尔曼滤波的数字预失真算法，可有效克服此非线性效应的影响。针对预失真算法的状态方程为线性的特点，优化了无迹卡尔曼滤波算法以提高运算效率。仿真结果表明，所提算法性能优于传统的基于最小均方的数字预失真算法。

功率放大器；数字预失真；记忆效应；无迹卡尔曼滤波

1 引言

在无线通信中，非线性系统的线性化已经成为微波及射频领域面临的一个很有挑战性的问题。随着非恒包络调制方案的应用，对高功率放大器线性度的要求越来越迫切。这是因为非线性会导致幅度及相位的失真、信号间的干扰及邻信道的干扰等，从而降低频谱效率。

预失真技术是一种主流的线性化技术，其以稳定、高效、宽带宽与自适应等优势成为目前研究的热点［1-3］。它一般通过对功率放大器的逆特性进行离线估计以达到线性化效果。如果要进行准确的预失真，那么需要实时调整预失真器的特性来跟踪功率放大器特性的变化，如设备老化、温度变化和电压变化等。卡尔曼滤波算法是在非平稳系统和实时估计中应用最广泛的自适应滤波技术之一。该算法最初应用于线性系统，后来演化出了几种处理实际系统中非线性滤波问题的次优近似算法，如扩展卡尔曼滤波［4］等。无迹卡尔曼滤波（Unscented Kalman Fil-ter，UKF）就是近年来兴起的一种在处理这种非线性变换方面具有良好性能的算法［5，6］，在卫星定位、组合导航、目标跟踪等领域得到了广泛的应用［7］。但据作者所知，将其应用于抑制功率放大器的非线性方面的研究还非常少见。

为了抑制这种非线性失真，本文提出了一种基于平方根UKF（Square Root UKF，SR-UKF）的数字预失真（Digital Predistortion，DPD）算法。该算法以误差协方差阵的平方根矩阵为中间量进行迭代计算，使之具有很好的数值运算特性；并保证了误差协方差阵的半正定性，避免了计算发散的可能。此外，利用其状态方程的线性特点改进了算法，在不降低性能的前提下提高了运算效率。

2 系统模型

2.1 基于直接学习的预失真器

图1为本文的基于直接学习法的预失真算法的结构图。输入信号xk首先通过预失真器得到信号uk，uk再经过功率放大器后，就得到输出信号我们希望非线性设备的输尽量接近理想信号yk，yk是输入信号xk的一个延迟并放大的版本（记为，此处为了表达简便，假定功率放大器的放大倍数为1。在功率放大器的输出端计算输出误差ek后，反馈给预失真器，通过预失真算法，更新一次预失真器的系数，其中反馈误差

图1中的功率放大器同时考虑了非线性和记忆效应的影响，相应的预失真器模型也考虑了包含交叉项在内的非线性项以及记忆效应。

图中wk是一个长为L的向量，代表非线性预失真器的系数；G是一个长为L′的向量，代表功率放大器非线性部分的系数。预失真算法的最终目标就是经过迭代获得预失真系数w=［w1，w2，…，wL］的最优值以最小化误差ek。

2.2 预失真器模型

Volterra级数在带记忆非线性系统的模拟与分析中得到了广泛应用［8］。一般形式的Volterra预失真器其输入输出信号间的关系可以描述为

式中，hn（i1，i2，…，in）是Volterra核，此处代表预失真系数；xk-i1xk-i2…xk-in代表考虑了记忆效应交叉项的输入非线性项；M代表记忆深度。

本文采用了Volterra级数的简化模型，主要从以下3个方面对一般形式的Volterra预失真器进行了简化，在几乎不降低性能的前提下，大大减少了预失真项的数目。

（1）去掉直流项和偶次项，只保留奇次项；

（2）利用Volterra核的对称性，合并预失真器模型中的冗余项；

（3）运用简化算法，去掉Volterra模型中那些模很小的核，即将下式中的第l项记为hl（i1，i2，…，il），其中l=1，3，…，2d+1。设定阈值λ∈｛1，2，…，M｝。当l=1时，hl（il）=hl（il）；当l≥3时，∀s，t∈｛1，2，…，l｝，如果max则令否则hl（i1，i2，…，il）=hl（i1，i2，…，il）。

3 基于UKF的预失真器

3.1 数字预失真系统的状态方程和观测方程

为了改善卡尔曼滤波处理非线性问题的效果，Julier等人提出了基于无迹（Unscented）变换的UKF方法［5］。该方法在处理状态方程和观测方程时，首先进行无迹变换，然后使用无迹变换后的变量进行卡尔曼滤波估计，以减小估计的误差。UKF采用了卡尔曼线性滤波框架，采样形式为确定性采样，其采样的粒子点（Sigma点）个数很少，具体个数由所选择的采样策略决定，最常用的是2L+1个Sigma点的对称采样。

UKF相对于其它滤波算法如EKF、PF等在性能和运算量上具有整体优势。它实质是利用了加权统计回归技术来解决此类非线性问题，即先利用其先验分布生成一组确定性的采样点来获得系统的相关统计量，再用线性回归变换后的Sigma点表示状态的后验分布。UKF算法线性化误差小，不需要模型的具体解析表达形式，因而更加易于实现。

在UKF-DPD算法中，待求解的未知参量是预失真器的系数，因此它作为系统的状态变量w=［w1，w2，…，wL］。在相邻两个时刻，w的数值基本不变，只有较小的扰动，因此系统状态方程为

式中，qk为1×L的向量，代表系统的状态噪声，它与系统的收敛性能密切相关。

系统的观测方程为

式中，xk代表数字预失真器的输入信号，yk代表功率放大器的输出信号，rk代表系统的观测噪声代表了预失真系统和功率放大器系统的非线性及记忆效应。

3.2 改进的SR-UKF滤波算法

SR-UKF是UKF算法的一种改进［9］。对于普通的UKF算法，迭代过程中输出信号yk的方差Py通常为非负定阵，但由于迭代中计算误差等因素的影响，会导致Py负定或不对称，使滤波器发散，影响了滤波算法的稳定性。SR-UKF算法利用Cholesky分解得到Py的平方根矩阵Sy，用Sy来代替Py进行递推计算可以保证Py的非负定性和数值的稳定性，实现有效滤波。

标准SR-UKF考虑的是状态方程与观测方程均为非线性的情况，在状态方程更新阶段状态变量和误差协方差阵的预测都基于无迹变换来实现，即由k-1时刻的状态估计值和估计误差协方差阵来产生Sigma点，所得采样点经状态方程的传播后生成更新采样点，然后根据更新采样点和相应的权值来计算状态变量的预测值和预测误差协方差阵。从式（3）可以看出，数字预失真系统的状态方程为线性方程，而只有观测方程为非线性方程。针对这一特点，可以考虑在状态方程的更新阶段采用标准SRKF算法来实现，然后利用所求得的预测值和预测误差协方差阵来构造采样Sigma点，代入观测方程，而后续的观测方程更新与SR-UKF滤波算法一致。

改进的SR-UKF算法大大提升了运算效率，同时又保持了平方根滤波算法高可靠性和高精度的特点，从而可以获得可靠的预失真系数。

本文中基于UKF的DPD算法的详细步骤如下所述，其中矩阵SQ，k∈R RL×L、SR，k∈R R1×1代表时刻k时的状态和观测噪声平方根矩阵，其满足

（·）T和（·）H分别表示转置和Hermitian转置。

Step 1：给定初始状态值＾w0和初始平方根协方差S′0，其中S′0=chol（P′0）。

Step 2：根据式（5），在时刻k计算预测Sigma点wk，i和它们的权值Wi（权值仅在k=0时计算一次）：

其中，i=1，2，…，L；j=L+1，L+2，…，2L。

Step 3：观测方程更新

式中，ht（M）表示对矩阵M使用Householder triangularization变换。

Step 4：状态方程更新

然后令k=k+1，并重复执行Step 2～Step 4。

在公式（7）～（17）中，yk，i、＾yk、M′y，k、S′y，k、M′w，k、P′wy、Sk、＾w′k+1、S′k+1均为更新的中间变量，Kk为卡尔曼增益，＾wk代表第k次更新获得的预失真系数。

4 仿真与分析

为了验证本文提出的算法的有效性，进行了计算机仿真验证。仿真的输入采用带宽为10 MHz的WCDMA信号I／Q两路复信号，采样率为2× 92.16 MHz。取状态噪声Q=10-4×I，其中I是L ×L的方阵，观测噪声R=1×10-20。

预失真器采用2.2节的模型，其中记忆深度M =2，预失真阶数为5，取λ=2进行简化，故所构造的预失真器的Volterra核参数包括一阶核（h1（0），h1（1），h1（2））、三阶核（h3（0，0，0），h3（0，0，1），h3（0，1，1），h3（1，1，1），h3（1，1，2），h3（1，2，2），h3（2，2，2））和五阶核（h5（0，0，0，0，0），h5（0，0，0，0，1），h5（0，0，0，1，1），h5（0，0，1，1，1），h5（0，1，1，1，1），h5（1，1，1，1，1），h5（1，1，1，1，2），h5（1，1，1，2，2），

h5（1，1，2，2，2），h5（1，2，2，2，2），h5（2，2，2，2，2））共21项，即L=21。

功率放大器采用Wiener模型，其线性动态子系统的记忆长度为2。

无记忆非线性子系统的阶数为5：

基于LMS的DPD算法是传统的实时DPD算法，已经被广为研究。为了衡量基于UKF的DPD算法的性能增益，我们与文献［10］中的归一化基于LMS的DPD算法进行了性能比较。其中基于LMS的DPD算法仿真的数据长度为100 000，迭代步长=0.1，并取ε=0.5。

图2给出了基于UKF的DPD算法和基于LMS的DPD算法的预失真前后功率谱密度曲线。从图中我们可以看出，使用基于UKF的DPD算法的预失真后曲线性能明显优于使用基于LMS的DPD算法的预失真后曲线，能较好地校正放大器的非线性失真和记忆失真。

两种DPD算法的归一化均方误差（Normalized Mean Square Error，NMSE）收敛曲线如图3所示，其中

从图中可以看出，基于UKF的DPD算法的迭代性能在大约第105次之后就一直优于基于LMS的DPD算法；在迭代收敛后，基于UKF的DPD算法的平均NMSE性能要比基于LMS的DPD算法高15 dB。

5 结论

下一代无线通信系统更多采用非恒包络调制技术，要求射频功率放大器具有良好的线性度。DPD算法是目前功率放大器线性化的主流技术。本文利用UKF算法处理非线性滤波问题的优势，结合基于简化Volterra算法的预失真模型，提出了一种基于SR-UKF的DPD算法。所提算法具有很好的数值运算特性，且能取得性能和计算复杂度的良好折衷。在本文仿真条件下，与基于LMS的DPD算法相比，所提算法的功率谱密度性能高约13.5 dB，收敛后的NMSE性能高约15 dB，改善了实时DPD算法的性能，从而提高了射频系统中功率放大器的线性度。此外，所提算法的性能受状态噪声和观测噪声的影响较大，下一步研究将主要集中在对噪声变化有自适应能力的改进DPD算法。

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SONG Yongwas born in Yantai，Shandong Province，in 1980. He received the Ph.D.degree from University of Science and Technology of China in 2010.He is now a post-doctor in the Joint Post -doctoralWork／Research Station in Alcatel-Lucent ShanghaiBell Co.，Ltd.and Fudan University.His research concerns the application of nonlinear filter in the algorithm and implementation of digital predistortion.

Email：Yong.a.Song＠alcatel-sbell.com.cn

胡波（1968—），男，江苏常州人，1996年获复旦大学理学博士学位，现为复旦大学电子工程系教授、博士生导师，主要从事数字信息处理、数字通信等方面的理论与算法研究；

HU Bowas born in Changzhou，Jiangsu Province，in 1968.He received the Ph.D.degree from Fudan University in 1996.He is now a professor and also the Ph.D.supervisor.His research concerns the theory and algorithm in digital signal processing，digital communication.

李在清（1967—），男，山东临沂人，2005年于法国布雷斯特大学获博士学位，现为上海贝尔股份有限公司硬件研发部门经理、研究员，主要研究方向为移动通信射频架构与系统、计算电磁学和软件无线电。

LIZai-qingwas born in Linyi，Shandong Province，in 1967. He received the Ph.D.degree from Brest University in France in 2005.He is now a research professor，and amanager of the Hardware R＆D Department in Alcatel-Lucent Shanghai Bell Co.，Ltd. His research concerns the mobile radio frequency architecture and system，computational electromagnetics and software defined radio.

A Novel Digital Predistortion Algorithm Based on Square Root Unscented Kalman Filter

SONGYong1，2，HU Bo2，LIZai-qing1
（1.Alcatel-Lucent Shanghai Bell Co.，Ltd.，Shanghai201206，China；2.Electronic Engineering Department，Fudan University，Shanghai200433，China）

The nonlinear effect of power amplifierworking near the saturation point becomes themain factor that degrades its performance.In this paper，a Digital Predistortion（DPD）algorithm based on the nonlinear Unscented Kalman Filter（UKF）is proposed，which can effectively remove the nonlinear effect.The DPD algorithm is modified and optimized，according to the fact that the state equation is linear in the DPD algorithm，so that the computational efficiency is improved consequently.The simulation resultverifies that the performance of the proposed algorithm is better than that of the traditional DPD algorithm based on LeastMean Square（LMS）.

power amplifier；digital predistortion；memory effect；unscented Kalman filter（UKF）

The National Science＆Technology Major Project（2010ZX03002-003）

TN721.2

A

10.3969／j.issn.1001-893x.2011.11.005

宋勇（1980—），男，山东烟台人，2010年获中国科学技术大学通信与信息系统专业博士学位，现为上海贝尔股份有限公司和复旦大学联合博士后工作站（流动站）在站博士后，主要研究方向为非线性滤波在数字预失真算法与实现中的应用；

1001-893X（2011）11-0020-05

2011-07-11；

2011-09-02

国家科技重大专项资助项目（2010ZX03002-003）