基于空间信息的FCM医学图像高效分割

王黎明

(西安电子科技大学电子工程学院，陕西西安710071)

医学图像分割是医学图像分析和处理的关键技术［1－3］，它是医学图像处理中重要内容之一，是实现图像测量、配准、融合以及三维重建的基础，在临床诊断中发挥着越来越重要的作用，分割的准确性直接影响后续任务的有效性。所谓医学图像分割就是指将医学图像分解成互不相交的不同空间区域，使得每个区域的像素具有相似的特征，而不同区域内的像素间存在特征差异，以便把感兴趣的区域从复杂的背景中分离出来。

医学图像本质上是模糊的，在医学图像中存在许多不确定性的因素，如灰度、纹理和区域的边界等。虽然这些不确定性给图像分割带来了许多困难，但却给模糊聚类分析提供了用武之地。模糊聚类是非监督模式识别的主要技术之一［4－5］，应用时可以减少人为干预，非常适合于灰度图像中存在不确定性和模糊性的特点。在模糊聚类方法中，FCM(Fuzzy c－means)算法是最流行的方法，因为它对模糊特征具有很强的鲁棒性，而且相比硬分割能保留更多的信息。虽然传统的FCM算法在无噪声或噪声很低的图像分割中能得到较好的分割效果，但由于它只考虑了图像像素的灰度信息，未利用图像像素的空间信息，从而使得该算法对噪声很敏感。

近年来很多研究者在考虑像素空间信息的前提下，通过修改标准FCM聚类算法的目标函数或者隶属度函数使得图像分割的性能得到提高［6－9］。文献［6］通过引入一个中值滤波图像对标准FCM算法的目标函数进行修改，修改后的FCM算法，KFCM_S2，提高了在分割带有噪声图像时的性能，并已成功应用到MRI数据的分割中。文中算法mFCM(modified Fuzzy CMeans)在此基础上加入模糊空间信息，即引入表征邻域像素对当前像素作用的先验概率来重新确定当前像素的模糊隶属度值，使图像在噪声下的分割性能大大提高，先验概率自动取决于算法执行中的模糊隶属度，同时进一步调整距离矩阵，引入距离空间信息。该算法中用一个标准FCM算法的直方图初始化，收敛速度大大提高。试验结果表明，该算法相当有效，对噪声具有很强的抑制能力。

1 标准FCM

由Bezdek等人提出的标准FCM［10］聚类算法是从硬C－均值算法发展而来，其基本思想是通过迭代寻找最优聚类中心vi和隶属度函数uik，使得目标函数

达到最小，以实现图像的优化分割。

数据集X(x1，x2，…，xn)∈Rpn为图像灰度值的集合;p为样本xk，k=1，2，3，…，n的维数;c为预定的聚类数目;uik表示X中任意样本xk属于聚类i的隶属度函数;vi，i=1，2，…，c为每个聚类的聚类中心;2≤c≤n，m∈［1，∞)为聚类加权指数，它控制数据划分过程的模糊程度，当m=1时，模糊聚类就退化为硬C均值聚类。研究表明，m=2是比较理想的取值;d2ik(xk，vi)为第k个像素到第i类聚类中心的距离，这里取欧几里得距离。

显然，标准FCM只考虑了图像的灰度信息，而没有考虑图像的空间信息。

2 直方图初始化

标准FCM分割图像时，由于图像数据量一般比较大，因此算法收敛将花费很长时间。文中给出一种快速FCM方法，利用直方图初始化，将图像从像素空间映射到其灰度直方图特征空间，从而使算法的速度大大提高。

基于模糊聚类的直方图优化函数如下

式中，H是L灰度级图像的直方图，H(l)为具有灰度级l的像素个数，所有像素的灰度值取值为{0，1，…，L－1}，这样隶属度的计算就化简为以l为灰度值的一个像素的隶属度。

由L层灰度级隶属函数约束条件

最小化上述目标函数，从而得到隶属函数uil和基于FCM直方图的聚类中心vi

设图像的大小为256×256，灰度级Lmax=256，则此算法速度提高256×256/256=256倍，即通过引入直方图初始化，将所有像素的隶属度和聚类中心的计算转化为256个灰度值的隶属度和聚类中心的计算，算法执行速度大大提高。但实验表明，其分割的效果和标准FCM的分割效果一样。

3 mFCM算法

根据马尔可夫随机场MRF(Markov Random Field)理论，图像中绝大多数像素和它邻近的像素一样属于同一聚类。空间信息加入到标准FCM中，使得算法对噪声和模糊的边缘具有很强的鲁棒性。本文在文献［6］的基础上修改隶属度函数，加入邻域模糊空间信息，从而提高对噪声的鲁棒性。

mFCM算法的目标函数为

其对应的改进模糊隶属度和聚类中心迭代函数为

其中，Qik是先验概率，即第k像素属于第i聚类的概率。文中给出一种简单且易实现的计算方法，即

式中，Nk是xk邻域的像素总数目，可任意给定;是去模糊化后xk邻域像素中属于聚类i的像素数目，初始值的确定是在直方图初始化后，根据最大隶属度原则将其邻域像素归结到隶属度最大的一类中，统计出邻域中属于每一类的总数目。

本算法加入的模糊空间信息是式(10)中的第一项，表征邻域像素对当前像素作用的先验概率来重新确定当前像素的模糊隶属度值，先验概率自动取决于算法执行中的模糊隶属度，因此当某像素的邻域像素隶属于某聚类的数目越多时，该像素隶属于此聚类的概率就越大。

上述算法执行过程中对隶属度函数的改进，进一步增强了分割图像时对噪声的鲁棒性，为更好地消除噪声的影响，取得更理想的分割图像，考虑在算法的计算过程中对核距离矩阵进行改进。Kik的含义是像素k到第i类的核距离，接下来引入核距离空间信息，在每一次迭代过程中，都要对Kik进行一次调整。例如对于任意像素k属于第一类，先把K1k调整成与图像具有相同大小的矩阵形式K1，这对于核距离矩阵K1便出现了邻域信息，然后把任意元素K1k和它的邻域元素求平均值K'1k，用K'1k来代替K1k，这样就可以进一步减少噪声点的影响。用相同的方法对所有像素和各类所形成的核距离矩阵进行处理，得到一个新的核距离矩阵K'ik。

算法的具体实现为:

(1)给定ε、c和Nk后，利用直方图初始化对图像进行初始分割，根据式(6)和式(7)计算出收敛后的聚类中心做为算法的初始聚类中心，并根据收敛后的隶属度计算出初始先验概率。

(2)根据式(9)～式(11)计算出新的隶属度和聚类中心。

(3)判断算法是否收敛，如果不收敛，则将所得的隶属度做为初始化隶属度，重新计算先验概率并转到(2)，否则转到(4)。

(4)根据隶属度矩阵，利用最大隶属度原则，将软分割结果转化为硬分割结果，输出分割结果，算法结束。

由于该方法利用直方图初始化，因此算法的收敛速度很快，且不易陷入局部最小点。

4 实验结果与分析

为验证本算法的高效性和对噪声的鲁棒性，用标准测试图像Lena和MRI脑部真实医学图像做了实验，并且分别对比了传统的FCM和KFCM_S2的分割效果。算法中的参数设置分别为:ε=1.0e－6，m=2，Nk=8。由于算法的开始利用直方图初始化，初始化后算法经过几次迭代就迅速收敛，具有较强的实时性。

实验1标准测试图像Lena，分别利用传统的FCM，KFCM_S2与文中mFCM算法分割进行比较，类别数为4。从图1～图4可以看出，本文改进的算法具有较强的抑制噪声的能力。为定量地评估这3种方法的性能，文中采用文献［11］给出的区域非一致性函数准则进行比较，该函数的表达式为

式中，NU是区域的非一致性测度;FT和BT分别代表前景和背景的像素;是指集合的基数;σ2f是前景的方差;σ2是整幅图像的方差。根据文献［12］的说明，如果越小则表示分割的结果越好，其值越大则分割的结果越差。根据这一准则函数的定义，3种算法的计算结果如表1所示，由表可见，本文mFCM算法得到的NU小于传统FCM和KFCM_S2算法，即mFCM算法相对于这两种方法，分割效果好。

表13 种算法的NU计算

实验2用MRI脑部真实医学图像测试在不同噪声水平下，mFCM算法的分割效果。类别数为2，椒盐噪声的含量分别为3%、5%、7%和9%。图5～图10给出了在不同噪声水平下，本文算法的分割结果。容易看出，随着噪声级数的增加，mFCM算法还能有效地分割图像，可见，与KFCM_S2算法相比，本文算法在克服噪声对分割结果的影响方面表现出较强的鲁棒性和优越性。

图7 叠加3%噪声图像下，KFCM_S2，mFCM算法的分割结果对比

5 结束语

提出在KFCM_S2的基础上引入模糊空间信息，即在原隶属度函数的基础上，加入表征像素对当前像素作用的先验概率重新确定当前像素的隶属度函数，同时修改距离矩阵，引入距离空间信息，从而合理利用了空间信息。算法的开始对图像直方图初始化，使得算法的收敛速度得到提高。实验结果表明，该改进算法在去除噪声和提高分割精确度方面，有明显改进，是一种稳健高效的医学图像分割方法。

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