洪水联合风险分析方法的探讨

段小兰 郝振纯

(河海大学水文水资源与水利工程学科国家重点实验室,南京 210098)

洪水风险分析的目的一方面在于确定防洪工程的设计标准,由设计标准推求相应的设计洪水;另一方面是估算洪水的风险大小.传统的水文频率计算中都是以时段洪量或洪峰来描述洪水,并且假定两者同频率,进行频率分析,推求相应的设计值或估计洪水风险.洪水作为一种复杂的水文过程,洪峰和洪量是否同频率,对其认识还有待进一步深入.理论上,对于一定降水,产生的洪水总径流量等于净雨量,洪量的量级大小很大程度上取决于降水量的多少,其次是流域土壤的前期湿润状况,洪峰是净雨量通过流域调蓄作用后的结果,是洪量在时间上的分配,这决定了洪峰和洪量存在复杂的内在关系.所以简单地说,洪量量级由气候条件确定,洪峰量级是气候和下垫面共同作用的结果,两者很难达到频率相等.洪峰小而洪量大的洪水,可以导致很大的洪水灾害,洪量小而洪峰大的洪水同样能造成巨大损失.因此,单独以洪峰或洪量展开洪水分析,结果可能导致过高或过低地估计了洪水风险,有望通过寻求多变量的洪水风险分析方法来改善这种估计偏差.文献[1]在多变量分析洪水中做了有益探索,考虑洪水和降水的不同频率关系,但在洪水成因上存在矛盾,把因果关系的降水和洪水作为两个并列的因素来处理;文献[2]考虑洪峰和洪量,用模糊聚类理论,构造隶属度函数,表征峰量同时发生的关系,但是文中构造的隶属度函数是基于线性相关系数建立的,对两者关系的描述过于简化.为此,本文以概率论的基本原理和Copula函数为基础,探讨同时考虑洪峰和洪量的洪水风险分析方法.

1 洪峰和洪量共同作用下的联合洪水风险分析

1.1 联合风险概率模型

洪水风险的定量化定义目前尚有争议,比较普遍的观点认为洪水风险应包括3个基本属性:洪水事件的量级、洪水事件出现的概率以及洪水事件一旦发生所造成的损失.由于估计洪水损失涉及的资料很多,暂不作研究,只针对洪水量级和风险率(发生概率)作讨论.

对于单变量的风险分析,风险可以理解为变量超过主体承载能力的概率,即风险为P(L≥R),其中L为要分析的特征变量,R为特征变量的阈值,也可理解为承载能力,当L≥R时,即遭到了破坏.尖瘦型洪水(峰高量少)和肥胖型洪水(峰低量大)都能造成洪水灾害,因此洪水的风险分析应不单以一个特征变量分析,必须同时考虑洪峰Q和洪量W.考虑二变量情况,风险率可定义为洪峰或洪量超过各自阈值的概率:P=P{Q≥q∪W≥w}.q和w分别表示洪峰和洪量的承载能力,由定义可知,任意变量超过阈值(承载能力),灾害都将发生.将发生破坏性事件P=P{Q≥q∪W≥w}记作P(W∪Q),评价洪水的风险率即计算P(W∪Q),由概率论基本理论知

式中,P(W)为发生W≥w的概率;P(Q)为发生Q≥q的概率;P(W)P(Q)为同时发生W≥w和Q≥q的概率.

从计算式(1)可知,洪峰和洪量的联合洪水风险计算问题就转化为计算P(W)和P(Q),以及两者的联合概率问题P(W)P(Q).一般来说P(W)和P(Q)可由传统的概率分布模型P-Ⅲ分布求得,即

式中,f(x)和f(y)表示洪量和洪峰的密度函数,由此可见洪峰和洪量的联合洪水风险分析的关键在于联合概率P(W)P(Q)的处理.文献[1]认为两者的条件概率f(x|y)近似服从正态分布,通过幂指数变换法对变量进行正态化处理,最后用数值积分法求出联合概率,文献[1]的问题在于计算相当复杂;文献[2]认为实际情况下洪峰和洪量的关系处于完全相关和相互独立之间,根据两个时间序列的线性相关系数构造关于完全相关和相互独立两种情况的组合概率来表示实际洪峰洪量的联合概率,文献[2]的问题在于用线性相关系数表示洪峰和洪量复杂关系,这种方法有可能忽视了洪峰和洪量的非线性关系.本文尝试用Kendall秩相关系数τ描述两者的关系,其优点在于τ不仅可以表征随机序列间的线性关系,也可以表征非线性关系,由此通过秩相关系数并用Gumbel Copula函数来显示洪峰和洪量的概率关系,计算P(W)P(Q).τ的估计公式为

关于Copula函数理论的详细介绍见参考文献[3-5].由概率论基本理论和Copula理论知C(u,v) =F(X≤x∩Y≤y),F(x,y)表示变量x和y的联合分布,F(X＞x∩Y＞y)=1+F(x,y)-F(x)-F(y) =1+c(u,v)-u-v.按Sklar定理,C(u,v)=F(W≤w∩Q≤q)=F(W,Q),P(W)P(Q)=F(W＞w∩Q＞q)=1+F(W≤w,Q≤q)-F(w)-F(q),则式(1)变为

由式(5)和(6)就可以计算一定量级洪水的风险率,考虑洪峰和洪量的洪水风险分析的概率模型已构造好.

1.2 联合函数的随机抽样模型

峰量联合分布是对洪峰和洪量间复杂关系的联合描述,通过联合分布函数进行随机抽样可以考虑到洪峰和洪量间的相关性,具体抽样方法[6]如下:

(1)根据建立的两变量联合分布,得到当洪量概率为给定值时洪峰的条件分布

(2)产生服从[0,1]均匀分布的两个独立的随机数r1和r2;

(3)令r1为洪量w的不超过概率F(w),即u= F(W)=r1;

(4)令r2等于当洪量为w时洪峰q的条件概率分布值,即r2=Sv(v|u=r1),从而可根据v=(r2| u=r1)求对应于洪量概率的洪峰概率;

(5)重复步骤(1)～(5)n次,即可得到相关联的n对洪峰洪量概率(u,v).

2 应用实例

蚌埠站位于淮河流域干流上,控制面积为12万km2,年平均气温为11～16℃,多年平均降水量约为920mm.流域面积较大,流域对径流的调蓄作用很大,所以洪峰和洪量频率很难达到一致.针对该站1915、1917、1921、1930、1931、1934、1935和1936年部分资料、1918～1920、1922～1923、1928～1929、1932、1947～1948、1950～2008年的径流资料,选取汛期洪峰和洪量进行分析.

表1 蚌埠站洪水特征值单变量频率分析计算成果表

按传统的方法可从表1中查到百年一遇的设计汛期洪峰流量为11872.6m3/s,百年一遇的设计汛期洪量为652.70亿m3,即两者中任意情况发生的风险率都为1%,相反地,当给定洪峰流量为8 817 m3/s时,单变量的洪水风险为5%.表1给出了洪峰和洪量的单变量分析结果,若同时考虑洪峰和洪量因素,按本文提出的联合分析方法,可进行如下联合洪水风险分析.

由式(7)可以计算洪峰和洪量共同作用下的洪水风险.体现洪水事件的随机性,对洪峰和洪量的单变量风险率进行随机抽样,本文随机抽样得到30对(u, v)值,通过联合洪水风险模型式(7)计算得到洪水联合风险见表2.

表2 不同洪峰洪量组合共同作用下的联合洪水风险分析

续表2 不同洪峰洪量组合共同作用下的联合洪水风险分析

表2的计算结果可分为3种情况:(1)联合洪水风险大于单变量洪水风险型.洪峰和洪量的洪水量级处于中间状态,风险范围为:10%＜P(L＞R)＜70%,如表中黑色字体,这种情况下,同时考虑洪峰和洪量的洪水联合风险明显大于单独考虑洪峰或洪量时的风险率;(2)洪水联合风险等于洪峰风险型.如蓝色字体,这种情况洪量的量级偏大,P(L＞R)＜10%,洪峰量级的较大但小于洪量量级,此时洪水联合风险与洪峰的风险保持一致;(3)洪水联合风险等于洪量风险型.如红色字体,当洪量的量级较小,P(L＞R)＞70%,相反洪峰的量级要大于洪量的量级时,联合风险与洪量风险保持一致.

因此可以得到结论,当洪水较小且洪峰和洪量的量级相当时,若单独分析洪峰或洪量,会导致低估洪水的风险,需同时考虑洪峰和洪量的影响;而当洪峰和洪量量级相差较大时,洪水风险由量级小的变量决定.

3 结 语

水文领域中对洪水风险分析的研究已经很多,并且比较成熟,传统研究中大多主要采用单变量频率分析法,不可否认该种方法操作简单,已得到广泛应用.但也存在很多问题是单变量频率分析的洪水分析方法不能解决的.本文尝试用一种新的方式进行洪峰和洪量的联合洪水风险分析,探讨此方法的可行性,得出的结论是:洪水风险分析应针对洪峰和洪量的不同量级的组合情况,分情况讨论,当洪水较小且洪峰和洪量的量级相当时,同时考虑洪峰和洪量的影响更安全;而当洪峰和洪量量级相差较大时,洪水风险应由量级小的变量的风险决定.本文的研究也只是一种尝试性的探讨,更多深层次的问题有待进一步研究.

[1] 冯 平,崔广涛,胡明罡.暴雨洪水共同作用下的多变量防洪计算问题[J].水利学报,2000,2:49-53.

[2] 翟国静,刘振京.多变量洪水风险分析方法[J].河北水利,2006,(B11):69-71.

[3] 郭生练,闫宝伟,肖 义,等.Copula函数在多变量水文分析计算中的应用及研究进展[J].水文,2008,28(3):1-7.

[4] Frees E W,Valdez E A.Understanding Relationships Using Copulas[J].North American Actuarial Journal, 1998,2:1-25.

[5] SA LVADORI G.Bivariate Return Periods Via 2-Copulas[J].Statistical Methodology,2004,1(1-2):129-144.

[6] SALVADORI G,DE MICHELE C.On the Use of Copulas in Hydrology:Theory and Practice[J].Journal of Hydrologic Engineering,2007,12:369.