电磁散射问题中的频域有限元算法

沈 丰, 王 辉

（南京工业大学 信息科学与工程学院，江苏 南京 211816）

0 引言

现代科学技术的很多方面都与电磁场有密切的联系，如通信、地质勘探等中，电磁场的散射起着非常重要的作用。所有电磁场问题的解决，最终都归结为求解满足实际边界条件的麦克斯韦方程[1]。但只有一些典型几何形状相对简单的散射问题，才能获得解析解。为了解决实际工程问题，一般采取近似解析方法。

有限元是一种十分有效的数值方法，建立了一条连续系统离散逼近的自然途径，它使微分方程的解法与理论面目一新，推动了泛函分析与计算方法的发展。有限元算法是以微分方程为基础的求解边值问题的数值算法，利用里兹变分法或伽辽金法建立方程组再求解[2]。有限元法不仅适用于求解不规则的几何形状和边界条件，而且能计算解决复杂的多介质问题；这是其它数值方法难以处理之处，而对于有限元法来说却很简单。

1 有限元应用于电磁散射问题

1.1 电磁散射有限元公式推导

用有限元方法求解边值问题时，需要将微分方程转化为积分式，对积分式离散变换为方程组，再进行求解。已经知道，用于PML域的麦克斯韦尔方程组的形式如下[3]：

可以推导出矢量波动方程如下：

根据广义变分原理,可以得到如下泛函：

1.2 电磁散射算法简析

文献[4]推算出了散射角复数散射场振幅S1和S2。

非零的Mueller矩阵元素的元素 S11,S12,S33,S34及偏振表述如下：

不对称因子g如下计算出来：

散射场也可以由S1和S2描述出来，在球坐标系下表述如下：

这里算出来的是严格的精确解，如果球体小，就可以将该计算结果与有效用于小球计算的近似算法结果相比较，来验证近似算法的正确性。

2 数值算法分析验证

为了验证有限元方法用来计算散射问题的正确性，需要利用典型结构与其解析解进行对比。选取不同的球体散射作为有限元数值仿真对象，编写出了利用MIE级数求解各种球体的散射算法程序。此算法得出的是各个球体散射的解析解，用来和近似解的算法进行比较。以此验证数值方法(有限元法)程序的正确性。

近似解的算法，分为以下三种情况：①纯金属散射体；②纯介质散射体；③金属加涂层。首先用 ANSYS[5]软件建模进行区域离散。

2.1 纯金属散射体

构建的纯金属散射体模型。金属球为最内层的球形区域，半径为0.25λ，因为金属内部不存在电磁场，对其进行挖空处理。金属球外层到PML内层的最近距离为0.2λ，这整个空间都是空气，把空气分为两层：空气1和空气2，其交界面作为求解RCS的截面。其中内层空气层厚度为0.1λ。最后构造的是PML层，其厚度为0.2λ，分别构造面、边、角的PML。为得到比较精确的结果，以λ的尺寸进行剖分。 划分完网格后，list得到24 599个节点信息和133 508个单元信息，和MIE程序求出的精确解相比较，如图1所示。

图1 半径为0.25λ的金属球的RCS

通过与解析MIE级数得到的双站RCS结果比较，二者基本吻合，说明了该算法在电磁散射中的正确性。

2.2 纯介质散射体

构建的纯介质散射体模型。介质球为最内层的球形区域，半径为0.25λ，介质的介电常数为2.65-j2.65。同样的，介质球外层到PML内层的最近距离为0.2λ，整个空间都是空气。还是以原来的尺寸做求解RCS的截面，使内层空气厚度0.1λ。分别构造面、边、角的PML，厚度为0.2λ。用尺寸λ的四面体进行网格划分。list得到21 942个节点信息和118 669个单元信息，得到程序结果和MIE程序求出的精确解相比较，如图2所示。

图2 半径为0.25λ的介电常数为2.65-j2.65的纯介质球球的RCS

通过与解析MIE级数得到的双站RCS结果比较，二者基本吻合，说明了该算法在电磁散射中的正确性。

2.3 金属加涂层散射体

构建的金属加涂层散射体模型。金属球为最内层的球形区域，半径为0.2λ，紧包着金属体的是介质涂层，其厚度为0.05λ，介质介电常数为2.65-j2.65。介质外层到PML内层的最近距离为0.2λ，内层空气厚度0.1λ，PML层的厚度为0.2λ。以λ的尺寸进行剖分。list得到22 230个节点信息和119 585个单元信息，得到程序结果和MIE程序求出的精确解相比较，如图3所示。

图3 内金属半径为0.2λ，涂层厚度为0.05λ金属涂覆球的RCS，涂层介电常数为2.65-j2.65

通过与解析MIE级数得到的双站RCS结果比较，二者基本吻合，说明了该算法在电磁散射中的正确性。

3 结语

有限元法不仅适用于求解不规则的几何形状和边界条件，而且能计算解决复杂的多介质问题。主要介绍了将有限元方法用于电磁散射问题中，首先推导了有限元应用于散射问题的变分公式，采用完全匹配层截断散射问题的边界。然后介绍了电磁散射算法，对典型的散射体结构进行有限元数值分析，包括金属体、介质体以及金属加涂层问题，通过与解析 MIE级数得到的双站 RCS结果比较，验证了有限元散射程序的正确性，证明了该算法能够比较准确地计算各种复杂物体的散射参数。

[1] DAVIDSO D B.Computational Electromagnetics for RF and Microwave Engineering[M].UK: Cambridge Univ.Press,2005.

[2] 金建铭.电磁场有限元方法[M].西安：西安电子科技大学出版社，2001：3-4.

[3] 平学伟.有限元模拟及有限元方程的快速求解技术在电磁场中的应用[D].南京：南京理工大学，2004.

[4] MERRILL E M.Electromagnetic Scattering by Magnetic Spheres Theory and Algorithms[R].USA: Edgewood Research Development and Engineering Center,1994.

[5] 王国强.实用工程数值模拟技术及其在 ANSYS上的实践[M].西安：西北工业大学出版社，2001：39-50.