基于相关矩阵的MIMO系统信道容量分析

张唯希，周 杰

（南京信息工程大学 电子与信息工程学院，江苏 南京 210044）

0 引言

多输入多输出（MIMO）技术是一个新兴的研究领域，被认为是大幅提高带宽效率的理想方法[1-2]。在输入与输出端，利用多天线阵列技术，可以有效地提高系统信道容量[3-4]。在独立的瑞利信道下，MIMO系统的信道容量与天线数目呈线性关系[5]。然而，在信号传播过程中，由于传播信道间的相关性，对MIMO系统信道容量产生较大影响，相关性的增加导致系统容量的减小，当相关性达到1时，MIMO系统将不再适用[6-7]。

为了分析相关性对MIMO系统容量的影响，这里利用均匀角能量分布以及相关矩阵，研究了MIMO系统容量，通过分析得出了一个估算信道容量的公式，用来验证模型的有效性。分析结果证明，在这种模型下，相关性的增加意味着信噪比的减小，环形接收天线阵列半径和角度扩展是决定MIMO系统信道容量的主要因素。

1 MIMO系统信道容量

如图1所示，表示一个具有N副发射天线和接收天线的MIMO系统。

这里假设 Nt=NR=N，N副发射天线，N副接收天线。对于一个N×N维的白高斯噪声信道, MIMO系统信道容量为：

其中，N表示发射与接收天线数目，ρ表示平均信噪比，I表示单位矩阵，H表示一个归一化信道矩阵，+表示矩阵的转置共轭。

图1 N副接收和发射天线的 MIMO 系统

这里，H中的元素hi,j满足以下归一化情况：

当所有的平行信道独立H=I，ρ/N表示每个接收分支的信噪比。

为了有效的研究相关性的影响,不考虑接收功率不相等的情况，即∶

换句话说，N副接收天线的接收功率是相等的。由式(3)可将式(1)简化为[8]：

其中，R表示归一化信道相关矩阵。

将式(4)中行列式下的矩阵用Z表示，得到：

其中：

这里，"*"表示复共轭，β=ρ/ N ⋅(1+ρ/ N)−1。因此，MIMO系统的信道容量可以如下表示：

从式(7)中可以看出，为了估计出相关信道下的 MIMO系统信道容量，必须计算出ΔN的值。

2 环形阵列MIMO系统相关性模型

为了方便分析，N取4，且假设接收端天线阵列采用均匀环形阵列。如图2所示为一个MIMO通信系统接收端，具有四天线单元的均匀环形天线阵列，四个天线单元分别位于圆周的四个顶点，环形阵列的半径为R，天线所在位置与横轴夹角为ψi。

图2 MIMO系统四单元均匀环形接收天线阵列

首先，假设角分布为在空间信道模型中常用的均匀角能量分布[9]。入射角概率密度函数如下表示：

其中，2Δ是中心到达角φ的角度范围。均匀圆形阵列的响应矢量V()θ[10]：

其中，R为环形天线阵列的半径，ζ为仰角，λ表示波长，此处，只考虑ζ=90◦的情况。mψ表示第m天线单元的方位角。

第m和n天线单元之间的相关性可以定义为[11]：

其中，p()θ表示随机信号的概率密度函数。

将式(11)和式(12)代入式(13)得：

将整理后的方程进行积分，得到均匀角能量分布下rm,n的实部与虚部分别为[12]：

当Δ较小时，sin(Δz)≈Δz，cos(z)≈1。从而得到均匀角能量分布rm,n的近似方程：

3 环形阵列MIMO系统容量

在此模型中，R的元素ri,j表示为均匀角分布下接收天线单元间的相关性rm,n，并取值为式(13)的模：

将式(14)代入式(6)，经过一系列行列式变换，可以得到：

式中的r表示相邻接收天线单元间的相关性。由式(15)，当具有高信噪比(ρ/ N ≪ 1)，且1−β≪1时，可以得到一个简单的闭型递归公式,在这种情况下，ΔN值的大小主要取决于主对角线上的元素，因此可得：。

从而可以得到：

对于 N≪ 1,r＜1，可以得出：

如果N→∞，由式(17)得出：

当r=0时，式(17)和式(18)可以简写为：

比较式(17)、式(18)和式(19)，可以看出相关性对系统容量的影响就等同于系统信噪比的减小。

4 仿真结果与分析

利用一个四单元均匀环形接收天线阵列来进行数学分析，由于环形阵列的对称性，可以得出 r1,2=r1,4，以此类推。因此，只需要计算r1,2，r1,3。

图 3中，利用式(13)取φ=0◦以及分别取 Δ=2◦,Δ=3◦,Δ=10◦,Δ=15◦，画出了环形天线阵列天线单元间在基于均匀角能量分布下的相关性随R/λ变化而变化的曲线图。从图中可以看出，在相同的条件下，随着R和角度扩展Δ值的增大，天线单元间的相关性相应减小。

图3 均匀分布下环形天线阵列的相关性

图4和图5中，利用近似公式(13)和式(16)，取φ=0◦以及 Δ=2◦，Δ=10◦，Δ=30◦，分别取ρ=30 d B,ρ=40 d B，画出了MIMO系统容量C随R/λ变化而变化的曲线图。从图中可以看出，随着R/λ的增加，系统容量也相应增加，但当R/λ值达到某一值时，上升程度越来越不明显，并趋向于一个定值。在相同条件下，Δ值越大，系统容量就越大，但随着R/λ达到某一值时，Δ值的增加并不能直接提升信道容量的大小。

图4 MIMO系统信道容量，ρ=30dB

图5 MIMO系统信道容量，ρ=40dB

比较图4和图5，可以发现，在相同的条件下，信噪比越高，MIMO系统容量就越高。容量大小跟接收端圆形天线阵列半径呈线性关系，半径越大，容量越大，反之亦然。

图6和图7中，利用近似公式(13)和式(16)，取φ=0◦，以及 R/λ=1，R/λ=2，R/λ=5，分别取ρ=30dB,ρ=40 d B，画出了MIMO系统容量C随Δ变化而变化的曲线图。从图中可以看出，随着角度扩展Δ值的增加，系统容量也随着上升，但随着Δ值达到某一值时，上升趋势趋于平缓，并趋向于一个定值，此时增加Δ值，对于系统容量的提升作用已不再明显。在相同条件下，R/λ值越大，系统信道容量就越大，但当Δ值达到一值时，增加R/λ值并不能直接提升信道容量的大小。

比较图6和图7，可以发现，在相同条件下，信噪比越高，MIMO系统容量越高。系统容量大小与角度扩展Δ的大小呈线性关系，Δ值越大，容量越大，反之亦然。

图6 MIMO系统信道容量，ρ=30dB

图7 MIMO系统信道容量，ρ=40dB

5 结语

MIMO系统信道容量主要取决于矩阵信道各子信道间的相关性，当相关性为零时，系统容量达到最大值。这里利用均匀角能量分布以及相关矩阵，研究了相关信道下的 MIMO系统容量，推导了系统容量公式。分析结果证明，信道相关性的增加意味着系统信噪比的减小，接收天线环形阵列半径和角度扩展是决定MIMO系统信道容量的主要因素。

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