夹层结构模型假设对振动和声传输特性影响研究

王 晴 洪 明 周艳秋

1中国舰船研究设计中心，湖北 武汉 430064

2大连理工大学工业装备结构分析国家重点实验室运载工程与力学学部船舶工程学院，辽宁大连 116024

3中国舰船研究设计中心，上海 201108

夹层结构模型假设对振动和声传输特性影响研究

王 晴1洪 明2周艳秋3

1中国舰船研究设计中心，湖北 武汉 430064

2大连理工大学工业装备结构分析国家重点实验室运载工程与力学学部船舶工程学院，辽宁大连 116024

3中国舰船研究设计中心，上海 201108

不同模型假定下夹层结构的声振特性各不相同。基于Reissner模型和Zig－Zag模型位移场假设，分别建立了两种复合材料夹层板有限元动力单元模型，并通过推导的模型编制了计算程序，采用子空间迭代法求得了其固有频率和固有振型，采用混响声场声传输理论计算了传声损失，并对夹层板的动力特性和声传输特性进行了数值模拟研究，同时还考虑了夹层结构面板与芯板的厚度比和弹性模量比不同时各种模型的适用范围。

Reissner模型；Zig－Zag模型；Mindlin理论；振动特性；传声损失

1 引言

随着各个工程领域对材料要求的不断提高，复合材料夹层板也得到了广泛的应用。尤其是在船舶设计中，开始越来越多地应用夹层结构。通常，设计者们均十分关注船舶的居住性和舒适性，而这又与其结构振动状况和隔声状况密切相关，因此，对夹层结构的振动特性和声传输特性研究具有实际意义。

对于夹层板问题的研究，大多是以上世纪40～50年 代 建 立 起 来 的 Reissner、Hoff和∏pycakob 理论为基础［1－3］，这 3 种理论对求解均匀材料面板的夹层结构比较有效。

1）Reissner理论

该理论认为面板很薄，假设其主要承受面内应力为 σx、σy和 τxy，且都沿板厚度均匀分布。 在芯层内，σx＝σy＝τxy＝0， 芯层可抵抗横向剪切力，并考虑了芯层横向剪切变形的影响。当夹层板关于中面做反对称弯曲变形时，假设面板和芯层内都有εz＝0。在面板和芯层内，都不计σz对形变的影响。

该理论把面板作为只承受面力的薄膜处理，忽略了本身的抗弯刚度，而夹芯则假设其仅具有抗横向剪切能力，这是一种最简单的夹层板理论。

2） Hoff理论

该理论认为表层面板很薄，只把它们看成是通常的弹性薄板。 在芯层内，σx＝σy＝τxy＝0，考虑了芯层横向剪切变形的影响。当夹层板对中面作反对称变形时，假定芯层εz＝0，忽略了σz对形变的影响。

该理论将面板视为普通薄板，即只考虑了其面内应力和抗弯刚度，而对于夹芯部分，则仍认为其仅具有抗横向剪切能力。该理论和Reissner理论都没有考虑夹芯的其他变形能力。

夹层板在转动时，面板和芯层的转角是不一致的，其位移具有齿形特征，尤其是当厚度较大或材料较软时，忽略转动项将会带来较大误差［4］。本文推导了忽略面板转动项的Reissner理论有限单元模型和考虑面板转动项的基于Hoff理论基础上Srinivas提出的Zig－Zag模型。计算了夹层板的面板和芯板厚度比逐渐增加和弹性模量比逐渐增加时，结构自由振动固有频率和混响声场入射情况下夹层板传声损失的变化情况。

2 夹层板自由振动有限元分析理论

2.1 模型示意图、自由度及位移场假设

夹层板由上下面板和中间芯层组成。以夹层板中性面为坐标平面，建立整体坐标系，其形式如图1所示。

基于Reissner模型假定和Mindlin一阶剪切理论，单元每个节点有5个自由度，即沿3个方向的位移 u0、ν0、w0，以及绕 2 个轴的转角 θx和 θy，夹层板单元的位移场假设为：

基于Hoff理论基础上的Zig－Zag模型假定和Mindlin一阶剪切理论，单元每个节点有9个自由度：即芯板的 5 个自由度 u0、ν0、w0、θx和 θy，以及上下面板各两个自由度 φx、φy和 φx、φy， 夹层板单元各层的位移场假设为：

2.2 两种模型夹层板结构振动有限元推导

对于夹层板自由振动有限元理论，其与普通板的区别在于，由于各层的材料参数和几何参数不同，其质量阵和刚度阵需进行叠加。

4节点夹层板的刚度阵和质量阵的形成步骤为：按照位移插值函数和材料本构关系，可得到形函数矩阵［N］、密度矩阵［ρ］和几何矩阵［B］。

对于Reissner模型，其弹性矩阵可将芯板弹性 阵［Dc］、上面板弹性阵［Du］和下面板弹性阵［Dd］进行叠加，从而得到夹层板总的弹性矩阵［5］：

进而，能够得到夹层板总的刚度矩阵：

对于Zig－Zag模型，上下面板的几何矩阵［B］也不相同，需要每一层形成各自的刚度矩阵之后再进行叠加［6］。

质量阵的形成方法与刚度阵相同。

设在结构上作用有激励｛f（t）｝，结构产生的响应为｛x（t）｝，由 Hamilton 原理，在动载荷作用下，结构的振动方程可以表示为：

式中，［M］、［C］、［K］分别为结构的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵。求解对应的齐次方程，可得到该结构相应的固有频率 ωj和振型｛φ｝j。

2.3 两种模型夹层板结构传声损失模型

选取混响声场模型为比较理想的单频模型，其假设为，是在各个方向上声压的幅值和相位随机。这是一种很接近真实的混响声场的模型，具体表示为［7－8］：

因此，混响声场的入射声功率可以认为是I×J列平面声波的入射声功率相叠加。若空气中板的长和宽分别为a和b，以角度（θ，φ）入射的平面声波的入射声功率∏i为：

式中，ρ为辐射介质的密度；c为声音在介质中的传播速度。

夹层板在平面声波作用下的传声损失TL可以定义为：

式中，∏为结构在平面声波激励下的辐射声功率。

计算结构辐射声功率的方法很多，本文采用的是基于结构表面振速计算辐射声功率。

式中，Re（）表示取实部；νn*（P）表示表面 νn（P）的共轭复数。

3 数值模拟

下面，将选取典型算例来验证模型的适用性问题。四边刚固夹层板长2 m、宽1.5 m，芯层材料参数 E2＝ 8.96 × 108Pa， μ2＝ 0.42， ρ2＝ 999 kg／m3，厚1 cm。上下表层为厚度相等的钢板，分别为1 mm、3 mm、6 mm 和 9 mm，E1＝2.1×1011Pa，μ1＝0.3， ρ1＝7 800 kg／m3，夹层板分析网格为8×6 个，单元划分和节点编号模型如图2所示。

上下面板厚度为1 mm、3 mm、6 mm和9 mm的夹层板前四阶固有频率对比如图3所示。

在混响声场激励下，夹层板的传声损失对比如图4所示。

若夹层板边界条件和板的长宽不变，芯层弹性 模 量 分 别 取 E2＝8.96 ×106Pa、8.96 ×107Pa、8.96 ×108Pa 和 8.96 ×109Pa， μ2＝0.42， ρ2＝ 999 kg／m3， 厚度为 1 cm。 上下表层为钢板，E1＝ 2.1 ×1011Pa， μ1＝ 0.3， ρ1＝7 800 kg／m3， 厚度相等，分别为1 mm。单元划分和节点编号不变。

芯板的弹性模量为 8.96 ×106Pa，8.96 ×107Pa，8.96×108Pa和 8.96×109Pa的夹层板前 4 阶固有频率对比如图5所示。

在混响声场激励下，夹层板的传声损失对比如图6所示。

4 结论

经过对2种模型的计算分析，得出以下结论：

1）在2种模型夹层板面板厚度逐渐增加的情况下，结构振动的固有频率在面板厚度不足芯板厚度的1／10时几乎相同。随着厚度的增加，2种模型所得结果的差距会逐渐增大。在混响声场入射情况下，夹层板的传声损失整体保持不变，但传声损失低谷产生的位置由于固有频率不同，也有差别。

2）在2种模型夹层板芯板弹性模量逐渐增加的情况下，结构振动的固有频率在芯板的弹性模量不足面板的0.4%时相差很大。随着芯板弹性模量的增加，2种模型所得到的结果趋于相等。在混响声场入射情况下，夹层板的传声损失整体保持不变，但传声损失低谷产生的位置由于固有频率不同，也有差别。

3）模型化的差异对结构振动的固有频率影响很大。在工程计算中，当面板厚度与芯板厚度相比较大或面板刚度与芯板刚度相比较大时，Reissner理论已不能满足计算精度的要求，而应选择一些精度更高的单元。但在面板厚度较小或弹性模量相差不大时，Reissner理论的计算方法由于节省计算空间，也具有其自身的优越性。

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Effects of Model Assumption on the Characteristics of Vibration and Sound Transmission in Sandwich Structure

Wang Qing1Hong Ming2Zhou Yan－qiu3
1 China Ship Development and Design Center， Wuhan 430064，China
2 School of Naval Architecture Engineering， Faculty of Vehicle Engineering and Mechanics，State Key Laboratory of Structural Analysis for Industrial Equipment， Dalian University of Technology， Dalian 116024，China
3 China Ship Development and Design Center，Shanghai Division，Shanghai 201108，China

With variable assumed sandwich model， the vibration and acoustic characteristics are distinct.Based on the displacement field assumption of the Reissner and Zig－Zag model， the paper established two kinds of composite sandwich plate Finite Element models， and its inherent frequency and Eigen－mode shapes were required by subspace iteration method with the help of the derivation model program.The paper also calculated the acoustic transmission loss by transmission theory of diffused sound field，and studied the numerical simulation of vibration and sound transmission character，the application of sandwich plate＇s face and core with variable thickness ratio and elastic modulus ratio were considered as well.

Reissner model； Zig－Zag model； Mindlin method； vibration character； sound transmission loss

TB532

A

1673－3185（2011）03－68－05

10.3969/j.issn.1673-3185.2011.03.015

2010-03-18

国家自然科学基金资助项目（51079027）

王 晴（1984－），女，硕士。研究方向：复合材料结构动力学。E-mail：sunnywangqing＠126.com

洪 明（1959－ ） ，男，教授。 研究方向：结构失效、振动和噪声机理、预极及控制研究。E-mail：mhong＠dlut.edu.cn