移动无线信道数理模型分析

王茹

（湖北汽车工业学院 理学系，湖北 十堰 442002）

移动无线信道数理模型分析

王茹

（湖北汽车工业学院 理学系，湖北 十堰 442002）

分析了空间电磁波信号传输的数学和物理模型，介绍了移动通信中经常提到的多普勒频移、相干带宽和相干时间的概念，给出了实际移动通信系统中抗衰落分集技术应用实例。

移动通信；无线信道；数理模型

自蜂窝移动通信问世以来，移动通信技术已经给社会带来了巨大的信息化革命。分析和研究移动通信要先从研究移动信道开始。信道是指通信系统中从发送端到接收端信号所经历的路径。与其它固定信道相比移动无线信道是一种比较复杂的信道，其信道特性会随着传播环境的变化而变化。移动无线信道经常利用信道场强随时间和频率的变化特征来描述，其变化特征主要分为大尺度衰落和小尺度衰落2种［1-4］。

大尺度衰落描述了长距离 （几百米甚至更长）内接收信号强度的缓慢变化，这些变化是由发射天线和接收天线之间传播路径中的山脉或湖泊以及大的建筑物等影响造成的。一般来说，大尺度衰落与发送天线和接收天线之间的距离成反比，且不同的地区（城市、郊区和乡村）有不同的衰减因子。大尺度衰落可以用收发天线之间的距离及大的建筑物及山脉的阴影函数来表征。这种衰落主要发生在移动台和基站之间的移动距离和小区大小可以相比拟的情况下。大尺度衰落主要是用来描述收发天线间有较大距离变化时接收信号平均功率的变化规律。大尺度衰落可以通过天线分集和功率控制得到补偿，因此了解大尺度衰落对于移动通信中的传输技术和接收设备的选择有很大的意义。

小尺度衰落主要是由于收发天线之间的多径效应及多普勒频移作用的结果，其主要发生在收发天线之间有与载波波长相当的较小位置移动的情况下。小尺度衰落是由于同一传输信号沿2个或多个路径传播，以微小的时间差到达接收天线，不同路径到达信号相互干涉的结果，这些信号称为多径波。接收天线将它们合成一个幅度和相位都急剧变化的信号，其变化程度取决于多径波的强度、相对传播时间，以及传输信号的带宽。小尺度衰落主要用来描述无线电波在经过很短距离所产生的振幅、频率、相位、及多径时延的快速变化。对小尺度衰落的研究有利于提高通信系统的可靠性和有效性。小尺度衰落的3个效应表现为多普勒频移、相干带宽和相干时间。这也正是本文分析和研究的重点。

1 收发天线固定自由空间传播模型

从自由空间电磁波传输的角度分析收发天线固定的传播模型。由电磁场理论可知，自由空间中传播的电磁波是横波，其中电场E、磁场B和传播方向k三者互相垂直，且满足右手定则［5］，如图1所示。另外，电场和磁场的强度都是随时间变化的；电磁场可以脱离场源而存在和传播，具有独立存在的物质性。电场E和磁场B具有相同相位，两者变化同步、不可分割，它们的大小满足关系式：

其中c为常数。

由式（1）可知，只要得到电场或磁场中的任何一个就可以求出另外一个。下面主要分析电场的变化规律，同理可知磁场具有与电场相同的变化规律。

对于在自由空间传播的正弦信号s=cos2πft，可用式（2）表示在时刻t远处电场的场强大小[5]：

式中：（r,θ,φ）—需要测量电场的空间点m；r—点m与发射天线之间的距离；（θ,φ）—点m与发射天线之间的水平和垂直角度；αs（θ，φ，f）—发射天线在频率f方向（θ,φ）上的辐射模式，一般也将天线损耗比例因子考虑在内；c—常量大小与光束（3×108m/s）相等。

由式（2）可知，场强的相位是随着fr/c而变化的，很显然这是由于传播延时所引起的。容易看出，随着传播距离r的增加，电场强度以r-1速度衰减；则其单位面积上的能量以r-2衰减。可以将自由空间的电磁波传播看作是一个以发射天线为球心向外辐射的过程，这样随着传播距离r的增加球的表面积以r2增加，在传输总能量一定的情况下，单位球面接收到的能量以r2衰减。由于实际传播环境中收发之间存在有障碍物，因此实际的能量衰减要更快，业内的实际测量结果是接收能量随着传播距离的增加近似服从指数衰减规律。当发射天线给定时，其辐射模式是已知的，因此主要考虑其它因素引起的场强变化。如果当接收电线固定在空间点m时，可得到接收电场的表达式：

式中：α（θ,φ,f）—发送和接收天线在频率及f给定方向（θ,φ）上的模式的乘积。由于式（3）是在自由空间传播的情况下得出的，当将接收天线置于点m时会对周围的电场产生一定影响，一般将其一并考虑在接收天线模式范围之内。

假设接收点m给定时，给出定义：

由式（3）～（4）可得，

其中，Re(·)是取复数的实部操作。显然，发射和接收之间满足线性关系。通常称H（f）为线性时不变信道的系统函数，称其傅里叶反变换为信道冲击响应。

2 接收天线移动自由空间传播模型

图2所示的是发射天线固定、接收天线以速度v远离发射天线的场景。

在时刻t接收天线的位置可表示为代入式（3）可得

式（6）中，f（t-r0/c-vt/c）可改写为［f（1-v/c）t-fr0/c）］。由此可以看出，在发射端产生的是频率为f的正弦波，但是在接收端收到的是频率为f（1-v/c）的正弦波。这正是由于收发端的相对移动产生多普勒频移-fv/c的结果。

当接收天线移动到一个特定位置m（t）时，接收信号可以表示为

由式（7）可知，这时的信道不满足线性时不变的特性。当忽略式（7）中分母的变化时可以用多普勒频移的变化来表述系统信道特征。显然，当收发端相对移动速度v一定时，多普勒频移的大小取决于载波频率f。以上讨论都是基于相对移动展开的，所以当接收端固定发送端移动时结论依然成立。

3 收发天线固定全反射传播模型

电磁波在实际的传播过程中当遇到比其波长大得多的障碍物时，会发生反射现象［6］。考虑如图3所示的场景，电磁波从发送端有2条路径传送到达接收端，首先是直接经过一段距离r后到达接收端，还有一条是经过距离d后到达障碍物然后经过反射再到达接收端。

在接收端，可以将收到的信号看做是经过2条不同路径到达信号的叠加；则直接到达路径的传输距离为r，经过反射后到达路径的传输距离为（2d-r）。假设电磁波遇到的障碍物足够大，即电磁波在其表面发生全反射，则从障碍物返回的电磁波除了方向改变外其他没有任何变化。由式（3）可得接收电场的表达式：

由式（8）可知接收信号是2个频率为f的信号的叠加，且2个信号的相位差为

当2个信号的相位差为2π的整数倍时，叠加信号为2个信号相加，接收信号增强；相位差为π的奇数倍时，叠加信号为2个信号相减，接收信号减弱。由式（9）可知当传播距离（d-r）变化c/（4f）时，相位差Δθ变化π，相应的接收信号强度在一个波峰和波谷之间变化。由电磁场理论知，当正弦波以频率f传播时，传输波长λ为c/f，相应的可以给出相干距离的定义:

由以上分析可知，当传播距离的变化相对于Δxc很小时，在特定时间内可以将接收信号强度变化忽略。

另外，由式（9）可得，当（d-r）固定时，2个接收信号的相位差还取决于信号传输频率f；当f变化c/（4（d-r））时，相位差Δθ变化π，同样接收信号强度在一个波峰和波谷之间变化。电磁波经由不同路径到达接收端经过不同路径时，需要的传输时间也不同，定义其到达时间差为信道的延时扩展。

综上所述，当频率f的变化相对于1/Td较小时，由f的变化造成的接收信号强度变化可以忽略不计，这也正是在移动通信系统设计时所讲的相干带宽。

相干带宽反映了移动无线信道对信号包络的频率选择性衰减，根据信号带宽与多径信道相干带宽的关系，可以将信道分为平坦衰落和频率选择性衰落［7］。当信号带宽小于多径信道相干带宽时，由多径时延引起的衰落为平坦衰落，发射信号经过该信道到达接收端后其信号频谱可以得到保持。相反，当信号带宽大于多径信道相干带宽时，这时的信道为频率选择性衰落信道。从频域上观察，不同频率的信号成分经过该信道后会产生不同的衰落；从时域上分析，信道的多径时延扩展大于信号的符号周期，这时出现符号间干扰。这也正是进行通信系统设计时需要考虑的一个关键问题。

4 接收天线移动全反射传播模型

图3所示的是存在一条直接传播路径和一条全反射传播路径时，当接收天线沿着发射天线到障碍物路径，以速度v远离发射天线的场景。

设在时刻0时接收天线在空间的位置为r0，那么在时刻t天线的位置r为（r0+vt），接收端收到的信号为

式（12）中，等式右边第1项为直经传播路径到达接收端的信号，该信号的频率为f（1-v/c），相对于发射信号产生了一个多普勒频移：

同理，等式右边第2项为经过全反射到达接收端频率为f(1+v/c)的信号，相对于发射信号产生的多普勒频移为

通信中定义经过不同路径到达接收端的不同信号的多普勒频移差的最大值为多普勒频谱扩展，即

式中：Dm，Dn—第m，n条传播路径的多普勒频移，m≠n。得出多普勒频谱扩展为

在实际的移动通信系统中，单一频率的发送信号在经过时变多径信道后，由于多普勒频移的作用，在接收端会收到具有一定带宽的信号，这有时候又可以称为信道的频率弥散性［8］。类似的，可以利用相干时间来表征信道的变化快慢。相干时间定义为信道多普勒扩展的倒数，即

当接收天线距离反射障碍物的距离相对于距离发射天线的距离很近，且可以忽略时，由式（12）可知，等式右端2项的分母近似相等，在物理意义上说明直接到达信号和经过反射路径到达信号的强度基本相等；用

代替式（12）中第2项的分母，则

由式（15）可知，接收信号是2个正弦信号的乘积；一个信号的频率为在实际通信系统中载波的频率，大小一般在0.8～2.4 GHz；另一个信号的频率为

大小一般在20～100 Hz。当在发端发射一个强度不变、频率为f的恒定正弦信号时，则在收端会接收到一个如图4所示的信号。频率为f包络时变的信号，且该包络的周期一般为ms数量级，这个周期也正是前面提到的相干时间的概念。

5 应用实例分析

相干时间和相干带宽的概念对于移动通信系统中分集技术的设计和选用具有重要的理论指导意义。分集技术是抗衰落最有效措施之一，它是利用接收信号在结构上和统计上的不同特点来加以区分，并按一定原则进行合并处理实现抗衰落。

频率分集是利用位于不同频段的信号经衰落信道后在统计上的不相关特性，即不同频段衰落统计特性上的差异，实现抗衰落的功能。具体实现时可以将待发送的信息分别调制在频率不相关的载波上发射。所谓频率不相关的载波，是指不同载波之间的频率间隔Δf大于前面提到的相干带宽，即

例如，第二代移动通信中的IS-95与GSM采用的是800～900 MHz频段，典型的信道时延扩展时5ms左右，这时要想实现频率分集则要求载波间隔Δf应满足条件：

时间分集是利用时间上衰落统计特性上的差异来实现抗时间选择性衰落的功能，当取样点的时间间隔足够大时，则样点之间的衰落是统计上互不相关的。具体实现时，可以将待发送的信息每隔一定的时间间隔重复发送一次，只要这一时间间隔Δt大于前面提到的相干时间，即

例如，在WCDMA系统中当收发端的相对移动速度达300km/h时，最大多普勒频移为550Hz，这时要实现时间分集则要求相同信息的重复发送时间间隔Δt应满足条件：

6 小结

从空间电磁波信号传输的数学、物理模型角度出发，对空间移动无线信道的特征进行了分析。引出了移动通信系统设计时经常提到的多普勒频移、相干带宽和相干时间的概念，这也正是用来划分移动信道依据。根据信号带宽与多径信道相干带宽的关系，可以将信道划分为平坦衰落信道和频率选择性衰落信道；根据信号的符号周期和相干时间的关系，可以将时变信道划分为快衰落信道和慢衰落信道。

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Analysis of Mathematic and Physical Model for Mobile Wireless Channel

Wang Ru
（Department of Sciences,Hubei Automotive Industries Institute,Shiyan 442002,China）

The mathematic and physical model of the electromagnetic wave signal transmission was analyzed.The Doppler frequency shift,coherence bandwidth and coherence time in the mobile communication were presented.An application example of anti-fading diversity technology in the mobile communication system was given.

mobile communication;wireless channel;mathematic and physical model

O29：TN929.5

A

1008-5483（2011）01-0068-05

2011-02-16

王 茹(1979-)，女，河南驻马店人，硕士，从事应用数学研究。