二元机翼非线性颤振系统的若干分析方法

陈衍茂，刘济科， 孟 光

(1.上海交通大学 机械系统与振动国家重点实验室，上海 200024;2.中山大学 力学系，广州 510275)

颤振是一种复杂的自激振动，它是由于空气动力、弹性力和惯性力的相互作用而引起的一种动不稳定现象，是气动弹性力学这门跨越了结构力学、空气动力学和振动理论的交叉学科中最主要的问题之一［1］。在飞行器、高速车辆、大型桥梁及高层建筑等结构设计制造过程中，结构非线性的存在是不可避免的，如间隙、摩擦等。同时，由于结构的大变形，导致了另外一类非线性—几何非线性。随着飞行器结构的复杂化，非线性环节也越来越多，有时甚至是强非线性的，出现在诸如升力面、操纵面及外挂物联接处等，并经常以集中的强非线性形式出现。非线性因素的另一个来源是空气动力。这些非线性因素有时会显著地影响甚至从根本上改变系统的颤振特性，出现许多复杂非线性动力学现象。实践表明，飞行器、高速车辆、大型桥梁、高层建筑的研制工作都要为“过颤振关”而花费大量的人力、物力和财力，有时甚至因没有可行的方案而不得不修改技、战术要求。因此，非线性颤振既是科技发展带来的迫切需要解决的实际工程问题，又属于复杂系统响应这类前沿科学问题［2］，对其进行系统深入研究，无论在理论上还是工程实际方面都具有重要意义。

具有集中非线性环节的二元机翼颤振问题是非线性颤振研究的主要对象之一。它的研究对分析非线性颤振特性和揭示颤振机理具有重要意义，因此具有很高的理论意义并受到了研究者的重视。本文总结了非线性二元机翼颤振分析的若干定性和定量方法。

1 非线性颤振

非线性颤振分析是近几十年来逐渐被重视和发展起来的。这一方面是因为传统线性理论越来越不能适应带有非线性环节的颤振问题，另一方面则得益于非线性动力学理论的不断发展，为非线性颤振研究提供了强有力的分析工具。当气流速度增至高亚音速范围或结构存在非线性尤其是强非线性时，线性理论不能得到足够精确的分析结果，有时甚至导致完全错误的结论。非线性颤振系统可表现出丰富的动力学行为，常常出现极限环、分岔、混沌等复杂非线性现象［3］。

机翼，尤其是大展弦比机翼的非线性颤振研究主要有两种思路［4］。第一种是基于二元机翼模型的研究，即在翼展方向上将机翼近似看成等截面的，该截面被看成刚体因而只在俯仰和沉浮两个方向运动。另一种思路则将机翼看成一个整体，通过结构动力学(CSD)和计算流体力学(CFD)耦合计算得到机翼的气动力布局以及振动等特性。前者发展较早，可看成经典的颤振分析思路，后者则是近二十年内迅速发展起来的。二元机翼模型虽然与原型相差较大，但其研究相对简单，也有利于探讨各种颤振机理，因而在非线性颤振分析中仍占有重要的地位。基于CSD/CFD耦合计算的机翼颤振模型显然更符合实际，但研究难度非常大。得益于计算机技术的更新和先进计算方法的提出，基于CSD/CFD耦合的颤振分析也得到了长足的发展［4］。本文所涉及方法都是基于第一种研究思路而提出的。

基于二元机翼模型的非线性颤振研究可分为定性和定量分析两大类。定性研究的主要对象是系统的稳定性、局部分叉和分叉类型等，而定量研究则着眼于计算颤振的振幅、频率和相位等要素。定性研究是进行定量研究之前常用的步骤，其结果对定量研究有指导作用，如确定分岔点的位置有助于极限环计算时选择合适的系统参数。定量研究一方面可以验证某些定性结果，另一方面丰富了定性研究的对象，如极限环的稳定性是定量研究之后有待解决的定性问题。总之，定性和定量研究构成了非线性颤振分析的基本框架，都是不可缺少的。实际上，在很多情形下，两者之间并不存在明显的界限，在同一个问题中可能既有定性分析又有定量计算。以下分别从定性和定量两方面综述机翼非线性颤振的若干分析方法。这种分类只是为了表述方便。

2 定性方法

从发表的文献看，机翼非线性颤振的定性分析是近几年国内非线性颤振研究的一个热点。其中，Hopf分岔定理、中心流形理论以及正规型方法是常用定性分析方法。二元机翼模型是多自由度的，变换后由高维的一阶常微分方程表示，而有些分岔理论和正规型方法在高维系统中难以应用，因此在很多文献中，研究者先用中心流形将高维系统降维，也称中心流形约化。基于降维后的系统，刘济科等［5］分别应用后继函数法和形式级数法判别了分岔点的类型和稳定性。张琪昌等［6］将俯仰刚度系数和气流速度作为分岔参数，并应用后继函数法研究了立方非线性机翼颤振的局部分叉问题。张琪昌等［7］又结合后继函数法，规范型方法以及中心流形理论，研究了系统参数对极限环颤振的稳定性和幅值的影响。陈香和杨翊仁［8］对超音速气流中带结构非线性的颤振系统进行了定性分析，应用后继函数法判别了分叉点的类别和稳定性，并用Lyapunov第二方法分析了系统的超临界和亚临界Hopf分叉。不同于后继函数和形式级数判别法，陈衍茂和刘济科［9］采用了复数正规型方法研究了立方非线性颤振系统，不仅可以判别分岔点类型和稳定性，还能直观地判断分岔点附近极限环的稳定性。采用相同的方法，他们发现在特殊的参数组合下，立方非线性颤振系统存在既是超临界又是亚临界的Hopf分岔点，并用定量计算验证了所得结论［10］。

以上定性研究的基本思路都是中心流形降维加正规型方法。在研究立方非线性颤振系统时，郝淑英等［11］用中心流形降维之后没有采用正规型方法，而是应用谐波平衡法求得了极限环的振幅和频率。丁千和王冬立［12］则采用正规型方法直接研究了高维的颤振系统，得到了满意的结果。

除了中心流形理论和正规型方法，向量场分岔理论如Hopf分岔定理也是非线性颤振定性分析的有力工具。杨翊仁等采用向量场分岔理论分别研究了不可压缩流作用下机翼的 Hopf分岔［13］、余维二分岔性质［14］、以及外挂系统的分岔问题［15］。

文献［5－15］都是关于非线性颤振系统的局部定性性质，采用的方法也是动力系统定性研究最常用的几种。事实上，非线性颤振系统的定性研究还有更复杂的全局性质，如极限环稳定性、稳定性变换(stability reversal)等现象。这些定性性质的研究必须基于必要的定量结果。例如，Dessi和 Mastroddi［16］在研究带操纵面机翼的三维非线性颤振模型时，分别采用了Runge-Kutta法，打靶法和基于正规型的奇异摄动法，获得了极限环在稳定性变换附近的近似解析解。

3 定量方法

非线性颤振定量方法大致可分为解析法、半解析半数值法以及数值法。在解析方面，Lee等［17］从分析的角度提出了一种求解非线性颤振方程的方法。得益于现代计算方法的发展，数值积分方法如Runge-Kutta法和有限差分法是非线性颤振分析中常用的数值方法［3］。解析方法只在某些特定的情况下才有效［17］，方法推导也较为复杂，要求很高的数学技巧，因此其应用受到了很大的限制;另一方面，只从数值方面分析非线性颤振系统不利于探讨各参数等对颤振特性的影响规律。目前非线性颤振的定量方法多属于半数值半解析的范畴。本节从等效线性化法、描述函数法、谐波平衡法、点映射和胞映射方法、中心流形理论及其它方法的分类角度，评述了若干半解析半数值方法。

3.1 等效线性化法(Equivalent linearization method)

等效线性化法是非线性颤振分析常用的方法，其主要步骤是通过平均法或其它方法获得非线性刚度的等效线性刚度，从而获得原系统的等效系统并利用线性颤振分析方法求解。Liu和zhao［18］采用平均法获得了立方非线性刚度的等效刚度，提出了等效线性化法并用于分析立方非线性机翼颤振系统的分岔行为，获得了极限环颤振幅值，还能直观地判别其稳定性。另外，他们还用数值方法验证了等效线性化解的有效性。这一简便有效的方法被利用于分析超音速流中机翼的非线性颤振问题［19－20］以及二重半稳定极限环颤振［21］。Shahrzad和Mahzoon［22］的论文表明，等效线性化法不仅适用于定常气流作用下的机翼非线性颤振问题，对某些非定常流条件下的情形同样有效。

获得等效线性刚度的方法不局限于平均法。Yang［23］用KBM法获得了非线性刚度的高次等效量，采用等效线性化法分析了三角机翼和带外挂质量机翼的分岔问题，提高了计算精度，扩大了适应范围。另外，文献［23］的方法进一步被用于分析了二元机翼外挂系统的复杂响应［24］。陈衍茂和刘济科用Lim的方法［25］求得了立方非线性刚度的等效刚度，改进了等效线性化法的计算精度［26］。

需要指出的是，以上关于等效线性化法的文献处理的是仅含奇次非线性项的颤振系统。因为一阶的平均法对偶次非线性项无效，因而基于一阶平均法解的等效线性化法不能处理含偶次非线性的颤振系统［22］。当系统含有偶次非线性项时，非线性刚度的等效结果不含关于偶次非线性的信息。鉴于这一点，Chen和Liu［27］用Lim等的方法获得了二次非线性刚度的等效刚度，推广等效线性化法使之能分析含偶次非线性项的颤振系统。另外，由于等效线性化方法只能求解单个自由度含非线性环节的颤振系统，蔡铭应用优化方法将之推广至多个自由度含非线性的情形［28］。

3.2 描述函数法(Describing function method)

最早使用该方法分析机翼非线性颤振的是Woolston和Shen等人。Shen［29］研究了带结构非线性的控制面的颤振特性，Woolston［30］则通过比较了描述函数法解和数值解，验证了前者的有效性。Tang和Dowell［31］应用描述函数法研究了直升机叶片的非线性颤振，所得结果和数值计算及试验数据进行了比较。Brietbach［32］和 Lee 等［33］将描述函数法推广至含多个非线性环节的颤振系统，得到了与数值解吻合的半解析结果。

以上关于描述函数法的文献均采用了线性气动力公式，Ueda和Dowell［34］将该方法用于分析非线性气动力作用下二元机翼的颤振问题。他们首先采用描述函数法计算非线性气动力，带入颤振方程用该方法求解，分析了颤振幅值的变化。

3.3 谐波平衡法(Harmonic balance method)

谐波平衡法是非线性振动(包括非线性颤振)分析最常用的方法之一。它的基本思想是将解假设为关于时间的截断Fourier级数，通过谐波平衡过程获得关于Fourier系数的代数方程组，称为谐波平衡方程［35－36］。根据所用谐波数的多少，该方法分为一阶或高阶谐波平衡法。对于某些低维的非线性振动方程，能解析求出一阶或低阶谐波平衡解。因此在某些场合下，低阶的谐波平衡法可视为解析方法。然而对于大多数振动方程，谐波平衡方程含有非常复杂的非线性项，其解析解很难甚至无法确定，因而只能求得数值解。另一方面，谐波平衡解显含时间，且谐波平衡法可以获得数值方法不能求得的不稳定极限环(或周期)解。因此，谐波平衡法本质上属于半解析半数值方法。

Lee［37］以及李道春和向锦武等［38］用一阶谐波平衡法分析了二元机翼极限环颤振，推导了极限环频率的非线性代数方程组并求解，得到了近似解析解。一阶谐波平衡法、等效线性化法和描述函数法均只考虑一阶谐波，只能给出颤振极限环的粗略近似，其精度随着非线性刚度、极限环振幅或气流速度增加而显著降低，有时甚至完全失效。因此，学者们用高阶谐波平衡法求解了非线性颤振系统。在同一篇文章中，Lee等［37］分别求得了一阶和三阶谐波平衡解并进行了比较。同样求得了颤振极限环三阶谐波平衡解的有Ghadiri和Razi［39］，他们还通过线性颤振分析验证了用谐波平衡法预测分岔点的可靠性。Liu和Dowell［40］用谐波平衡法求解非线性颤振系统时发现，要获得该系统的二次Hopf分岔解至少需要考虑前9阶谐波。由于高阶谐波平衡方程往往含有非常复杂的非线性项，谐波平衡法解的获得随所考虑谐波数的增加而急剧变难，这极大地限制了该方法进一步的应用和推广。最近，Liu等［41］结合了时域法提出了一种新的谐波平衡方法，避免了直接求解高维的代数非线性方程组。该方法在非线性颤振分析中体现了较高的优越性，能轻松地获得高阶谐波平衡解［42］。

同样地，增量谐波平衡法也是为了避免直接求解复杂的谐波平衡方程而提出的一种半解析半数值方法［36］。除可容易获得高阶谐波平衡解外，该方法的另一个显著优点是可以通过主动增量过程获得一系列连续变化的解，便于分析参数对系统响应的影响。Raghothama和Narayanan［43］应用增量谐波平衡法研究了立方非线性机翼的极限环振动、倍周期分岔以及混沌等现象。Cai等人［44］将该方法用于分析了多个自由度含非线性环节的机翼颤振系统。Chen和Liu［45］采用极小值求解方法提出了一种获得谐波平衡方程数值解的近似方法，同样避免了直接求解谐波平衡方程，并用于计算了颤振系统的极限环解［46］。

用Jacobi椭圆函数代替三角函数表示振动解，采用谐波平衡过程获得平衡方程并求解是椭圆函数谐波平衡法的基本步骤［36］。由于多了一个待定参数，即椭圆函数的模，谐波平衡过程之后会出现平衡方程和待定量个数不相等的问题，因此长期以来该方法只能应用于较为简单的一维振动系统。Chen和Liu［47］将该方法推广至高维系统，并用之分析了带立方非线性俯仰(或沉浮)刚度的机翼颤振系统。

3.4 点映射(Point transformation method)和胞映射方法(Cell mapping method)

Liu等［48－49］应用点映射方法分别研究了带分段线性和滞后非线性的二元机翼颤振模型，不仅得到了系统的周期和倍周期解，同时获得了瞬态解和混沌解。无论是分段线性还是滞后非线性的情况，该方法都利用了系统具有分段非线性的特点，也就是说，系统在某一个局部参数范围内是线性的，从而在不同的参数范围应用线性振动理论求解，然后综合成系统完整的解。因此，目前来看，点映射方法只适应于分段非线性的颤振模型。与点映射方法类似的方法有胞映射法。Ding等人［50］首先改进了胞映射法，提高了计算效率，并用之分析了双线性的颤振模型，同样能得到周期解、倍周期和混沌解。该方法暂时也只在分段线性得以成功应用。

3.5 中心流形理论

中心流形定理是研究非线性动力学系统强有力的数学工具，适合分析光滑的常微分方程系统。该定理是为了分析定性性质而提出的，本质上还属于局部理论［51］。虽然如此，也有学者尝试用该方法来获得机翼强非线性颤振系统的某些定量性质。由于非定常气动力作用下机翼气动弹性系统中存在积分项，中心流形理论难以直接应用，Grzedzinski［52］推广了中心流形理论，使之能分析积分/微分方程，并用之求解了二元机翼颤振的极限环。后来，Lee等人［17］巧妙地引入了新变量将含有积分项的颤振系统变成只含微分算子。Liu等［53］直接应用中心流形理论求解了变换后的系统，得到了极限环振幅和频率的近似解。Ding和Wang［54］分析了超音速和高超音速流中二元机翼的颤振问题，首先通过三阶的活塞理论得到了含有非线性项的气动力公式，采用中心流形和正规形方法研究了该系统的稳定和不稳定极限环。一般来说，由于有严格的数学证明，中心流形理论的预测值是可信的。然而由于该理论的局部假设，也正如Grzedzinski［55］指出的那样，当参数变化较大时，该理论用于数值计算存在精确性和有效性的问题。

3.6 其它方法

针对二元机翼非线性颤振系统，Chung等提出了一种非线性颤振分析的摄动增量法，分别用于分析含双线性［56］和滞后非线性［57］的颤振系统。该方法可成功的预测系统的周期解、倍周期解、鞍结分岔以及Neimark-Sacker分岔等现象。不采用二元机翼假设，Shams等［58］则直接在翼展方向上采用Galerkin方法和模态综合法分析了整个机翼的极限环颤振。

近些年来，廖世俊［59］提出的同伦分析法在非线性领域得到了广泛的应用。它的本质是将非线性问题转换为一系列的线性子问题，因此，只要解的展开级数收敛，就可以很容易地获得高精度的解。Chen和Liu分别应用该方法求解了定常气动力［60］和非定常气动力［61］作用下的立方非线性颤振模型，获得了非常精确的极限环解。

4 评述和展望

非线性颤振系统分岔点定性研究的复数正规型方法是根据微分方程定性理论推导出来的。该方法的特点之一是能得到分岔方程的局部解析式，因而能同时判别分岔点的类型和极限环振动的稳定性。和分岔点类型判别的其它方法(如后继函数法和形式级数法)一样，复数正规型方法首先用中心流形将高维系统降维，不同的是，复数正规型判别法可以分析分岔参数附近的局部稳定性，即系统在分岔点附件长出的极限环的稳定性。另外，这种方法并没有考虑颤振系统的特殊性，因而可用于分析更一般的非线性振动。向量场定性理论经过了严格的数学证明，因而其非线性颤振的定性分析结果是可信的，可以用来验证某些新方法。但是，这类方法的最大缺陷是局部性假设，只在小参数范围内有效。

等效线性化法是一种简便、高效的解析方法，其特点是能得到解析的分岔方程。由于其解析特点，等效线性化法首先可以揭示系统的分岔点，而且可以直观地判别极限环的稳定性。改进的等效线性化法继承了这些优点，而且可以给出更精确的解，其计算精度不随风速增大而显著降低。无论对含二次非线性环节的单自由度振动系统还是高维的非线性颤振系统，等效线性化法都失效。为消除该缺陷推广的方法可以同时处理含偶次和奇次非线性的振动系统。总的来说，改进或推广的等效线性化法既能得到较精确的定量结果，还继承了可以判断极限环的稳定性的优点。虽然利用优化的思想可以将等效线性化法推广至多自由度含非线性环节的颤振情形，但也增加了误差来源，结果也待进一步验证。因此，该类方法的不足之一是原则上只能处理一个自由度含非线性环节的颤振系统。另外，其精度相比于高阶谐波平衡解及同伦分析解也有不足。

谐波平衡法、椭圆函数谐波平衡法非常适合求解强非线性振动系统。考虑到这点，我们推广了椭圆函数谐波平衡法，使之能用于求解二自由度的强非线性颤振系统［47］。但客观地说，该方法虽然原理简单，但推导和计算过程复杂，而且只适应于含单个非线性环节的颤振系统。谐波平衡法在求解非线性颤振系统时具有原理清晰、步骤简单的优点，受到了很多研究者的青睐。但谐波平衡方程随所考虑谐波数的迅速复杂化使得该方法非常难以求解。增量谐波平衡法为非线性颤振分析提供了强有力的工具，该方法的潜力有望进一步挖掘，优点将更加明显。另外，基于谐波平衡法和极小值求解技术提出的方法有效地避免了直接求解复杂的谐波平衡方程，若引入增量过程，可望提供一种可以控制迭代收敛的新的增量方法。

同伦分析法在非线性颤振分析中的应用和推广表现出了精度高的巨大优点。事实上，只需增加循环次数，极限环颤振的同伦分析解可以计算至任意精度。这一点和谐波平衡法就截然不同，同时也使得该方法特别适合计算机求解。但和增量谐波平衡法相比，同伦分析解暂时只能求单个的解，不具有后者能求一系列解的优点，因而不利于探讨参数对颤振特性的影响规律。将增量过程和同伦分析法结合以提出更高效的颤振求解工具也是值得研究的。

与增量谐波平衡法类似，摄动增量法也有增量过程，因此有望提出另外一种适于分析参数影响规律的方法。然而，和大多数摄动法一样，它受到了小参数的限制，不利于在强非线性颤振系统种进一步发展。其它几种方法如点映射和胞映射法、定量分析的中心流形理论等也是非线性颤振定量分析的有益尝试和补充。

机翼非线性颤振是典型的自激振动，表现出了十分丰富的非线性动力学行为。对此进行深入研究既是机翼设计和制造的需要，也是认清和利用非线性现象的必要一环。另一方面，和其它非线性问题一样，非线性颤振问题没有统一的处理方法，需要具体问题具体分析。更确切地说，对应于不同的非线性现象有不同的研究思路和处理技巧。因此，发展更多更强大的定性和定量分析方法势在必行。本文所评述的各种方法具有各自的优缺点，同时也有不同的适应范围和限制条件。它们是不能相互替代和包含的，只有联合应用、取长补短才能在非线性、尤其是强非线性颤振分析中发挥更重要的作用，才能争取处理更多的颤振问题，提供更精确更科学的结果。

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