与函数有关的高考试题分析

2011-02-02钱建英来国平长河高级中学浙江杭州310052

中学教研(数学) 2011年4期

关键词：考试题单调导数

●钱建英来国平 (长河高级中学浙江杭州 310052)

与函数有关的高考试题分析

●钱建英来国平 (长河高级中学浙江杭州 310052)

1 考试要求

1．1 注重对函数基本知识的考查

主要考查函数的基本概念、基本性质和基本的计算、解题方法，多属于函数部分的基本练习或课本上题目的变形与创新，体现高考数学试题源于课本的命题原则．

1．2 注重对函数主干知识的考查

为了突出函数在中学数学中的主线地位，在每年的新课程高考试题中，除考查纯函数的知识外，函数方程的思想在其他试题中体现得淋漓尽致．

1．3 突出以函数为主的综合应用

函数与方程、数列、不等式、导数、解析几何、立体几何等的相互渗透和交叉一直是高考的热点，并且常考常新．

2 考点回顾

函数是高考数学中极为重要的内容．函数概念反映了现实世界中变量间的相互依存、相互制约的变化规律，函数的观点和方法是高中数学研究的对象，同时本身就是数学中常用的一种思想方法，广泛地渗透到高中数学学习的全过程及其他各学科中．同时函数又是学习高等数学的基础，内容极为丰富．纵观近几年的高考试题发现，函数(不含三角函数)在选择、填空、解答这3种题型中都有出现，占全卷的20%左右．既有容易题，又有中档题与难题．近几年的高考着重考查了二次函数(方程、零点)、分段函数、图像与性质、函数的单调性、最值、导数的运算、导数的应用、不等式等重要知识，以及等价转化、方程思想、数形结合、分类讨论等重要的数学思想方法，对学生综合运用所学知识分析和解决问题能力的要求较高．

3 命题热点及生长点情况

近年来，有关函数内容的高考命题特点是:

(1)全方位:在近几年的高考题中，函数的所有知识点都考过，虽然不强调知识点的覆盖率，但每一年函数知识点的覆盖率依然没有减少．

(2)多层次:在每年的高考题中，低档、中档、高档难度的函数题都有，且选择、填空、解答题型齐全．低档题一般仅涉及函数本身的内容，如定义域、值域、单调性、周期性、图像、反函数(要求降低)，且对能力的要求不高;中、高档题多为综合程度较大的问题，或者是函数与其他知识结合，或者是多种方法的渗透．

(3)巧综合:为了突出函数在中学中的重要地位，近几年来高考强化了函数对其他知识的渗透，加大了以函数为载体的多种方法、多种能力的综合程度，特别是函数、导数及其知识的综合应用．

(4)变角度:出于“立意”和“创新”的需要，函数试题设置问题的角度和方式也不断创新．重视函数思想的考查集中体现了函数与方程、数形结合、分类讨论等的思想方法．函数的类型较多，概念、公式较多，具有较强的综合性，从而使函数考题显得新颖、生动、灵活．

4 典例剖析

4．1 函数在选择题、填空题中的考查类型

(1)从函数的概念及性质出发．

评注本题主要考查了函数的概念、定义域、值域、图像和对数函数的相关知识点，对数学素养有较高要求，体现了对能力的考查，属中档题．

(2)从函数的类型出发．

评注本题主要考查对数的单调性、对数的基本运算及分类讨论思想，属中档题．

图1

评注本题考查的是数形结合的思想方法．

4．2 函数在解答题中的考查类型

(1)函数与导数的结合，既求函数的极值与最值，又考查函数的单调性．

综上所述，f(x)在区间( －1，1］和［7，+∞)上是增函数，在区间(1，3］和［3，7)上是减函数．

评注此题属中档题，主要考查了导数的几何意义、用导数的知识求极值、函数的单调性．

(2)函数应用题与综合应用题考查的是学生的建模能力．

例5如图2，县城A和B相距20 km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所

选地点到城市的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记点C到城A的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y．统计调查表明:垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4;对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k．当垃圾处理厂建在的中点时，对城A和城B的总影响度为0．065．

(1)将y表示成x的函数．