人教版“条件概率”探究引例的随机模拟设计

●刘红霞 (平湖中学 浙江嘉兴 314200) ●龚 雷 (杭州市第九中学 浙江杭州 310020)

人教版“条件概率”探究引例的随机模拟设计

●刘红霞 (平湖中学 浙江嘉兴 314200) ●龚 雷 (杭州市第九中学 浙江杭州 310020)

在人教版教材必修3中学生学习了电脑随机模拟方法，针对人教版教材选修2-3(本文所提到的教材均指人教版教材)中“条件概率”一节的一个探究引例:

3张奖券中只有一张能中奖，现分别由3名同学无放回地抽取，问最后一名同学抽到中奖奖券的概率是否比前2名同学小．

学生很自然地提出了这样一个问题:能否用随机模拟方法验证这一问题?可惜教材对此只字未提．笔者曾就此问题与一些数学教师讨论过，有不少数学教师并不能独立设计出用EXCEL进行随机模拟的方法，这直接引发了笔者写作本文的冲动．

将3张奖券分别编号为0，1，2，并规定0号为中奖券．第1位同学的随机结果很容易模拟，在EXCEL中用函数INT(3*RAND())即可生成{0，1，2}中一个随机数(以下用A表示此数)．这里的RAND()是一个随机函数，生成区间(0，1)上的连续型随机数(实质上仍是离散的);INT()是取整函数(教材中介绍的整数型随机函数RANDBETWEEN()在EXCEL的典型安装方案中一般没有装入，所以这里采用这2个更基本的函数，使得这个方法更具普适性)．这些内容学生在必修3中都已经有所接触．

如何模拟第2位同学的摸奖结果?这是一个难点．用函数INT(2*RAND())(以下用D表示此数)可以模拟在剩下2张中任取一张的2种结果，但这并不是其抽到的真实号码．我们可以这样来理解，在第1位同学抽取以后，剩下的奖券按原来次序重新编号为0和1，而随机数D正是这个重新编号以后的号码．这样一来，能否还原这2张奖券的原先号码就成为解决这个问题的关键．通过分析不难发现:原号码B与新号码D之间满足函数关系:

在EXCEL中，可利用逻辑函数“=IF(A1＜=D1，1，0)”来实现这一函数，其含义是:当 A1≤D1时取1，否则取0．

1 随机模拟的基本思路和方法

解决了第2位同学的模拟，最后一位就不再复杂了，可以利用“3位同学的奖号总和为3”这一规律来设计．于是，就得到了用EXCEL进行随机模拟的基本思路和方法，具体操作如下:

(1)在A1单元格输入“=INT(3*RAND())”;

(2)在D1单元格输入“=INT(2*RAND())”;

(3)在E1 单元格输入“=IF(A1 ＜ =D1，1，0)”;

(4)在B1单元格输入“=C1+E1”;

(5)在C1单元格输入“=3－A1－B1”;

(6)选中A1:E1区域，利用复制句柄将其复制N行，得N次随机试验，表1为20次随机试验的结果．

接下来只需利用EXCEL的统计和计算功能计算频数和频率即可，这里不再赘述．

表1 20次随机试验的结果

2 条件概率公式在此随机模拟中的直观解释

这个随机模拟过程可以较为直观解释为什么第2位学生的中奖概率不是而是．事实上，虽然D列中0的频率接近于，但这并不全部都是真正的中奖券．例如当第1位同学抽到0号签时，剩下的号签都进行了重新编号，1号改成了0号．因此当且仅当A列不为0时，D列的0号签才是B列的0号签．例如在表1中，D列共有9个0，接近，但其中第9，11，17次试验对应的 A列是0，此时中奖签已经被第1位同学抽取，D列的0并不是第2位同学抽取的真实签号，第2位同学抽取的真实号签是1，所以B列中0的个数为6，接近．我们可以按对应的 A列取值{0，1，2}，将其分为3类，这3类基本上是平均分布的．其中对应于A列取值为1和2的2类才是真正的中奖券．因此D列中真正的中奖券频率约为:×=．这恰好印证了条件概率公式:

3 随机模拟结果的精致化

随机模拟只能用频率来近似估计概率，控制随机误差的唯一方法是增加试验次数．虽然电脑模拟使得增加试验次数并不困难，但这也同时带来了对精度的进一步追求．从某种意义上来讲，单凭这样的随机模拟要让学生相信“3位同学的获奖概率都一样”这个结论没有太大的说服力．

解决这个问题可以从2条思路考虑:一是从改进这个随机模拟方法的角度思考;一是从结合其他解题思路(例如教材上的用古典概型的概率计算公式分析)．后者不是本文所要论述的问题，这里着重研究一下前面这个思路．

我们知道，频率在概率附近摆动，而且随着试验次数的增多，频率越接近概率．但这并不是说200次试验所得的频率值一定比100次试验所得的频率值更接近概率．在教材必修3中采用了用折线图方法反映随着试验次数增加频率的变化趋势．我们这里也可以采用这种方法把随机模拟的结果更精致化(如表2)．

表2 中奖频率和中奖频数

据此画出如图1所示的折线图就能很清晰地说明了3个频率越来越接近的趋势:

图1

4 不是题外话

曾经有一位教育家说过:“如果学生没有按照我们教的方法去学，那么我们就按照学生学的方法来教”．有些教师喜欢让学生按照自己教的方法学，很少注意到改进自己的教学方法以适应学生学的方法．这正是新课程改革所期望改变的．

在学习理解概率的过程中，电脑随机模拟方法虽然不见得是所有学生都喜爱的方法，但肯定是部分学生所喜欢的，可惜有一些教师没有认真体会新课程理念，没有给这一部分学生以足够的关注．这大概也就是“关注平均分”与“关注学生个性”之间的不同点之一吧?本文也无非就是对这种教育理念的一次实践．的极线为x=－t．抛物线在点A处的切线与极线x=－t交于点N，过点N作直线AP的垂线MN，垂足为M，则直线MN恒过x轴上的一个定点Q，且点M的轨迹是以PQ为直径的圆(点Q除外)．

故直线MN通过x轴上一点Q(p－t，0)．

当x1=t时，MN的方程为y=0，显然直线MN过 x轴上一点 Q(p－t，0)．

因为t是定值，所以Q(p－t，0)为x轴上的一定点，故直线MN恒过x轴上一定点Q(p－t，0)．

由于P，Q 是 2个定点，且∠PMQ=90°，因此点M的轨迹是以PQ为直径的圆(点Q除外)．