直驱轮毂式永磁无刷电动机气隙磁场解析数值法分析

李春江，卢铁斌，章跃进

(上海大学，上海200072)

0 引 言

直驱式外转子电机具有转速低、转矩大、磁极较多等特点，将电机与负载直接相连，省去变速齿轮箱，同时由于采用永磁体代替电励磁功率密度增大，不需要滑环和电刷，使其结构简单更易于维护，运行更加可靠。采用表面磁钢式结构无凸极效应，转矩控制较平稳。分数槽技术是减小齿槽定位转矩的重要方法［1］，定子槽距接近极距，有利于采用单槽集中绕组，工艺较简单。

永磁电机磁场分析方法主要有解析法和数值方法。文献［2］较早提出基于极坐标标量磁位表示的表贴式径向充磁永磁电机的解析法。但解析法在计算开槽磁场时，需要引入根据保角变换得到的复杂的相对磁导函数［3］。数值分析法有边界元法、有限差分法、有限元法等，尤其以基于加权余量法的伽辽金有限元法使用较为广泛［4］，目前有限元法研究的热点为耦合电机电路方程、计及运行时间变化的有限元时步法［5－6］。纯粹使用有限元方法计算永磁电机磁场需要对整个电机根据其对称条件做合理的网格剖分，一次得到的网格与节点数据量较大，计算时需要解庞大的方程组，计算进程缓慢，且运动时定转子相对位置改变，气隙网格质量会变差，需要专门的技术处理。为减少计算时间，方便电机转动时的磁场计算，文献［7］提出并验证了在气隙磁场使用解析法与在定转子磁场使用有限元法的结合法的正确性，文献［8］在标量磁位下进一步将计算区域缩小到一个等效槽域，利用解析法计算的结果作为等效槽域数值计算的边界条件，拟合出定转子铁心表面磁位的傅里叶分解系数修正开槽影响，文献［9］和文献［10］用解析法与差分法结合分别在标量磁位与矢量位下计算了电机的齿槽定位转矩。

本文是基于上述方法的发展，在矢量磁位下将四节点等参数有限元引入扩展槽区域数值计算，在对槽进行剖分时采用实际槽型，并将永磁体做等效处理，使其与实际情况更加接近。在程序中加入判断条件，一次运行即可完成任意转动步长下任意定转子相对位置时的解析法计算、数值计算场域自动剖分修正、边界条件给定、场域数值计算与后处理，提高了计算过程的自动化水平。最后根据此方法计算了直驱式外转子电机的空载感应电势，并与电机实验波形对比，验证了本方法的有效性和正确性。

1 定子未开槽时解析法磁场计算原理

径向磁化的瓦片式永磁体的磁化强度矢量可以按电机的电角度周期作傅里叶展开式［2］:

首先假设电机不受开槽因素影响，电机未开槽情况下磁场满足以下极坐标矢量磁位方程:

由分离变量法得到磁场的通解:

其中Rs、Rr、Rm分别为电机内定子铁轭气隙表面半径、转子铁轭半径、永磁体气隙表面半径。

可求得 AⅠn，BⅠn，CⅠn，DⅠn，AⅡn，BⅡn，CⅡn，DⅡn表达式，代入通解中，结合不同位置的半径和角度可得到未开槽时永磁体与气隙中任一节点磁位值。

2 扩展槽区域数值计算

按照槽距宽度将槽和槽上的永磁体、气隙划分为一个个扩展槽区域，扩展槽区域的个数与电机槽数相同。并将槽上永磁体和气隙部分划分成一个气隙区域，气隙区域是扩展槽区域的一部分，如图1所示。

图1 实际电机部分结构示意与区域等效模型

四边形等参数元素有限元法采用含有二次项的双线性插值函数，比采用线性插值函数的差分法计算在磁场分布较集中区域精度有所提高，更加适合应用于扩展槽区域磁场的数值计算。在规则的扩展槽区域中采用四边形剖分较三角形剖分编号处理简洁，呈现较强的规律性，因此采用四边形等参数元素有限元法计算扩展槽区域的磁场。

按照定子未开槽时解析法磁场计算获得等效气隙区域两侧边界处的磁位，作为扩展槽区域数值计算的第一类边界条件，扩展槽区域与定转子铁轭交界面的自然边界为第二类边界条件。对扩展槽区域进行自动剖分与修正后，节点与网格信息以非零数据压缩模式存储，按网格对节点的贡献在程序中自动形成基于等参元差值函数的离散方程组。

2.1 扩展槽区域自动剖分

本结构采用径向磁化瓦片式拼圆的外转子结构，故所有扩展槽区域的形状均相同，初次剖分的节点与网格信息也可以相同，因此只需对一个扩展槽区域进行初次剖分。以后计算过程中每个扩展槽区域磁场共同使用一套网格、节点编号与坐标位置。

在对扩展槽区域进行四边形初次剖分时，按照永磁体、气隙、槽区进行径向分段，每段按照磁场的可能分布情况给定不同的网格层数，对槽内区域和槽口上气隙与永磁体区域每层切向等分，将相同的等分点连接，两侧定子齿下部分也分别另行等分，这样便完成对扩展槽区域的初次剖分。采用这种剖分方式可以方便地调节在磁场变化较大的气隙与槽口部分区域的网格密度。剖分网格大小的渐进过渡及与正四边形的近似度取决于每段所分层数和每层的等分点个数。剖分生成的网格编号、节点编号及节点坐标位置均具有严格的数学上的对应性，便于自动剖分和后续对永磁体等效面电流边界做修正及数值计算。

2.2 永磁体等效与网格修正

本文在场域计算中加入了对永磁体等效边界的处理。当稀土永磁材料在易磁化方向充磁至饱和后，磁体内的等效体电流密度Jm=0，而在与充磁方向平行的永磁体边界面上等效分布着一层面电流且面电流密度大小［11］:

式中:υ1为永磁材料磁阻系数;M1为永磁体磁化强度。每个永磁体边界面等效面电流均应分别给定，如图2所示。

图2 永磁体等效面电流分布

永磁体边界面电流条件等效为第二类边界条件，在有限元计算中面电流交界面处需强制剖分为网格边，因此对初次等参元网格剖分做修正。分数槽电机每个扩展槽区域中永磁体边界所在位置均不同，由于存在槽数比极数大的情况，在有些扩展槽域中也可能没有永磁体边界。在程序中对每个永磁体边界和扩展槽域边界编号，根据电机旋转角度和未转动前每个永磁体边与参考中线的相对位置得出每个永磁体边转动后的新位置，然后判断此位置所属的扩展槽域，计算与此扩展槽域两边界的角度差，由角度差判断所需要修正的网格。比较永磁体边界位置与此网格左右两边的角度差，以永磁体边界位置作为该网格与其距离最近的边的新位置，对该网格进行修正，如图3所示。

图3 四边形等参元网格剖分修正

将此边界条件对节点的贡献与扩展槽区域一般网格对节点贡献总体合成为统一的单元刚度矩阵，采用共轭梯度法求解得到区域中各节点磁位。

3 磁链与感应电势计算［13］

电机转动时转子永磁体和定子槽相对位置改变，定子槽中磁位值随之变化，绕组中匝链磁通的变化，在绕组中产生感应电势。采用前述方法选定一个较小相对位置变化作为运动时的计算步长，计算每步运动时各扩展槽区域的磁场分布，计算每个槽磁链，按绕组分布求出每相绕组磁链，得到转动位置与每相绕组磁链的分布关系，用傅里叶级数将离散点拟合成光滑曲线，结合电机转动角速度将位置与磁链关系转换为时间与磁链的关系，对时间求导即得到每相感应电势曲线。经过此方法处理可以得到动态的磁链和感应电势波形曲线。

在对每个小四边形网格求磁链时由于网格被剖分为任意形状的凸四边形，不易用统一的公式求面积，将网格划分为两个三角形，如图4所示，并对整体磁链公式进行修正。

图4 剖分网格拆分

属于某一相的线圈区域共有k个，属于绕组正相带的取“+”号，属于负相带的取“－”号，Ai、Aj、Ak、Am为一个单元内四个节点的磁位，将四边形单元e分割为三角形e1和e2，Se1和Se2分别为其面积，Swind为一个线圈区域内所有单元面积之和。N为电机线圈总匝数，a为并联支路数，Lef为电机轴向有效长度。式(9)求出的磁链ψl为一相绕组在转子转动到θl位置时的磁链。让转子旋转一个电周期即可得到完整的磁链和感应电势波形。

4 计算实例

三相直驱式分数槽外转子永磁电机主要参数:极对数11，槽数24，额定功率2 kW，额定转速950 r/min，内定子外径165mm，外转子外径190mm，内径166.2mm，气隙0.6mm，磁钢高度 4.9mm，磁钢宽度16.36°，瓦片形磁钢拚圆结构，径向充磁，绕线方式集中式单层绕组。绕组分布如图5所示。

计算过程如图6所示，只需在计算开始前给定电机基本参数和控制参数，整个计算过程通过软件自动处理，全程不需人为干预。从图7中磁力线在永磁体边界处的分布情况可以看出对永磁体进行面电流等效更加接近电机实际情况，也验证了对网格剖分进行修正的准确性。对比图8与图9的相感应电势的计算波形和实验波形可以看出，两者的波形周期相同，变化趋势相同，幅值略大于实验值，满足工程需要。图8较图9谐波分量所占比例有所偏差，这源于在数值计算中将气隙区与永磁体区划分为同一等效区域，未对不同材料单独处理，对槽内计算结果有所影响;以及在转子转动到永磁体边界与扩展槽区域边界接近时为保证等参元迭代计算收敛不再对边界网格进行修正并舍去该永磁体边界面电流补偿，这也将引入谐波;计算中空气区域磁场计算未考虑铁心对其的影响作用，假设铁心磁导率为无穷大，这与实际磁路饱和情况有差异。

5 结 语

本文在对直驱式分数槽外转子电机磁场进行解析数值结合法分析中采用实际槽型，将解析法和四边形等参数有限元计算方法相结合，用解析法取得扩展槽区域第一类边界条件，对规则的扩展槽区域进行四边形剖分和等参元计算，实现开槽，这样就反映了开槽对电机的影响。考虑了永磁体边界对磁场的作用，加入边界面电流对永磁体进行等效。按照永磁体运动及与扩展槽区域边界位置变化规律，实时修正网格形状，实现转子以任意步长转动，所有转动状态的边界条件加载和磁场计算均在一次运算过程中完成，操作更加方便。将所求得的三相直驱式分数槽外转子永磁电机感应电势计算波形与实验波形进行比较，证明此方法具有可行性，在计算精度方面仍需进一步改进。

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