一个企业养老金数学模型

朱莹，李建龙，张生华

(扬州职业大学，江苏扬州225009)

目前，我国养老保险改革正处于过渡期，存在一些缺口和入不敷出等问题[1，2]。有社保专家呼吁，养老制度亟待改革，不然不出五年，全国都将陷入“缩水”窘境[3]。对于此类课题，许多学者都给出了最新的研究[4－7]。

2011建模比赛要求对未来中国经济发展和工资增长的形势做出最简单合理的假设，并提供了相关附件，首先，预测从2011年至2035年的山东省职工的年平均工资。并计算2009年该企业各年龄段职工工资与该企业平均工资之比。其次，考虑该企业职工自2000年起分别从30岁，40岁开始缴纳养老保险，一直缴费到退休(55岁，60岁，65岁)，计算各种情况下的养老金替代率。然后，再假设该企业某职工自2000年起从30岁开始缴纳养老保险，一直缴费到退休(55岁，60岁，65岁)，并从退休后一直领取养老金，至75岁死亡。计算养老保险基金的缺口情况，并计算该职工到多少岁时，其缴存的养老保险基金与其领取的养老金达到收支平衡。最后，提出如果既要达到目标替代率，又要维持养老保险基金收支平衡，可以采取什么措施，并给出理由。

建模时假设存款利率统一设定为3%。假设养老金都是到75岁时停止发放。不考虑金钱贬值的情况，不考虑意外情况，即意外死亡。

1 模型的建立与求解

1.1 对往年GDP增长率与工资增长率分析

表1 中国GDP增长率与山东省的平均工资增长率

相比于之前12%至13%的GDP高增速，目前中国经济增速已逐步放缓，并慢慢回归到正常水平，从长远来看，中国经济在未来20年至30年还可保持大约7%的增长速度[8]。首先，分析历年GDP增长率与山东省工资增长率的关系(见表1)，由表中数据知1978年—2010年中国GDP平均增长率为9.5%。然后对未来中国经济发展和工资增长的形式作出了简化的假设:中国未来经济的发展渐趋稳定，GDP增长率保持在8.5%～10.5%之间(排除巨大风险和危机的发生)，而工资也在经济稳步增长的环境下平稳上升并达到一个稳定值，此后，工资将不再上涨，只在其稳定值附近波动。

1.2 模型建立与求解

建模问题一中让我们预测2011年－2035年的山东省职工的年平均工资，因为时间跨度不大，根据图1中1978年－2010年GDP增长率与每年工资增长率散点拟合图，用近似二次函数来表示GDP增长率与山东省每年平均工资的关系:

图1 GDP增长率与每年工资增长率散点图

即y=ax2+bx+c，其中x表示GDP增长率;y表示每年平均工资增长率。

所以y=417.03x2－82.91x+4.27(1)

由表1可以预测2011年—2035年的山东省GDP增长率，再根据方程(1)可以预测2011年—2035年的平均工资增长率和职工的年平均工资，见表2。

1.3 替代率的计算

替代率关系到养老金的收支能否平衡以及养老金的缺口的大小，所以，替代率是否合理对于有关决策部门来说具有非常重要的作用。替代率中一个重要参数，即本人指数化月平均缴费工资。比赛原题给出了反映“本人指数化月平均缴费工资”指标的计算公式为:

公式中，x1，x2，…，xm为参保人员退休前1年、2年、…、m年本人缴费工资额;c1，c2，…，cm为参保人员退休前1年、2年、…、m年全国、省、地市“职工平均工资”或称“社会平均工资”;n为企业和职工实际缴纳基本养老保险费的月数合计;为退休前第i年的缴费指数，i=1，…，m。

表2 2011年－2035年山东省职工年平均工资

根据表3求出各年龄段职工工资与该企业平均工资之比，再据表2的数据，计算替代率:

其中:C表示全省上年度的平均工资;S表示本人指数化平均工资;N表示职工退休前累计缴费年数;K2表示个人帐户的缴费比例;Wi表示第i年份在职职工的月缴费工资;r表示个人帐户记帐利率养老金收益率。

职工从30岁开始缴纳养老保险，针对前言所述三种退休情况，替代率分别为:

职工从40岁开始缴纳养老保险，针对前言所述三种退休情况，替代率分别为:

1.4 养老保险基金收支平衡精算计算

由社会统筹账户和个人账户相结合的现行统一基本养老保险制度可建立如下精算模型[9，10]:

养老保险费收入=月平均工资总额×缴费率=企业缴纳的社会统筹基金(20%)+个人缴纳的个人账户基金(8%)

表3 2009年山东省某企业各年龄段职工工资情况分析

用公式可以表示为:

式中:Wj为第j年份在职职工的月平均缴费工资;k1和k2分别为社会统筹账户和缴费比例与个人账户的缴费比例。

基本养老金支付:基础养老金=(参保人员退休时当地上年度在岗职工月平均工资+本人指数化月平均缴费工资)/2×缴费年限×1%(缴费年限须满15年)

个人账户养老金=个人账户储存额/国家规定的计发月数用公式可以表示为:

如果不考虑隐形性债务问题，养老保险收支平衡是以缴费期的收入满足若干年后退休养老金的支付。设养老金收支平衡的目标期为n年，n年期间社会养老金“收支平衡”可表示为各年养老金积累额的期末终值等于零。则

总收入为:

其中E为国家规定的个人帐户计发月数。

当总收入与总支出相等时，即达到收支平衡，从而得出n。于是分三种情况讨论得到n1=11，n2=16，n3=26.在这个环节模型的选取是比较合适的。

1.5 关于养老保险缺口情况的计算

设此人直到75死亡，缺口额为H。养老保险缺口额等于总支出减去总收入，即:

分三种状况，得到养老保险的缺口额分别为

2 模型的结果与分析

控制替代率和维持收支平衡是一对矛盾，如果单纯考虑降低养老金的增长率，或是提升工资的增长率，将养老金增长率控制在较低水平，养老金计划的支出仍随着工资增长而快速增长。所以，调整养老金增长率是无法降低替代率水平以防止陷入收支失衡的。基础养老金的替代率中包含工作年限这一参数，除非调整退休年龄，否则该参数是由劳动者职业生涯决策决定的，通过降低平均工作年限来降低替代率会产生另外两种连锁效应，即参保人缴费年限降低和领取养老金年限延长。事实上，这两种效应比替代率下降效应更为显著，反而会导致养老基金收支进一步恶化。由于我国目前退休年龄过低，已经严重影响到公共养老金计划的可持续运行，因此平均工作年限实际上应该增加。

如果只考虑替代率降低反而使其收支缺口进一步加大;如果只是延长缴纳保险金的时间，或是一味的将退休年龄推迟的话，将会导致收支平衡的暂时维持，但替代率却加大了。替代率高了，提高了退休职工的生活水准，但养老保险收支平衡将很难维持。我们建模原题要求替代率接近于目标58.5%。假设GDP维持在9.5%左右，经过综合考虑拟出了如下解决方案:

第一，随着GDP的增长，工资增长率也在稳中有升，要想达到目标替代率和收支平衡，在本题解决方案中就是确定一个参考数据组，其替代率接近于目标替代率58.5%。由于GDP维持在9.5%左右，其工资增长率也随之波动不大，如果目标替代率过低，可以适当延长退休的年限，加大养老保险的投入力度，也可适当提高养老保险的利率来达到目标替代率与收支平衡。如果目标替代率过高，可以在适当的范围内减少缴纳养老保险的年限或是国家调控减少养老保险的利率，将替代率与收支平衡情况调整到一定范围内。

第二，随着人们生活水平的提高和退休年龄的推后，替代率也在逐步的升高，养老保险的收支平衡较难维持，会出现养老保险入不敷出现象。目前我国的替代率明显偏高，需要降低。同时，在缴纳养老保险时，也应适当的增加缴纳金额和延长退休年龄，增加参险时间。另外还可以提高企业的工资水平，结合参险者自身的工资水平和退休年龄做一份自我情况的分析，从而制定更好的养老保险金方案。

[1]吕志勇，王霞，张良.新政策下养老保险基金收支平衡精算模型的相关因素分析[J].山东大学学报，2009(1):101－109.

[2]剑舞歌吟.中国未来GDP最新预测[EB/OL].[2011-09-11].http://bbs.city.tianya.cn/tianyacity/content/333/1/112640.shtml.

[3]黎然.辽宁养老金改革受挫十年重回原点[EB/OL].[2011-09-12].http://www.eeo.com.cn/2011/0812/208651.shtml.

[4]穆怀中，邹丽丽.养老金统筹层次提高中的计发基数研究——以辽宁省为例[J].社会保障研究，2010(1):3－9.

[5]陆安，骆正清.个人账户养老金缺口的精算模型与实证研究[J].数学的实践与认识，2010(24):33－38.

[6]塞尔瓦托·巴邦思.中国非凡的增长时代即将结束[N].环球时报，2011-09-11.

[7]方烨.2025中国经济世界第一5年内居民收入翻番[N].经济参考报，2011-09-07.

[8]樊纲.中国未来经济增速放缓将有利于其经济发展[EB/OL].[2011-09-12].http://www.gov.cn.

[9]王茶香.养老保险金中的精算分析[J]，统计与决策，2005(10下):96－97.

[10]李社环.我国基本养老金精算假设的实证分析[J].预测，2008(6):30－34.