自锚式悬索桥空间缆索系统的求解方法

彭 苗

(厦门理工学院 土木工程与建筑系， 福建 厦门 361024)

1 概 述

空间缆索自锚式悬索桥是近年来出现的一种新型结构形式，由空间主缆和倾斜的吊索组成。主缆和吊索均为只受拉悬链线柔索，在荷载作用下表现出较强的空间几何非线性。设计时给出了主缆在梁端和桥塔顶部的节点坐标、吊索在梁上的锚固节点坐标、以及跨中点的竖向坐标，对于其他主缆节点的空间坐标均为未知，从而吊索长度也为未知变量。由于索的几何非线性，主缆的坐标位置有无穷多组解存在，同时对应着不同的内力值。本文讨论了自锚式悬索桥空间缆索的求解方法，以确定主缆、吊索的空间位置和内力。

2 单索的悬链线理论

设计试算时，一般先假设主缆和吊索的截面积，其自重集度是已知量；倾斜吊索下端承受的桥面集中竖向分力已知，但水平分力未知。吊索及两吊索之间的主缆段均假定为其自身平面内的悬链线索，根据悬链线理论[1]：

(1)

图1 单索的悬链线方程

3 递推-迭代计算流程

主缆在加劲梁或主塔鞍座的理论交点坐标以及主跨跨中某点的垂度值或竖向坐标作为设计指标预先拟定，吊索间距也可事先拟定。另外，由于各吊索的下端竖向力分量已知，主跨的主缆即具备了完备求解条件。总体而言，主跨主缆求解的已知条件有：主缆、吊索的材料、截面等特性；吊索在加劲梁上的下锚点坐标(AXi,AYi,AZi)，顺桥向的吊杆间距d=AXi+1-AXi；主缆在首、末两端的理论交点或锚固点坐标(X1,Y1,Z1)和(Xn,Yn,Zn)，其中下标“1”代表首端点，“n”代表末端点；主缆在跨中已知垂度值点的竖向坐标Zsag；各吊索的下端竖向力分量Fiz。

截取中跨主缆为隔离体，其受力平衡如图2所示。图中，TXi、TYi、TZi分别代表主缆张力在三个坐标轴OX、OY、OZ上的分量，PYi、PZi分别代表主缆受到的吊杆张力的横向和竖向分量，q为主缆自重集度。如果给定一组首端主缆张力TX1、TY1、TZ1，则可以逐步递推至末端得到各段主缆的线形和内力值。如果恰好能够满足末端点的坐标和已知垂度点的竖向坐标，说明TX1、TY1、TZ1就是要求的未知张力，则主缆的线形即被确定下来。

图2 主缆受力平衡示意图

为此，提出如下分段悬链线的递推-迭代计算方法[2]：

(5)计算下一主缆节点坐标：

(7)计算第i+1段索的左端点三个分力，

(8)按上述(1)～(7)方法连续递推计算直至主缆末端点n；

(2)

其中el为允许偏差，一般取1×10-3即可满足要求。

按上述计算流程，即可确定满足要求的主跨主缆线形。

4 求解策略

所述的主缆线形迭代流程，实际上提出了以主缆首端张力分量TX1、TY1、TZ1为控制变量，以(Zsag，Yn，Zn)为目标的多元非线性函数优化求解问题。由于实际问题的确定性，可用以下函数关系表示为：

F(TX1，TY1，TZ1)=U

(3)

其中：

F(TX1,TY1,TZ1)=(f1,f2,f3),U=(ZsagYnZn)T，fj=fj(TX1,TY1,TZ1),(j=1,2,3)代表上述递推关系。

式(3)无明显表达式，令：

Ψ(TX1,TY1,TZ1)=F-U=0；

(4)

(5)

故式(4)改写为线性方程

(6)

令

(7)

式(6)化为

(8)

由此得到迭代求解格式

(9)

式中，k代表迭代次数。由于fj表达式未知，应用数值方式求解Jk。Jk代表切线矩阵，实际上只能得到割线矩阵以近似代替切线矩阵。该矩阵的计算方法是：

(3)由上步结果计算矩阵Jk的第一列元素：

(10)

同理可计算Jk的其它元素。

矩阵Jk确定以后，即可按式(9)计算迭代变量。上述步骤实际上构造了牛顿类迭代格式的求解方法，迭代过程中使用了割线矩阵Jk。在对不同结构布置的空间主缆悬索桥计算中发现，如果结构具有对称形式，在每个迭代步中使用变化的割线矩阵Jk，能够很快收敛到精确解。但当主缆的布置在顺桥向不对称时，割线矩阵Jk易出现奇异，此时用不变的割线矩阵J0代入求解，计算过程稳定且仍然能够较快的收敛于精确解。

5 算 例

根据上述理论，编制了空间主缆线形计算程序。该程序不仅适用于具有空间主缆和吊索形式的悬索桥，也适用于平面缆索形式的悬索桥。下面给出永宗大桥的算例。永宗大桥是世界上第一座具有空间缆索形式的公铁两用自锚式悬索桥。该桥长550 m，中跨为300 m，两边跨各为125 m。主缆和吊索采用空间布置，主缆间距在塔顶为3.0 m，在主跨跨中处为30.142 m，在边跨锚点处为34.858 m。吊杆在横桥向倾斜，顺桥向无倾斜。桥面竖曲线半径为14472 m，下锚点之间的横向距离为31.92 m。

主缆在中跨跨中垂度为60 m。主缆在边跨的锚点坐标、主塔顶的IP点坐标以及吊索下端在加劲梁上的锚点坐标和竖向力均为已知。采用变割线矩阵和不变割线矩阵求解方法均可以很快收敛。表1给出了计算主缆节点坐标和原设计坐标的对比，其中X、Y、Z分别代表顺桥向、横桥向、竖向坐标值。由表中数值可见，本文计算值与原设计值符合程度较好。根据本文所述方法计算出来的坐标值，Y向最大差别为0.015 m，Z向最大差别为0.011 m。产生差异的原因是少数设计参数取值以及计算方法不同。由此可以证明本文所述方法及程序是正确的。

表1 主缆节点坐标 m

6 结 语

本文以单索的悬链线方程为基础，根据自锚式悬索桥空间缆索系统的受力平衡，提出了空间主缆和吊索的线形和内力的递推-迭代计算流程，并采用数值方式形成割线矩阵近似代替切线矩阵，构造牛顿类迭代格式进行求解。通过永宗大桥的算例验证表明了该计算方法是可行的，计算结果误差较小，可用于类似悬索桥空间主缆和吊索的几何位形和内力的求解。

[1] Irvine H M. Cable Structures[M]. Cambridge：The MIT Press, 1981.

[2] 彭 苗, 卢哲安. 空间缆索自锚式悬索桥成桥状态的确定方法[J]. 公路交通科技, 2008，(11):101-104.

[3] Kim H K, Lee M J, Chang S P. Non-linear shape-finding analysis of a self-anchored suspension bridge[J]. Engineering Structures， 2002, 24(12): 1547-1559.

[4] 李传习, 夏桂云. 大跨度桥梁结构计算理论[M]. 北京: 人民交通出版社, 2002.

[5] 罗喜恒, 肖汝诚, 项海帆. 空间缆索悬索桥的主缆线形分析[J]. 同济大学学报(自然科学版), 2004, 32(10): 1349-1354.