极限函数与和函数的关系及其连续性

杨传森

（盐城纺织职业技术学院，江苏 盐城224005）

极限函数与和函数的关系及其连续性

杨传森

（盐城纺织职业技术学院，江苏 盐城224005）

给出极限函数与和函数的定义．讨论了极限函数与和函数之间的关系，利用极限函数得到函数项级数收敛的一个必要条件，研究了极限函数与和函数的连续性，得到部分和函数列连续的一个充分条件．

极限函数；和函数；关系；连续性

1 极限函数与和函数

1．1 连续函数列与部分和函数列对函数列 ｛fn（x）｝：f1（x），f2（x），…，fn（x），…（x∈D）而言，∀x0∈D ，数列｛fn（x0）｝可能收敛，也可能发散［1］．数集D中使得数列 ｛fn（x0）｝收敛的实数x0组成的数集A称为函数列 ｛fn（x）｝的收敛域．

若∀x∈D，函数fi（x）（i＝1，2，…）都连续，则称函数列｛fn（x）｝为数集D上的连续函数列．部

分和函数列 ｛sn（x）｝：

1．2 极限函数与和函数

定义1 若函数列 ｛fn（x）｝的收敛域为A，则对 ∀x∈A都有limfn（x）＝f（x），称函数f（x）（x∈

n→∞A）为函数列｛f（x）｝的极限函数．

定义2 称函数列｛sn（x）｝的收敛域I为级数的收敛域．函数列 ｛sn（x）｝的极限函数s（x）（x∈I）为级数

2 极限函数与和函数的关系

结论1 若和函数在数集I上存在，则极限函数在数集I上存在且为零．

证明 若和函数在数集I上存在，则函数列 ｛sn（x）｝在数集I上收敛于s（x），即有limsn（x）＝s（x），

n→∞

结论2 和函数的定义域I包含于极限函数的定义域A，即I⊆A．

3 极限函数与和函数的连续性

［1］ 郑利凯．连续函数列的极限函数需要满足的充分条件和必要条件 ［J］．河北北方学院学报：自然科学版，2011，27（02）：1－2

［2］ 焦宏伟，尹景本．复变函数与积分变换 ［M］．北京：北京大学出版社，2007：63

［3］ Walter Rudin著，赵慈庚，蒋铎译．数学分析原理 ［M］．北京：机械工业出版社，2004：134

［4］ 同济大学数学系．高等数学 ［M］．北京：高等教育出版社，2007：294－295

［5］ 常庚哲、史济怀．数学分析教程 （上册）［M］．北京：高等教育出版社，2003：407

［6］ Н．Н．Лузин著，何旭初等译．实变函数论 ［M］．北京：高等教育出版社，1954：59

Relation and Continuity of Limit Function and Sum Function

YANG Chuan－sen
（Yancheng College of Textile Technology，Yancheng 224005，Jiangsu，China）

This paper gives the definitions of the limit function and the sum function and discusses the relation between them．And the continuity of the limit function and the sum function are discussed．The necessary condition for convergent series is obtained by using limit function and the continuity of the limit function and the sum function is discussed as well．Finally the sufficient condition for a sequence of the continuous partial sums of the series is got．

limit function；sum function；relation；continuity

O 173．1

A

1673－1492 （2011）06－0005－02

来稿日期：2011－09－10

杨传森（1964－），男，江苏兴化人，盐城纺织职业技术学院数学教研室讲师．

刘守义 英文编辑：刘彦哲］