轴向流动中可移动弹性支承黏弹性圆柱体的动力特性

张波

(陕西理工学院土木工程与建筑系，陕西汉中 723001)

轴向流动中可移动弹性支承黏弹性圆柱体的动力特性

张波

(陕西理工学院土木工程与建筑系，陕西汉中 723001)

分析了轴向流动中可移动弹性支承对黏弹性圆柱体动力特性的影响。以弹性支承点为分界点，分段建立了运动微分方程，同时还建立满足支承点处的连续条件。应用微分求积法导出其特征方程，运用Matlab语言编程求解黏弹性圆柱体在轴向流动中的前三阶复频率，对可移动弹性支承的弹簧刚度和支承点位置对圆柱体动力特性的影响进行了分析。

动力特性 轴向流动 黏弹性圆柱体 可移动弹性支承

1 圆柱绕流问题

物体绕流是日常生活和工程实际中普遍存在的现象，圆柱绕流问题也是流体力学的经典研究课题，在许多实际工程问题中有非常重要的意义。例如，航天工业、发电和送变电工程(桥梁、建筑物、烟囱)、架空电缆以及海底技术等，经常会遇到旋涡脱落诱发的流体动力载荷和结构振动问题。然而国内外学者大部分都是从弹性或刚性圆柱体的角度来研究流体诱发振动问题的［1-2］，但是，实际上像塑料、橡胶、混凝土以及金属等工业材料，岩石、土壤、石油、矿物等地质材料，常同时具有弹性和黏性两种不同机理的形变，综合体现黏性流体和弹性固体两者的特性，很少有人从黏弹性材料的角度出发来研究这个问题。本文是在前人研究成果的基础之上，研究了轴向流动中可移动弹性支承的弹簧刚度和支承点位置对黏弹性圆柱体动力特性的影响。

2 黏弹性圆柱体的特征方程

如图1所示，在x=x1处有一个可移动弹性支承的黏弹性圆柱体。假定圆柱体的运动全部限制在x—y平面内，其材料服从Kelvin模型［3-4］，即

式中，σ为正应力，e为线应变，E为弹性模量，η为黏性系数。

图1 轴向流动中具有可移动弹性支承黏弹性圆柱体

设两端的线弹簧刚度分别为k1和k2，转动弹簧刚度分别为c1和c2;y为圆柱体挠度;m为圆柱体单位长度质量;ma为圆柱体单位长度附加质量(ma=ρVCm，其中ρ为流体密度，V是圆柱体的体积，Cm为附加质量系数);u为流动速度;EI为抗弯刚度;D为圆柱体直径;l为圆柱体长度，将该圆柱体分成两段，即［x0，x1］，［x1，x2］，其中x0=0，x2=l，设每段对应的挠度函数为yi(x，t)(i=1，2)，则各段的运动微分方程为

式中，CT为圆柱体纵向阻力系数;CN为圆柱体横向阻力系数;Cv为有效黏性阻力系数;γ为常数(圆柱体下游受支承时γ=1，下游端自由或弹性支承时γ=0)，是自由端的形状阻力系数，T0为初始轴向拉力。

支承处连续条件为

式中，k为可移动弹性支承的弹簧刚度。

引入无量纲量，求得具有可移动弹性支承的Kelvin模型黏弹性圆柱体在轴向流动中的无量纲振型微分方程为

式中，β为质量比;v为无量纲流动速度;α为无量纲延滞时间;ω为圆柱体无量纲复频率。

相应的边界条件为

支承处连续条件为

本文采用δ法(取δ=10－5)处理边界条件，网点的布置为

采用微分求积法［5］，可以得到方程(4)的模拟方程

边界条件的模拟方程为

支承处连续条件的模拟方程为

从式(8)、(9)和(10)可以得到

矩阵［K］，［G］，［I］(［I］为(N－4)×(N－4)阶单位矩阵)中含有无量纲延滞时间、无量纲流速等参数，式(11)构成了广义特征值问题。

轴向流动中具有可移动弹性支承的Kelvin模型黏弹性圆柱体的特征方程为

3 结果与分析

从方程(4)可以发现，当无量纲延滞时间α=0时，方程就退化为具有可移动支承的弹性圆柱体在轴向流动中的流体诱发振动方程。当支承处无量纲线弹簧刚度a→∞时，方程就退化为Kelvin模型黏弹性圆柱体在轴向流动中的流体诱发振动方程。

图2(a)～图2(c)分别给出了无量纲延滞时间α =0.01，质量比β=0.1，两端同时有线弹簧(无量纲线弹簧刚度ɑ=0.1)支承和转动弹簧支承(无量纲转动弹簧刚度b=0.1)的条件下，中间有不同刚度(无量纲刚度分别取从0.01到100之间的数值)的线弹簧支承(支承位置相同，ζ1=0.5)时，Kelvin模型圆柱体的前三阶模态无量纲复频率ω的实部及虚部与无量纲流速v之间的关系图。图2(d)给出了两端同时有线弹簧(无量纲线弹簧刚度a=0.1)支承和转动弹簧支承(无量纲转动弹簧刚度b=0.1)，中间有弹簧刚度(无量纲线弹簧刚度a=1)线弹簧支承的条件下，线弹簧支承位置ζ1=0.1时，Kelvin模型圆柱体的前三阶模态无量纲复频率ω的实部及虚部与无量纲流速v之间的关系图。

从图2(a)可以看出在中间支承无量纲线弹簧刚度a=0.01时:在v=3.91时，第一阶模态发生发散，在v=5.34时又恢复稳定;第二阶模态在v=8.68处发散，在v=8.78处又恢复稳定;第三阶模态在v<9的范围内一直处于稳定状态。

从图2(b)可以看出在中间支承无量纲线弹簧刚度a=1时:第一阶模态在v=3.89处发散，在v=5.3时又恢复稳定状态;第二阶模态在v=8.58处发散，在v=8.8时又恢复稳定状态;第三阶模态在v<9的范围内一直处于稳定状态。

图2 无量纲流速与前三阶模态的无量纲复频率的实部及虚部的关系曲线

从图2(c)可以看出在中间支承无量纲线弹簧刚度a=100时:第一阶模态在v<9的范围内一直处于稳定状态;第二阶模态在v=1.231处发散，在v=8.47处又恢复稳定。同第一阶模态相同，第三阶模态在v <9的范围内一直处于稳定状态。

从图2(d)可以看出当线弹簧支承位置ζ1=0.1时:第一阶模态在v=3.986处发散，在v=6.48时恢复稳定状态;在v<9的范围内，第二阶模态和第三阶模态一直处于稳定状态。

4 结语

从以上的分析可以得到，当中间支承线弹簧的刚度和支承位置不同时，圆柱体的动力特性也存在很大的不同。刚度的影响主要随着中间支承无量纲线弹簧刚度的增加，第一阶模态首次发散的临界无量纲流速增加，而第二阶模态首次发散的临界流速却是减小。在无量纲流速v=0时，随着中间支承无量纲线弹簧刚度的增加，第一阶模态复频率的实部和虚部都是逐渐减小，但是第二阶模态和第三阶模态复频率的实部和虚部都是逐渐增加的。而支承位置的影响在于，第一阶模态复频率的实部和虚部越接近中间位置，数值越来越小，但是第二阶模态和第三阶模态却相反。

［1］KANG H S，SONG K N，KIM H K，et al.Axial-Flow-Induced Vibration for a Rod Supported by Translation Springs at Both Ends［J］.Nuclear Engineering and Design，2003(220):83-90.

［2］ZHOU C Y，SO R M C and LAM K.Vortex-Induced Vibration of an Elastic Circular Cylinder［J］.Journal of Fluids and Structure，1999(13):165-189.

［3］杨挺青.黏弹性力学［M］.武汉:华中理工大学出版社，1990.

［4］倪振华.振动力学［M］.西安:西安交通大学出版社，1989.［5］王鑫伟.微分求积法在结构力学中的应用［J］.力学进展，1995，25(2):232-240

TU502+6

A

1003-1995(2011)02-0127-04

2010-08-27;

2010-12-18

张波(1976—)，男，陕西■阳人，讲师，硕士。

(责任审编 王天威)