一个涉及无理式的不等式

罗 钊,王挽澜,姚 勇

(1.成都大学图书馆,四川成都 610106;2.成都大学信息科学与技术学院,四川成都 610106; 3.中国科学院成都计算机应用研究所,四川成都 610041)

我们在文献[1]中发现一个颇为有趣的命题及其证明:

命题 如果 ai≥0,i=1,2,…,n,则,

这里,an+1= a1.

在文献[2]中,我们将其作为例子引用.然而,当本文第二作者拟给出另一证明时,发现若想小改动而保留证明,则应修改条件ai≥0为ai≥1.当拙见通知一些朋友时,我们之间展开了一番有效的研讨.其结论是,就尽可能完美而言,宜于进而考究等式条件并将论证修补如下.

定理1 如果 ai＞0,i=1,…,n,那么不等式(1)成立,等式条件为,ai+1+ai= ai+1ai,ai≥1,i =1,…,n.

可得,

情况1 当 ai≥1时,则,

情况2 当0＜ai＜1时,即a-i1＞1,也即2a-i1＞2,则,

基于上面两种情况的考究,不等式(1)成立.

第二证明 为了清楚与方便,我们依然将其分为两种情况论述.

所以,

所以,

综上,不等式(1)成立.

注释1 相关的,我们可考究x,y＞1时,方程x+y=xy的解集.换言之,上面问题等价于考究X-Y平面上第一象限的单位正方形区域,S1:= {(x,y)||x|≤1;|y|≤1}之外,是否存在区域, S:={(x,y)|x＞1,y＞1,x+y=xy}.就几何意义言之,如果存在这样的点集,则它正好是平面,z =x+y,与马鞍面,z=xy,的空间交线双曲线的一部分,该部分在 X-Y平面上的投影是完全在第一象限内的那一支(如图1,渐近线 x=1的右边的实曲线).

图1 双曲线在 X·-Y平面投影

综上,使得不等式(2)取等号的,ai≥1,i=1,…,n,是双曲线之右支实曲线上点的坐标,即(ai, ai+1)或(ai+1,ai),这里,ai≥1,i=1,…,n.值得注意的是,这种等式条件是颇有趣的一种!

注释2 虽然第二证明并不简明于第一证明,但三角代换带来的变形还是颇为有趣的.或许这正是当初文献[1]采用此方法的缘由.此外,通过尝试,使用其他有别于上述的三角代换依然奏效!

定理2 如果,ai＞0,i=1,…,n,且p≥2,那么成立不等式,

这里,an+1= a1.

事实上,使用上述几乎为平行的叙述可以论证不等式(3).

[1]王向东,苏化明,王方权.不等式·理论·方法[M].郑州:河南教育出版社,1994.

[2]王挽澜.建立不等式的方法[M].哈尔滨:哈尔滨工业大学出版社,2011.