关于线性变换的一点注记

2011-01-04陈彦恒贾松芳

重庆三峡学院学报 2011年3期

关键词：基底结论线性

陈彦恒贾松芳

（重庆三峡学院数学与统计学院，重庆万州 404100）

1 线性变换的定义

定义设V是数域F上的一个线性空间，则V到自身的映射A称为V上的一个变换.若A还满足：对于V中的任意元素α，β和数域F中任意数k，都有

则称A是V上的一个线性变换.

从线性变换的定义我们很容易知道：线性变换保持线性组合和线性关系式不变，即若β是α1，α2，L， αγ的线性组合 β=k1α1+k2α2+…+ krαr,k1, k2,… ,kr∈F ，则

又若k1α1+ k2α2+…+ krαr=0，则

2 线性变换在一组基上的作用

（1）设α1，α2，L，αn是数域F上的线性空间V的一个基底，A是V上的一个线性变换.V中任意向量β在基α1，α2，L，αn下的坐标是（χ1，χ2，L，χn），即

于是

这就说明了，只要确定了线性变换在一个基底下的象，线性空间中任何向量的象也随之确定.（2）假如B也是V上的一个线性变换，且

则有

这就说明了，若两个线性变换在同一个基底上的作用相同，则这两个线性变换是相同的.

综合（1）和（2）可得结论：线性空间上的线性变换完全被它在一个基上的作用唯一确定.根据这一结论，我们建立了在同一个基底下，线性空间V上线性变换与V中n元有序向量组之间的一一对应关系，进而有更深刻的结论，即

定理1 若α1，α2，L，αn是数域F上的线性空间V的一个基底，β1，β2，L，βn是V中的任意n个向量，则存在唯一的线性变换A，使得

特别的，若β1，β2，L，βn也是V的一个基底，那么线性变换A是可逆的.

证明设β=χ1α1+χ2α2+L+χnαn使V中的任一个向量.则构造V上的变换V：

容易证明A是线性的，且满足A（αi）=B（αi），i=1，2，L，n，即线性变换V满足要求.其唯一性可由（2）知.

定理1有一个比较强的条件，即要求α1，α2，L，αn是V的一个基底.如果α1，α2，L，αn也是V中的任意n个向量，那么是否存在V的线性变换V，使得

Α (αi) = βi,i = 1,2,… ,n呢?答案是肯定的，下面我们来推广定理1.

3 定理1的推广

引理1 若α1，α2，L，αm是数域F上的n（m≤n）维线性空间 V的一个线性无关组，β1，β2，L，βm是V中的任意m个向量，则存在线性变换A，使得

由定理1知，A是V的一个线性变换，且满足A（αi）=Bi，i=1，2，L，m.

注：若m＜n，则满足A（αi）=Bi，i=1，2，L，m的线性变换A不在被唯一确定.例如设α1=（1，0，0），α2=（0，1，0），α3=（0，0，1），与β1=（-1，1，1），β2=（1，0，1），β3=（0，1，1）是 F3上的两个基底.由引理1知满足

变换A，B是F3上的线性变换，且A（αi）=B（αi）=Bi，i=1，2.但显然A≠B，因为B可逆，A不可逆.

证明若αi=0，i=1，2，L，n，则由假设条件知Bi=0，i=1，2，L，n.即定理结论对V上任何线性变换都是成立的.

则存在V的线性变换A，使得

若α1，α2，L，αn不全为零向量，则α1，α2，L，αn存在极大线性无关组.可以对向量组α1，α2，L，αn重新排序，使得向量组的前r个向量为α1，α2，L，αn的极大线性无关组，同时β1，β2，L，βn的顺序也做对应调整.因此，为了方便不妨设α1，α2，L，αr（r≤n）是α1，α2，L，αn的极大线性无关组.将其扩充为V的一个基底α1，α2，L，αr，εr+1，εr+2，L，εn.由引理1知，存在V的一个线性变换A满足