指数函数与对数函数图像的两类交点

高焕江

(邢台医学高等专科学校数学教研室,河北 邢台 054000)

指数函数与对数函数图像的两类交点

高焕江

(邢台医学高等专科学校数学教研室,河北 邢台 054000)

用分析方法讨论两个与指数函数、对数函数有密切联系的函数的性质,给出了同底指数函数与对数函数图像的两类交点的存在性证明,从一个新的角度揭示指数曲线与对数曲线的位置关系.

指数函数;对数函数;导数;斜率;交点

根据指数函数与对数函数的性质可知,指数曲线y=ax与对数曲线y=logax(a＞0且a≠1)的交点可以分为两类:一类在直线y=x上,一类关于直线y=x对称.

1 第一类交点

由指数函数和对数函数的性质可知,指数曲线y=ax与对数曲线y=logax在直线y=x上有无交点取决于方程ax=x(x＞0)有无实数根,并且有交点时交点的个数取决于方程ax=x(x＞0)的实数根个数.为考察方程ax=x有无实数根以及有实数根时有几个实数根,对方程式ax=x两边取对数,得xlna=lnx,即有从而问题转化为讨论函数在区间上的(0,+∞)性态.

当0＜x＜e时,f΄(x)＞0,曲线f(x)在区间(0,e)内单调上升;当x＞e时,f΄(x)＜0,曲线f(x)在区间(0,+∞)内单调下降;从而f΄(x)在x=e处取得极大值f(e)=ee-1(因为x0是f(x)在区间(0,+∞)内的唯一驻点,此极小值也是最小值).

由以上讨论即知:

(1)当a＞ee-1时,直线y=a与曲线无交点,从而方程无实数解,此时曲线y=ax与y=logax在直线y=x上无交点.

(2)当a=ee-1时,直线y=a与曲线有且只有一个交点,从而方程有唯一实数根,此时曲线y=ax与y=logax在直线y=x上有唯一交点,更进一步还可知y=(ee-1)x与y=elnx的这个唯一交点为(e,e),两曲线在点(e,e)处的斜率都是1,故a=ee-1时两曲线相切于直线y=x.

(3)当1＜a＜ee-1时,直线y=a与曲线有两个交点,一个交点在区间(0,e)内,另一个在区间(e,+∞)内,方程有两个实数根,此时曲线y=ax与曲线y=logax在直线y=x上有两个交点.

2 第二类交点

2.1 引理及其推论

函数q(x)=xax(lna)2(x＞0)是指数函数y=ax的导函数y′=axlna与对数y=logax(x＞0)的导函数y′=的商,通过对这个函数的研究可以揭示对数曲线上某一点的斜率与指数曲线上对应点的斜率之间的关系.

引理若0＜a＜1,则q(x)=xax(lna)2(x＞0)具有如下性质:在区间(0,logae-1)内单调增加,在区间(logae-1,+∞)内单调减小,在x0=logae-1处取得最大值q(x0)=-e-1lna;图像在区间(0,logae-2)上是凸的,在区间(logae-2,+∞)上是凹的,拐点为值域为区间(0,-e-1lna].

证明q(x)=xax(lna)2(x＞0)的导数q′(x)=(lna)2(ax+xaxlna)=ax(lna)2(1+xlna)(x＞0).

令q′(x)=0,此方程在0＜a＜1时存在唯一实数根,解得驻点

q"(x)=ax(lna)3(2+xlna),令q"(x)=0,此方程在0＜a＜1时存在唯一实数根,解得logae-2.

当0＜a＜1时,函数q(x)=xax(lna)2(x＞0)的示意图如图1所示.

推论Ⅰ当e-e＜a＜1时,对数曲线y=logax上任一点的斜率都小于指数曲线y=ax上对应点的斜率.

这是因为,当e-e＜a＜1时,-e＜lna＜0,0＜-e-1lna＜1,说明在区间(0,+∞)内q(x)的最大值是一个小于1的正数,故对任意x＞0都有0＜q(x)＜1,即0＜xax(lna)2,由xlna＜0,得

推论Ⅱ当a=e-e时对数曲线y=logax上除点以外的任一点的斜率都小于指数曲线y=ax上对应点的斜率.

这是因为,当a=e-e时,lna=-e,-e-1lna=1,说明在区间(0,+∞)内q(x)的最大值是1(此时q(x)的最大值在处取得,y=logax在处的函数值是故对任意x＞0且都有0＜q(x)＜1,即0＜xax(lna)2＜1,由xlna＜0,得

推论Ⅲ当0＜a＜e-e时,对数曲线y=logax与指数曲线y=ax仅在两个特定点x1、x2处的斜率相等;曲线y=logax在区间(0,x1)和(x2,+∞)内任一点的斜率都小于曲线y=ax上对应点的斜率;曲线y=logax在区间(x1,x2)内任一点的斜率都大于曲线y=ax上对应点的斜率.其中x1、x2是方程xax(lna)2=1的两个不等实数根,且

证明当0＜a＜e-e时,lna＜-e,-e-1lna＞1,这说明q(x)=Xax(lna)2(x＞0)在区间(0,+∞)内的最大值是一个大于1的正数.

令q(x)=1,即xax(lna)2=1,由引理知q(x)在区间(0,logae-1)内单调增加,函数值的取值范围是区间(0,-e-1lna);q(x)在区间(logae-1,+∞)内单调减小,函数值的取值范围也是区间(0,-e-1lna);据此可知方程xax(lna)2=1在区间(0,logae-1)内存在一个实数根(记为x1);在区间(logae-1,+∞)内存在另一个实根(记为x2).当x=x1或x2时当x1＜x＜x2时xax(lna)2＞1,由xlna＜0,得当0＜x＜x1或x＞x2时0＜xax(lna)2＜1,由xlna＜0,得

2.2 第二类交点的存在性

前已证明,当0＜a＜1时曲线y=ax与曲线y=logax在直线y=x上有且只有一个交点(第一类交点).

令axlna=-1,当0＜a＜1时此方程存在唯一实数根x0=loga(logae-1).这说明指数曲线y=ax在点(loga(logae-1),logae-1)处的斜率为-1.相应地,对数曲线y=logax在点(logae-1,loga(logae-1)处的斜率为-1.

以下证明当且仅当0＜a＜e-e时指数曲线y=ax与对数曲线y=logax存在第二类交点.

(1)当a＞1时,曲线y=ax与y=logax不存在第二类交点.

证明若曲线y=ax与y=logax有一交点不在直线y=x上,设其坐标为(u,v),根据反函数的性质,二者必有另一交点(v,u),从而有au=v,av=u,不妨设u＞v,由于a＞1,应有au＜av,导致v＞u.矛盾.故当a＞1时,曲线y=ax与y=logax不存在第二类交点.

(2)当e-e＜a＜1时,曲线y=ax与y=logax也不存在第二类交点.

证明当e-e＜a＜1时,-e＜lna＜0,从而logae-1-loga(logae-1)=loga(-e-1lna)＞0,说明点(loga(logae-1),logae-1)在曲线y=ax上的位置位于曲线y=ax与y=logax的那个第一类交点的左侧,由对称性知点(logae-1,loga(logae-1)在曲线y=logax上的位置位于曲线y=ax与y=logax的那个第一类交点的右侧,不妨设此时曲线y=ax与y=logax的那个第一类交点的坐标为(c,c).由于函数y=axlna与

(3)当a=e-e时,曲线y=ax与y=logax同样不存在第二类交点.

证明当a=e-e时,点既在对数曲线上又在指数曲线上,对数曲线与指数曲线在点处的斜率都是-1,二者相切于点由推论Ⅱ知:当从而曲线y=ax与y=logax在区间上不会相交,由对称性知曲线y=ax与y=logax在区间上也不会有交点,故当e-e＜a＜1时曲线y=ax与y=logax不存在第二类交点.

(4)当0＜a＜e-e时,指数曲线y=ax与对数曲线y=logax存在两个第二类交点.

证明当0＜a＜e-e时,lna＜-e,从而logae-1-loga(logae-1)=loga(-e-1lna)＜0,说明点(loga(logae-1,logae-1)在曲线y=ax上的位置位于曲线y=ax与y=logax的那个第一类交点的右侧,由对称性知点(logae-1,loga(logae-1)在曲线y=logax上的位置位于曲线y=ax与y=logax的那个第一类交点的左侧,不妨设此时曲线y=ax与y=logax的那个第一类交点的坐标为(d,d).由函数y=axlna与时都是增函数,可知在交点(d,d)处,有

令xax(lna)2=1,由推论Ⅲ知此方程存在两个相异实根x1、x2(0＜x1＜x2),且由于dad(lna)2＞1可知x1＜d＜x2.再根据推论Ⅲ即得:当d＜x＜x2时当x=x2时当x＞x2时从而知曲线y=ax与y=logax在区间(d,+∞)上必有且仅有一个交点,由对称性知在(0,d)内还有一个交点,故当0＜a＜e-e时曲线y=ax与y=logax有两个第二类交点.

例如,函数y=0.02646x与y=log0.02646x二者的图像有3个交点:一个交点在直线y=x上,用M athem atica计算可知其坐标为(0.31663,0.31663)(近似数);另两个交点一个是(0.04656,0.84442)(近似数),另一个是(0.84442,0.14656)(近似数),此两点关于直线y=x对称.

[1]蔡邦成.巧构模型妙除顽症[J].数学通报,2006,45(8):41-43.

[2]黄俊明.关于指数函数与对数函数图像的交点个数问题[J].凯里学院学报,2007,25(6):7-8

Two Kind Intersection Points of Exponential Function and Logarithm ic Function Graph

GAO Huan-jiang
(Teaching Institute of Mathematics,Xingtai Medical College,Xingtai 054000,China)

This paper provides an existence proof of two kind intersection points for the graph of exponential function and logarithmic function to the same base through discussing two other function’s properties with the ma the matical analysis method;It reveals the positional relation be tween the graph of exponential function and logarithmic function from a new angle.

exponential function;logarithmic function;derivative;slope;intersection point

O172.1

A

1008-9128(2010)02-0036-03

2010-01-11

高焕江(1963-),男,副教授.研究方向:数学教学与研究.

[责任编辑 宋焕斌]