用能量守恒与转化定律分析洛伦兹力的做功问题

梁玉娟

(河池学院 物理与电子工程系,广西 宜州 546300)

用能量守恒与转化定律分析洛伦兹力的做功问题

梁玉娟

(河池学院 物理与电子工程系,广西 宜州 546300)

运动电荷在磁场中所受的洛伦兹力为 f=qv×B,洛伦兹力的方向总是垂直于运动速度的方向,洛伦兹力不做功;而产生动生电动势的非静电力是洛伦兹力,但这个洛伦兹力对电荷却做功了,这两种说法是否矛盾?如何理解?用能量守恒与转化定律分析洛伦兹力的做功问题并给出明确的回答 .

运动电荷;洛伦兹力;能量守恒与转化定律;功

0 引言

在许多大学物理、普通物理教材[1～4]关于稳恒磁场的章节中,定义运动电荷在磁场中受磁场力的作用为洛伦兹力,计算公式为:f=qv×B,其中q为运动电荷的电量,v为运动电荷的运动速度,B为磁场的磁感应强度 .设电荷的运动方向与磁场方向的夹角为θ,则按上述公式,电荷所受洛伦兹力的大小为qvBsinθ,正电荷受洛伦兹力的方向总与 v×B方向相同,负电荷受洛伦兹力的方向总与 v×B方向相反,洛伦兹力的方向既垂直于磁场方向,又垂直于电荷的运动方向 .正是因为洛伦兹力的方向总是与电荷的运动方向垂直,所以洛伦兹力只能使带电粒子的运动方向偏转,而不会改变其速度的大小,对运动电荷永远都不做功,这是洛伦兹力的一个重要特征 .而在电磁感应的章节中,产生动生电动势的非静电力是洛伦兹力,这个洛伦兹力对运动电荷做功了,与前面讲的洛伦兹力不做功是否矛盾呢?

能量守恒与转化定律是自然界最普遍、最重要的基本定律之一,其文字表述为:自然界中一切物质都具有能量,能量有各种不同的形式,在一定条件下能够从一种形式转化为另一种形式,由一个物体传递给另一个物体,而在转化和传递的过程中,能量的总和保持恒定,一种形式的能量减少多少,则必定伴随着相同数量的其它形式能量的增加[5].这个定律建立了物质运动变化过程中能量的等量关系,自它建立以来,对现代物理学的发展和完善起了极为重要的作用,它是人类认识自然、利用自然和改造自然的有力武器 .本文就用这一武器来分析产生动生电动势的洛伦兹力的做功问题.

1 动生电动势的形成

如图 1所示,导体棒ab可在 U型导体框上自由地滑动 .把这一回路放入匀强磁场 B中,B垂直于回路平面 .当导体棒ab以速度 v在磁场中向右运动时,导体棒内每个自由电子也就具有随棒一起运动速度 v,因而每一个自由电子都受到洛伦磁力 f1=-ev×B的作用,这里 -e为自由电子的电量,由右手螺旋定则可知,f1的方向由a指向b,f1⊥v,在水平方向上不做功 .但在洛伦兹力 f1的作用下,电子相对于棒以速度 u沿着导体棒由a向b运动,u的方向与 f1的方向相同,f1对自由电子做了正功 .自由电子在b端聚积,使b端带负电,而a端则出现了过剩的正电荷,a端电势高于b端电势,建立起由a端指向b端的静电场 E,该静电场又使电子受到电场力 f电=-eE作用,方向由b端指向a端,与 f1方向相反,随着棒两端电荷增多,静电场 E逐渐增强,f电也逐渐增大,当 f1=-f电时,就达到了平衡状态,a、b两端之间有稳定的电势差,运动的导体棒ab就相当于一个电源,a端为正极,b端为负极,a、b两端之间的电势差就是电源的电动势,此电动势是由于导体棒ab在磁场中运动而产生的,因而称为动生电动势,洛伦兹力 f1就是产生动生电动势的非静电力 .根据电源电动势的定义,电动势等于把单位正电荷从负极经电源内部移到正极,非静电力所做的功 .作用在单位正电荷的洛伦兹力为 fk=f1/(-e)=v×B,根据场强的定义,v×B即是非静电场的强度 .每一小段导体上的电动势为 dε=fk·dl=v×B·dl,dl代表小段导体线

2 定性分析洛伦兹力做功

如图 2所示,棒中的每一个自由电子都受到两个洛伦兹力 f1和 f2的作用,他们的矢量和为总洛伦兹力 f=f1+f2;另外棒中的每一个自由电子不仅具有随着导体棒向右运动速度 v,还有相对于棒向下运动的速度 u(在洛伦兹力 f1的作用下),自由电子同时参与了两种运动,这两种运动的速度的矢量和为 V=v+u.在图 2中,设自由电子所在位置为O点,f1的大小为evB,f2的大小为euB,则有

所以∠f2Of和∠vOV互余,而∠f2Of、∠vOV、∠fOV这三个角构成平角,

因而∠fOV=90°,即总洛伦兹力 f垂直于合速度 V.

虽然洛伦兹力 f1与自由电子速度的 u分量方向相同,对自由电子做了正功,洛伦兹力 f2与自由电子速度的 v分量方向相反,对自由电子做了负功,但是总洛伦兹力 f总是垂直于合速度 V,因而总的洛伦兹力不做功,不改变系统的能量 .

3 用能量守恒与转化定律分析洛伦兹力做功

假设导体棒ab的长度为l,规定向下(a指向b)、向右的方向为正方向,则自由电子从a端以速度 u运动到b端所需要的时间为t=l/u,在t时间内导体棒向右移动的距离为s=vt=lv/u,u与 f1方向相同,则 f1对自由电子做正功为A1=f1.l=-ev×B·l=evB l(l的方向向下);而 v与 f2方向相反,f2总是阻碍导体棒向右运动,因而 f2对自由电子做负功为A2=f2·s=-eu×B·s=-euB s=-euB lv/u=-evB l,这里有A1=-A2,f2对自由电子做的负功A2与 f1对自由电子做的正功A1大小相等,合洛伦兹力 f对自由电子做的总功为A=A1+A2=0,即洛伦兹力 f1和 f2均做功,但做功的代数和为零,洛伦兹力不提供能量 .从能量转化角度来看:在磁场 B中棒向右运动,棒中每个自由电子都受 f2的作用,整根导体棒要受一个合力∑f2的作用,即安培力,此力的方向向左 .要想使棒向右匀速运动,就需要给棒一个持续的向右的外力F去平衡安培力∑f2,外力 F克服安培力对棒做了机械功 .而随棒向右运动的每个自由电子都受到向下的洛伦兹力 f1,在 f1的作用下,自由电子向b端运动,致使棒的b端聚集负电荷,a端聚集正电荷,形成了电源,即有了电能 .电能就是外力 F克服安培力∑f2所做的机械功,通过洛伦兹力 f1分量对自由电子做功转化而来的,f1只是起到传递能量的作用 .假设图 1中回路的电流为I,因为 l⊥B,所以安培力∑f2=Il×B=IlB,外力的大小与安培力∑f2的大小相等,即F=IlB.在时间t=l/u内,外力克服安培力∑f2所做的功为:A=Fs=IlB lv/u=Il2B v/u,而电源的能量为Q=Iεt=IB lvl/u=Il2Bv/u,电源的能量Q与外力的功A相等.

例:图 1中,假设回路的总电阻R=0.2Ω,匀强磁场的磁感应强度B=0.5 T,导体棒ab的长度为l=0.5 m,现使ab以速率v=4.0m/s向右匀速运动 .求:

(1)维持ab向右做匀速运动所需的外力F;

(2)在时间t=2s内,外力F对棒ab做了多少功?电源提供的电能为多少?电阻上消耗了多少能量?

解:(1)回路中动生电动势的大小为 ε=B lv=0.5×0.5×4.0=1.0(V)

根据欧姆定律,回路电流的大小为I=ε/R=1.0/0.2=5.0(A)

导体棒ab上有电流,就要受到安培力 FB的作用,根据安培力公式,FB的方向向左,大小为

FB=B lI=0.5×0.5×5.0=1.25(N)

要维持ab向右做匀速运动,需要外力 F与 FB平衡,则有 F=-FB,F的方向向右,大小为 1.25N.

(2)在时间t=2s内,ab向右移动的距离为S=vt=4.0×2=8.0(m)

外力 F对棒ab所作的功为A=FS=1.25×8.0=10(J)

电源提供的电能为Q电源=Iεt=5.0×1.0×2=10(J)

电阻上消耗的能量为Q电阻=I2R t=5.02×0.2×2=10(J)

外力对导体棒ab所做功的大小与电源提供的能量、电阻上消耗的能量相等,即A=Q电源=Q电阻=10 J所以说外力对棒ab做了多少机械功,就有多少机械能转化为电源的电能,当电流通过用电器时,电能又转化为其他形式的能量,这也正是能量转化与守恒定律在动生电动势中的应用 .

4 结论

运动电荷在磁场中受到的洛伦兹力为 f=qv×B,这个公式中的 f是指总的洛伦兹力,总的洛伦兹力总是垂直于合速度,因而总的洛伦兹力 f永远都不做功 .而在动生电动势的产生过程中,运动导体中的每一个自由电子都参与了两种运动,受到两个洛伦兹力的作用,这两个洛伦兹力都做功,但做功的代数和为零,即相当于总的洛伦兹力不做功,洛伦兹力不提供任何能量,只是传递能量而已 .平常所说的洛伦兹力不做功指的是运动电荷受到总的洛伦兹力,而不是指洛伦兹力的某个分力,分力仍然有可能做功,所以说产生动生电动势的非静电力是洛伦兹力,与合洛伦兹力不做功并不矛盾 .

[1]陈信义.大学物理教程 (上册)[M].北京:清华大学出版社,2005:165,193-194.

[2]祝之光.物理学 (下册)[M].北京:高等教育出版社,2004:57,101-102.

[3]程守洙,江之永.普通物理学 (第二册,第五版)[M].北京:高等教育出版社,2004:232-233,335-338.

[4]马文蔚.物理学 (中册,第三版)[M].北京:高等教育出版社,1998:212-213,293-296.

[5]金仲辉,梁德余.大学基础物理学[M].北京:科学出版社,2000:39.

An Analyse the Work of Lorentz Force by the Law of Conservation of Energy

L IANG Yu-Juan

(Department of Physics and Electron ics Engineering,Hechi Un iversity,Y izhou,Guangxi546300,Ch ina)

The Lorents force ofmoving charge in a magnetic field isf=qv×B,whose direction is always perpendicular to the direction of velocity and which does not do work;While the non-electrostatic force for the motional electromotive force is lorentz force,which doeswork on the charge.Do these two arguments conflict?How do we understand the two phenomena?How the Lorents force does work is analyzed and explained by the law of conservation of energy and transformation.

moving charge;Lorentz force;law of conservation of energy and transformation;work

O441

A

1672-9021(2010)02-0039-04

梁玉娟 (1968-),女 (仫佬族),河池学院物理与电子工程系副教授,硕士,主要研究方向:计算物理与非线性物理 .

广西区精品课程 (力学)项目 (桂教高教 [2007]11号、179号)

2009-11-01

[责任编辑普梅笑 ]